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1、第六章测量误差基础第六章测量误差基础知识知识1 1本讲稿第一页，共五十六页第六章第六章 测量误差基本知识2 2本讲稿第二页，共五十六页66-1 观测误差及其分类观测误差及其分类观测误差的来源（或产生的原因）观测误差的来源（或产生的原因）1、仪器精度的局限性、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性、观测者感官的局限性3、外界环境的影响、外界环境的影响3本讲稿第三页，共五十六页一一.产生产生测量测量误误差的原因差的原因产生产生测量测量误差的三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限仪器精度的局限,轴系残余误差轴系残余误差,等。等。人的原因人的原因 判断力和分辨率的限制判断力和分辨率
2、的限制,经验经验,等。等。外界影响外界影响 气象因素气象因素(温度变化温度变化,风风,大气折光大气折光)结论：结论：观测误差不可避免观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：有关名词：观测条件观测条件:上述三大因素总称为上述三大因素总称为观测条件观测条件等精度观测等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为次观测，称为等精度观测。等精度观测。4本讲稿第四页，共五十六页测量误差的分类与对策测量误差的分类与对策（一）分类（一）分类系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按出现在符号和数值相同，或按一定的
3、规律一定的规律变变化。化。例：例：误差误差 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 D Dk k 钢尺温度误差钢尺温度误差 D Dt t 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差i i 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 处理方法处理方法计算改正计算改正计算改正计算改正 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)5本讲稿第五页，共五十六页系统误差的特性和消除方法系统误差的特性和消除方法1.特性:统一性 误差的绝对值保持恒定或有一定规律误差的绝对值保持恒定或有一定规律 单向性 误差的符号不变，总朝一个方向偏离误差的符号不变，总朝一个方向偏离 累积性 误差的绝对
4、值随观测值的大小成比例累积误差的绝对值随观测值的大小成比例累积2.消除方法：检校仪器 把系统误差降到最低限度把系统误差降到最低限度 求改正数 对某些误差应求其大小，将观测值加以改对某些误差应求其大小，将观测值加以改 正，消除其影响。正，消除其影响。对称观测 采出合理的观测方法，使误差执行消除或采出合理的观测方法，使误差执行消除或 减少减少 6本讲稿第六页，共五十六页测量误差的分类与对策测量误差的分类与对策（一）分类一）分类偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，误差出在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有有
5、任何规律性，但大量的误差有“统计规律统计规律”粗差粗差特别大的误差（错误）例例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。7本讲稿第七页，共五十六页（二）处理原则二）处理原则粗差粗差细心，多余观测细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正找出规律，加以改正偶然误差偶然误差多余观测，制定限差多余观测，制定限差8本讲稿第八页，共五十六页6-2 偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性 1.1.偶然误差的定义：偶然误差的定义：设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：(6-1)(6
6、-1)真误差真值观测值9本讲稿第九页，共五十六页n n例如：n n对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为 i=180(i+i+i)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差i的规律。10本讲稿第十页，共五十六页误差区间误差区间 负误差负误差 正误差正误差 误差绝对值误差绝对值d d K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 03K K/n 03 45 450.1260.126 46 46 0.128 91 0.254 0.128 91 0.254 36 36 40 400.1120.112 41 0.115 81 0.226 41 0
7、.115 81 0.226 69 33 69 330.0920.092 33 0.092 66 0.184 33 0.092 66 0.184 912 23 912 230.064 21 0.0590.064 21 0.059 44440.1230.123 1215 1215 17 170.0470.047 16 0.045 16 0.045 33330.0920.092 1518 1518 13 130.0360.036 13 13 0.036 0.03626260.0730.073 1821 1821 6 60.017 5 0.014 0.017 5 0.014 11110.0310.03
8、1 2124 4 2124 40.011 20.011 2 0.006 0.0066 60.0170.017 24 24以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 表表表表6-1 6-1 6-1 6-1 偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计 11本讲稿第十一页，共五十六页-24-21-18-15-12-9-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 X=k/d有限性：偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平
9、均数趋近于零。12本讲稿第十二页，共五十六页偶然误差偶然误差的特性的特性n n有限性有限性：在有限次观测中，：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。偶然误差应小于限值。n n渐降性渐降性：误差小的出现的：误差小的出现的概率大概率大n n对称性对称性：绝对值相等的正：绝对值相等的正负误差概率相等负误差概率相等n n抵偿性：当观测次数无限：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均增大时，偶然误差的平均数趋近于零。数趋近于零。13本讲稿第十三页，共五十六页偶然误差的削弱方法偶然误差的削弱方法n n1.适当提高仪器等级；n n2.多余观察：评定精度和分配闭合差；n n3.求最可靠值或者最或是值。14本讲稿第
10、十四页，共五十六页偶然误差的特性和消除方法偶然误差的特性和消除方法1.1.特性特性:有界性有界性 在相同的观测条件下，其绝对值不超过一定界限。在相同的观测条件下，其绝对值不超过一定界限。单峰性单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率大。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率大。对称性对称性 绝对值相等的正、负误差出现的频率相等。绝对值相等的正、负误差出现的频率相等。补偿性补偿性 观测次数无限增多其算术平均值趋近于零。观测次数无限增多其算术平均值趋近于零。2.2.消弱方法：消弱方法：适当提高仪器等级适当提高仪器等级 多余观测多余观测 求最可靠值求最可靠值 15本讲稿第十五页，共五十六页
11、 6-3评定精度的标准评定精度的标准所谓精度：所谓精度：所谓精度：所谓精度：就是指误差分布的密集或离散程度。衡量精度的指标就是指误差分布的密集或离散程度。衡量精度的指标就是指误差分布的密集或离散程度。衡量精度的指标就是指误差分布的密集或离散程度。衡量精度的指标有多种，常用的有以下几种有多种，常用的有以下几种有多种，常用的有以下几种有多种，常用的有以下几种一、中误差：误差的概率分布函数即正态分布误差的概率分布函数即正态分布 曲线方程而曲线方程而就是标准差（均方差）即就是标准差（均方差）即 而我们测量上就叫中误差（条件是：观测次数是有限的，由有限个而我们测量上就叫中误差（条件是：观测次数是有限的，
12、由有限个 观测值的真误差只能求得标准差的估值。）观测值的真误差只能求得标准差的估值。）所以中误差的公式为：所以中误差的公式为：这是由这是由真误真误 差差计算的中误差公式。计算的中误差公式。另外：另外：这就是用这就是用改正数改正数求中误差的白塞尔公式。求中误差的白塞尔公式。16本讲稿第十六页，共五十六页 一、中误差一、中误差 正态分布曲线方程 用真误差计算中误差的公式用真误差计算中误差的公式真误差：真误差：标准差公式：标准差公式：中误差公式为：中误差公式为：17本讲稿第十七页，共五十六页当观测值的真值未知时：当观测值的真值未知时：设某未知量的观测值为：设某未知量的观测值为：则该量的算术平均值为：
13、则该量的算术平均值为：则该量的改正数：则该量的改正数：用改正数计算中误差的公式用改正数计算中误差的公式计算得：观测值的中误差计算得：观测值的中误差算术平均值算术平均值的中误差的中误差18本讲稿第十八页，共五十六页二、容许误差二、容许误差 由偶然误差的第一特性知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会越过由偶然误差的第一特性知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会越过一定的限值。大量同精度观测的一组误差中，误差落在一定的限值。大量同精度观测的一组误差中，误差落在(-(-，+)、(-2(-2，+2+2）、）、(-3(-3，+3+3)的概率分别为的概率分别为 可见绝对值大于三倍中误差的偶然误差
14、出现的概率仅为可见绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为0.30.3、概率接近于、概率接近于0 0，因此通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值因此通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值限限，并称为，并称为极限误差极限误差或或容许误差容许误差。实践中也常用实践中也常用2m2m作为容许误差。作为容许误差。即即 19本讲稿第十九页，共五十六页三、相对误差三、相对误差 误差的绝对值与观测值之比称为误差的绝对值与观测值之比称为相对误差相对误差。通常将分子化为通常将分子化为1 1的形式。相对误差是个无名数，有相对中误差、相对容 许误差、相对真误差。许误差、相对真误差。所谓相对中误差所谓相对中误差(简称相
15、对误差简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为就是中误差之绝对值（设为|m|m|）与观测值）与观测值 （设为（设为DD）之比，并将分子化为）之比，并将分子化为1 1表示：表示：用绝对误差无法比较不同测量结果的可靠程度，于是人们用测量值的绝对误差与测用绝对误差无法比较不同测量结果的可靠程度，于是人们用测量值的绝对误差与测 量值之比来评价，并称它为相对误差，用表示，并可化成百分比，也叫百分误差。量值之比来评价，并称它为相对误差，用表示，并可化成百分比，也叫百分误差。绝对误差绝对误差=测量值测量值-真实值真实值 相对误差相对误差=绝对误差绝对误差/真实值真实值 相对误差不能用于评定角度测量的精度因为角
16、度误差与测角大小无关相对误差不能用于评定角度测量的精度因为角度误差与测角大小无关。20本讲稿第二十页，共五十六页6-4误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用已知：mx1,mx2,mxn求：my=？y=?21本讲稿第二十一页，共五十六页观测值函数的中误差 误差传播定律一一.观测值的函数观测值的函数例：例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数22本讲稿第二十二页，共五十六页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和(差差)函数函数已知：mx,my,求：mz=?23本讲稿第二十三页，共五十六页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的
17、中误差 （一）和（一）和(差差)函数函数已知：mx,my,求：mz=?和和24本讲稿第二十四页，共五十六页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（差）函数（一）和（差）函数已知：mx,my,求：mz=?和和25本讲稿第二十五页，共五十六页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和(差差)函数函数已知：mx,my,求：mz=?26本讲稿第二十六页，共五十六页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?和平方27本讲稿第二十七页，共五十六页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍
18、乘函数（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?28本讲稿第二十八页，共五十六页解：解：例例 量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式29本讲稿第二十九页，共五十六页二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （三）线性函数三）线性函数已知：mxi,求：mz=?30本讲稿第三十页，共五十六页（三）线性函数三）线性函数特殊31本讲稿第三十一页，共五十六页例例6 6距离误差距离误差例：例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值 ；观测值的中误差 ；算术平均值的中误 差 ；算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都
19、必须用分子为1的分数表示。32本讲稿第三十二页，共五十六页二二二二.误差传播定律误差传播定律误差传播定律误差传播定律(四四)一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律设有函数xi为独立独立观测值对上式上式全微分33本讲稿第三十三页，共五十六页中误差关系式中误差关系式：n n小结n n第一步：写出函数式n n第二步：对各观测值取偏导数n n第三步：套用误差传播定律，写出中误 差式。34本讲稿第三十四页，共五十六页观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平
20、均值 35本讲稿第三十五页，共五十六页例例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差三、几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。36本讲稿第三十六页，共五十六页思考与作业思考与作业n n 1.偶然议差和系统误差有什么区别?偶然误差具有哪些特性?n n2.何谓中误差、容许误差、相对误差?n n3.某水平角以等精度观测4个测回，观测值分别为554047、554040、554042、554046 试求观测值
21、的一测回的中误差、算术平均值x及其中误差 。37本讲稿第三十七页，共五十六页观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离D6-4 误差传布定律应用举例38本讲稿第三十八页，共五十六页观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h39本讲稿第三十九页，共五十六页误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例应用举例应用举例算术平均值已知：m1=m2=.=mn=m 求：mx40本讲稿第四十页，共五十六页误差传播定律的应用误差传播定律的应用解：解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：例：例：要求三角形最大闭合差 ，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几
22、个测回？用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。41本讲稿第四十一页，共五十六页6-5直接观测平差直接观测平差一、同精度直接观察平差一、同精度直接观察平差 42本讲稿第四十二页，共五十六页n n现有三组观测值，计算其最或然值现有三组观测值，计算其最或然值A A组：组：123.34,123.39,123.35123.34,123.39,123.35B B组：组：123.31,123.30,123.39,123.32123.31,123.30,123.39,123.32C C组：组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32123
23、.34,123.38,123.35,123.39,123.32n n各组的平均值各组的平均值 A组：组：B B组：组：C C组：组：二、不等精度直接观测平差二、不等精度直接观测平差（一）加权平均值（一）加权平均值（一）加权平均值（一）加权平均值最或然值最或然值最或然值最或然值43本讲稿第四十三页，共五十六页加权平均值加权平均值 （二）权的定义n n各组的平均值及其权各组的平均值及其权 A A组：组：123.360 123.360 权权 P PA A=3=3 B B组：组：123.333 P123.333 PB B=4=4 C C组：组：123.356 P123.356 PC C=5=5所以不同
24、精度的观测值不能简单地用算术平均值，而应该根据其本身的精所以不同精度的观测值不能简单地用算术平均值，而应该根据其本身的精度的高低决定其应占的比例数。精度越高，可靠程度愈大，占的比例也应度的高低决定其应占的比例数。精度越高，可靠程度愈大，占的比例也应愈大。这个比例在测量上称为愈大。这个比例在测量上称为“权权”，通常用，通常用P P表示。表示。44本讲稿第四十四页，共五十六页由上式可以看出，值表示权等于1时观测值的中误差。等于1的 权，称为单位权，权为1的观测值，称为单位权观测值。由于值相对应的观测值权为1，所以称为单位权观测值中误差，即单位权中误差。实际上就是在一组n个不同精度的观测值中，以权为
25、1的观测值中误差的值精度作标准，其它观测值的精度都是与它比较，而得出一组相对应权的比例关系来表示观测值间的相对可靠程度。45本讲稿第四十五页，共五十六页（三）确定权的常用方法（三）确定权的常用方法1.同精度观测值之和（差）的权（1）水准测量的权 设在图65中，有n条水准路线(图中n3)，每条路线测得的高差为hi，各路线的测站数为Ni，设每站测高差精度相同，其中误差均为m站，由式(625)知，各路线的观测高差中误差为：若以Pi代表hi的权，并以C个测站的观测中误差作为单位权中误差，即令则由式(634)得：46本讲稿第四十六页，共五十六页47本讲稿第四十七页，共五十六页(2)距离丈量的权距离丈量的
26、权距离丈量的权距离丈量的权若单位距离丈量的中误差相等设为若单位距离丈量的中误差相等设为mm则各边长则各边长S Si i的丈量中误差为的丈量中误差为令令c c个单位距离丈量中误差为单位权中误差则令个单位距离丈量中误差为单位权中误差则令 由由式式(634)(634)得得48本讲稿第四十八页，共五十六页49本讲稿第四十九页，共五十六页50本讲稿第五十页，共五十六页51本讲稿第五十一页，共五十六页52本讲稿第五十二页，共五十六页53本讲稿第五十三页，共五十六页例：例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算 组号测回数各组平均值L权 P LP L
27、表5-5加权平均值：1 2 402014 4 1 42 4 40 20 17 7 2 143 6 40 20 20 10 3 30 L0=40 20 10 6 48vpvv+4+41616+1+12 2-2-21212303054本讲稿第五十四页，共五十六页例：例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算 组号 测回数各组平均值L权 P LP L表5-5加权平均值：1 2 40 2014“4 2 82 4 40 2017“7 4 283 6 40 2020“10 6 60 L0=40 2010 12 96v vpvvpvv+4+43232+1+14 4-2-22424606055本讲稿第五十五页，共五十六页思考与作业思考与作业n n 1.已知距离AB100m，丈量一次的权为2，丈量n n 4次平均值的中误差为土2cm。若以同样的精度n n 丈量距离CD16次。CD400m。试求两距离丈n n 量结果的相对中误差。56本讲稿第五十六页，共五十六页