《离散数学抽象代数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学抽象代数.ppt（65页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、离散数学抽象代数离散数学抽象代数现在学习的是第1页，共65页 本部分所要探讨的数学结本部分所要探讨的数学结构是构是由集合上定义若干运算由集合上定义若干运算而组成的系统而组成的系统称为代数称为代数系统系统(代数结构代数结构)。现在学习的是第2页，共65页抽象代数抽象代数主要内容主要内容第第7章章 抽象抽象代数代数第第8 8章章 群群第第9章章 布布尔代数代数 现在学习的是第3页，共65页 相对古典代数而言相对古典代数而言,抽象代数也称为抽象代数也称为近世代数近世代数(Modern Algebra),(Modern Algebra),由于其研究对象是由对象集合由于其研究对象是由对象集合及运算组成的
2、数学结构，即代数结构及运算组成的数学结构，即代数结构,因此因此,抽象抽象代数也被称为代数也被称为代数结构代数结构或或代数系统代数系统。抽象代数对计算机科学的发展有着重大的理论抽象代数对计算机科学的发展有着重大的理论和实践意义和实践意义,如在程序理论、语义学、数据结构和编如在程序理论、语义学、数据结构和编码理论码理论,以及逻辑电路设计的研究以及逻辑电路设计的研究,此外，抽象代数此外，抽象代数还被广泛用于物理学、生物学以及社会科学中。本还被广泛用于物理学、生物学以及社会科学中。本章将探讨代数结构的数学描述以及一般代数结构的章将探讨代数结构的数学描述以及一般代数结构的基本性质。后续两章将深入讨论群、
3、布尔代数等典基本性质。后续两章将深入讨论群、布尔代数等典型的代数结构及其应用。型的代数结构及其应用。第第7 7章章 抽象代数抽象代数现在学习的是第4页，共65页 本章内容提要：本章内容提要：1.1.抽象代数概述抽象代数概述 2.2.代数结构及其性质代数结构及其性质 3.3.同态与同构同态与同构 第第7 7章章 抽象代数抽象代数重点：重点：代数结构的判定与构造代数结构的判定与构造代数结构的判定与构造代数结构的判定与构造代数结构关系：同态、同构代数结构关系：同态、同构代数结构关系：同态、同构代数结构关系：同态、同构特殊关系：同余关系特殊关系：同余关系特殊关系：同余关系特殊关系：同余关系现在学习的是
4、第5页，共65页 抽象代数的创始人是两位英年早逝的青年数学家，抽象代数的创始人是两位英年早逝的青年数学家，阿贝尔与伽罗瓦。阿贝尔阿贝尔与伽罗瓦。阿贝尔,是挪威青年数学家是挪威青年数学家,乡村乡村牧师之子牧师之子,幼年丧父幼年丧父,家贫。多独创性成果家贫。多独创性成果,但大但大都未受重视都未受重视,贫病而逝。去逝后贫病而逝。去逝后3 3天天,柏林大学寄柏林大学寄来教授聘书来教授聘书,让后人叹息！后人曾评价说：让后人叹息！后人曾评价说：“他他工作不是为自己，而是为他热爱的科学工作不是为自己，而是为他热爱的科学”。20012001，在阿贝尔诞生，在阿贝尔诞生200200周年之际，挪威王国政周年之际，
5、挪威王国政府宣布，设立面向国际的府宣布，设立面向国际的“阿贝尔数学奖阿贝尔数学奖”。7.17.1 抽象代数概述抽象代数概述现在学习的是第6页，共65页Niels Abel A statue of Abel in Oslo 现在学习的是第7页，共65页 伽罗瓦伽罗瓦,是法国青年数学家是法国青年数学家,其父亲是自由主义思想家其父亲是自由主义思想家,母亲亦受了良好教育母亲亦受了良好教育,中学时就对数学产生强烈兴趣中学时就对数学产生强烈兴趣,他两次投他两次投考巴黎综合技术学院而未被录取，后进入巴黎高师学习考巴黎综合技术学院而未被录取，后进入巴黎高师学习,提出提出“群群”的概念。但其论文未被数学家柯西、
6、泊松等接受。跟的概念。但其论文未被数学家柯西、泊松等接受。跟大多数数学家不问政治不同，伽罗瓦是一个非常激进的革大多数数学家不问政治不同，伽罗瓦是一个非常激进的革命者，后因政治原因入狱。最后与人决斗受伤而去逝。在命者，后因政治原因入狱。最后与人决斗受伤而去逝。在其决斗前几天其决斗前几天,写下了其主要研究成果写下了其主要研究成果,直到直到4040年后年后,其成其成果才被世人所接受。后有著名数学家评价说：果才被世人所接受。后有著名数学家评价说：“伽罗瓦的去逝使伽罗瓦的去逝使数学的发展推迟了几十年数学的发展推迟了几十年”。从伽罗瓦的工作以后，代数学结束。从伽罗瓦的工作以后，代数学结束了解方程的历史，进
7、入研究新的数学对象了解方程的历史，进入研究新的数学对象群、环、域的抽群、环、域的抽象代数的发展阶段。象代数的发展阶段。7.17.1 抽象代数概述抽象代数概述现在学习的是第8页，共65页Evariste Galois This is taken from a French stamp A drawing done in 1848 from memory by Evaristes brother.现在学习的是第9页，共65页7.2.1 7.2.1 代数运算代数运算例例7.17.1 (1)(1)设设A=a,b,cA=a,b,c是一个非空集合是一个非空集合,P(A)=P(A)=,a,b,c,a,b,a
8、,c,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质在在P(A)上并上并 运算的结果均在运算的结果均在P(A)中中abca,ba,cb,ca,b,cabca,ba,cb,ca,b,c aaa,ba,ca,ba,ca,b,ca,b,cba,bbb,ca,ba,b,cb,ca,b,cabca,cb,cca,b,ca,cb,ca,b,ca,ba,ba,ba,b,ca,ba,b,ca,b,ca,b,cca,ba,ca,ca,b,ca,ca,b,ca,ca,b,ca,b,cb,ca,b,cb,cb,ca,b,ca,b,cb,ca,b,ca
9、,cb,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,c现在学习的是第10页，共65页7.2.1 7.2.1 代数运算代数运算7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质A A上乘法上乘法*的结果在的结果在A A中，中，B B上加法上加法+的结果在的结果在B B中中13971397*1397197133971397例例7.17.1 (2)A=1,3,9,7,A2)A=1,3,9,7,A上模上模1010乘法乘法*运算表如下运算表如下01230123+0123023011230123 B=0,1,2,3,BB=0,1,2,3,B上模上模4 4加法加法+
10、运算表如下运算表如下现在学习的是第11页，共65页7.2.1 7.2.1 代数运算代数运算例例7.17.1 (3)3)设设M Mn n(R)(R)是是全全体体nnnn实实矩矩阵阵的的集集合合,考考虑虑M Mn n(R)(R)中中普普通通的的矩矩阵阵乘乘法法*,*,则则对对于于任任意意两两个个nnnn实实矩矩阵阵A A、B,B,根根据据矩矩阵阵乘乘法法法法则则可可得得到到M Mn n(R)(R)中中惟惟一一的的一一个个nnnn实矩阵实矩阵C C作为作为A A乘乘B B的结果。我们记的结果。我们记C=A*BC=A*B。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第12页，共65页 上
11、述示例中上述示例中,虽然是对不同集合给虽然是对不同集合给出的不同运算出的不同运算,但它们都具有这样一个但它们都具有这样一个共同的共同的特点特点：它们都是某个给定的集合：它们都是某个给定的集合S S(S(S分别为上述二例中的分别为上述二例中的P(A)P(A)和和M Mn n(R)(R)中中的任意一个或一对有序取出的元素的任意一个或一对有序取出的元素,根根据这个法则可在据这个法则可在S S中找到惟一的一个元素中找到惟一的一个元素与之对应。由此与之对应。由此,我们可以抽象出在一我们可以抽象出在一个集合上的二元代数运算的概念。个集合上的二元代数运算的概念。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质
12、现在学习的是第13页，共65页 定义定义7.17.1 设设S S是一个非空集合。如果有一是一个非空集合。如果有一个法则个法则,它对它对S S中任意两个有序元素中任意两个有序元素a a与与b,b,在在S S中都有一个惟一确定的元素中都有一个惟一确定的元素c c与它们对与它们对应应,则称这个法则是集合则称这个法则是集合S S中一个中一个二元代二元代数运算数运算。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第14页，共65页 一般地一般地,容易得到容易得到n n元运算的定义：元运算的定义：设设S S是一个非空集合。如果有一个法则是一个非空集合。如果有一个法则,它对它对S S中中任意任意
13、n n个有序元素个有序元素a a1 1,a,a2 2,a,an n,在在S S中都有一个惟中都有一个惟一确定的元素一确定的元素d d与它们对应与它们对应,则称这个法则是集合则称这个法则是集合S S中一个中一个n n元代数运算元代数运算。根据上述定义，可以看到，如果这个法则是根据上述定义，可以看到，如果这个法则是S S的一的一个代数运算，则该法则其实就是个代数运算，则该法则其实就是S S上的一个映射上的一个映射(或或函数函数)：S Sn nS,nS,n称为这个称为这个运算的阶运算的阶。对于集合。对于集合S S的的一个一个n n元运算元运算f,f,若若(a a1 1,a,a2 2,a,an n)S
14、)Sn n在在f f下的像是下的像是c,c,即即f(af(a1 1,a,a2 2,a,an n)c,)c,则记为则记为c=f(ac=f(a1 1,a,a2 2,a an n)。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第15页，共65页7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质 其他例子：其他例子：A=0,1A=0,1，A A上逻辑非、析取、合取运算上逻辑非、析取、合取运算 0 10 0 11 1 1 0 10 0 01 0 1 0110 一元运算一元运算 二元运算二元运算以上二元运算使用运算表。以上二元运算使用运算表。现在学习的是第16页，共65页7.27.2 代数结构及
15、其性质代数结构及其性质 设设I I为全体整数集合为全体整数集合,n n是正整数是正整数,规定规定I In n到到I I的映射为的映射为f f：(a(a1 1,a,a2 2,a,an n)a)a1 1,对于任意对于任意(a a1 1,a,a2 2,a,an n)I)In n,则则f f是一个是一个n n元运算。其中元运算。其中f(af(a1 1,a,a2 2,a,an n)=a)=a1 1。上述代数运算的表示方法称为上述代数运算的表示方法称为解析公式解析公式法法,也就是用函数来表示运算。也就是用函数来表示运算。现在学习的是第17页，共65页 练习练习1 1 通常数的乘法运算是否可看作下通常数的乘
16、法运算是否可看作下列集合上的二元运算？请说明理由。列集合上的二元运算？请说明理由。（1 1）A=1,2A=1,2 （2 2）B=x|xB=x|x是素数是素数 （3 3）C=x|xC=x|x是偶数是偶数 （4 4）D=2D=2n n|nN|nN 7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第18页，共65页 设设R R为实数集合，它关于普通乘法为实数集合，它关于普通乘法*是是R R上的代数运算。上的代数运算。R-0 R-0是全体非零实数集合是全体非零实数集合,对任意对任意a,b R-0,a,b R-0,也有也有 a*bR-0a*bR-0。因此，普通乘法。因此，普通乘法*还是还是R-
17、0R-0上的代数运算。上的代数运算。R R关于普通加法关于普通加法+是是R R上的代数运算。上的代数运算。对任意对任意a,b R-0,a,b R-0,但不一定但不一定a+bR-0a+bR-0，例如，例如2+2+（-2-2）=0=0。因此，普通加法。因此，普通加法+不是不是R-0R-0上的代数运算。上的代数运算。定义定义7.27.2 设设S S上有上有n n元运算元运算*（n n为正整数），为正整数），SS S,S,若对任若对任意意 a a1 1,a,a2 2,a,an nSS，有，有*(a(a1 1,a,a2 2,a,an n)S,)S,则称则称S S上的上的*运算对运算对SS封闭封闭，或称为
18、，或称为SS在在*下是封闭的。下是封闭的。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第19页，共65页练练习习2 2 A=xA=xx=2x=2n n，nNnN，问问A 是是否否封封闭闭，A+，A/呢？呢？解解 2 2r r，2 2s sAA，2 2r r 2 2s s=2=2r+sr+sAA（r+sNr+sN）A 运算封闭运算封闭 2 2，4A4A，2+42+4 A A，A+运算不封闭运算不封闭 2 2，4A4A，2/42/4 A A，A/运算不封闭运算不封闭7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第20页，共65页 对于对于A A上两种二元运算上两种二元运算
19、和和*：若对于任意若对于任意a,bAa,bA有：有：ab=ba,ab=ba,则称则称在在A A上是上是可可交换的交换的(或称或称满足交换律满足交换律)。若对于任意若对于任意aAaA有：有：aa=a,aa=a,则称则称在在A A上是满足上是满足幂幂等律等律的。的。若对于任意若对于任意a,b,cAa,b,cA有：当有：当ab=acab=ac时，有时，有b=c,b=c,则称则称在在A A上是上是可左可消去的可左可消去的(或称或称满足左消去律满足左消去律)，若若在在A A上是满足左可消去律与右可消去律，则称上是满足左可消去律与右可消去律，则称在在A A上是上是可消去的可消去的(或称或称满足消去律满足消
20、去律)。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第21页，共65页 若对于任意若对于任意a,b,cA,a,b,cA,有：有：a(b*c)=(ab)*(ac);a(b*c)=(ab)*(ac);(b*c)a=(ba)*(ca)(b*c)a=(ba)*(ca)。则称则称对于对于*是是可分配的可分配的(或称或称满足分配律满足分配律)。若对于任意若对于任意a,b,cAa,b,cA有：有：a(bc)=(ab)c,a(bc)=(ab)c,则称则称为在为在A A上是上是可结合的可结合的(或称或称满足结合律满足结合律)。若集合若集合A A上的二元运算上的二元运算*满足结合律满足结合律,则我们
21、常用则我们常用a*b*ca*b*c来表示来表示(a*b)*c=a*(b*c)(a*b)*c=a*(b*c)。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第22页，共65页 于于是是,进进一一步步可可令令a an n=a*a*a,a=a*a*a,an n读读作作a a的的n n次幂。可以通过如下递归定义得到：次幂。可以通过如下递归定义得到：(1)(1)a a1 1=a;=a;(2)a (2)an+1n+1=a=an n*a*a。利用数学归纳法利用数学归纳法,不难证明下列公式不难证明下列公式:(1)(1)a am m*a*an n=a=am+nm+n;(2)(a (2)(am m)n
22、 n=a=amnmn。其中，其中，m m，nInI+。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第23页，共65页 全全体体nnnn实实矩矩阵阵的的集集合合M Mn n(R)(R)上上普普通通的的矩矩阵乘法阵乘法*满足结合律，满足结合律，但但 不不 满满 足足 交交 换换 律律。因因 为为 一一 般般 有有：A*BA*BB*A B*A，M Mn n(R)(R)上矩阵乘法上矩阵乘法*对加法对加法+满足分配律。满足分配律。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第24页，共65页 设设A=A=1,1,2,2,m m,m m是是一一个个正正整整数数。A A2 2到到
23、A A的映射定义为：的映射定义为：f f：(i,j)max(i,j)maxi,ji,j,(i,j)A,(i,j)A2 2 则则f f是是A A上上的的一一个个二二元元运运算算,显显然然,f f满满足足交换律、结合律。交换律、结合律。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第25页，共65页7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质 逻逻辑辑联联结结词词合合取取、析析取取、蕴蕴含含以以及及等等价价都都是是真值集合真值集合0,10,1上的二元代数运算。上的二元代数运算。合取、析取、等价运算满足交换律、结合律。合取、析取、等价运算满足交换律、结合律。合取对析取满足分配律。合取对
24、析取满足分配律。析取对合取也满足分配律。析取对合取也满足分配律。现在学习的是第26页，共65页7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质13971397*1397197133971397A=1,3,9,7,AA=1,3,9,7,A上模上模1010乘法乘法*运算表如下运算表如下乘法乘法*运算满足交换律、结合律、消去律运算满足交换律、结合律、消去律现在学习的是第27页，共65页037.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质01230000*00123024012303B=0,1,2,3,4,5,BB=0,1,2,3,4,5,B上模上模6 6乘法乘法*运算表如下运算表如下4500050420
25、45434524034221乘法乘法*运算满足交换律、结合律运算满足交换律、结合律但不满足消去律，例如但不满足消去律，例如2*1=2=2*42*1=2=2*4，但，但1 14 4现在学习的是第28页，共65页 练习练习3 3 实数集实数集R R上的下列二元运算是否满上的下列二元运算是否满足交换律和结合律？足交换律和结合律？（1 1）r r1 1*r*r2 2=r=r1 1+r+r2 2-r-r1 1r r2 2 （2 2）r r1 1rr2 2=(r=(r1 1+r+r2 2)/2)/27.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第29页，共65页 7.2.27.2.2 代数结构
26、代数结构 定定义义7.37.3 设设S S是是一一个个非非空空集集合合,f f1 1,f f2 2,f fn n是是S S上上的的n n个个代代数数运运算算,则则S S与与n n个个运运算算所所组组成成的的结结构构称称为为代数结构代数结构或或代数系统代数系统,记为记为 。根据上述定义根据上述定义,一个代数结构需满足如下两个条件：一个代数结构需满足如下两个条件：(1)(1)有一个非空集合有一个非空集合S,S,称为称为载体载体;(2)(2)一些定义在载体一些定义在载体S S上的运算。上的运算。若若S S为为有限集，有限集，则该则该称代数称代数结结构构为为有限代数有限代数结结构构。7.27.2 代数
27、结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第30页，共65页 例例7.57.5 前面的例子分别列举了如下代数前面的例子分别列举了如下代数结构：结构：,M ,+,0,1;。这些代数结构均是具体代数结构。这些代数结构均是具体代数结构。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第31页，共65页 定义定义7.47.4 设设V=S;*V=,S,S S,S,如果运算如果运算*1 1,*,*2 2,*,*n n在在SS上封闭，则称上封闭，则称S;*为为V V的的子子代数结构代数结构，简称为，简称为V V的的子代数子代数(Subalgebra)(Subalgebra)。根据上述子代数的定义，代
28、数结构根据上述子代数的定义，代数结构V V上运算满足的性质，其上运算满足的性质，其子代数结构也满足。子代数结构也满足。设设R R为实数集合，它关于普通乘法为实数集合，它关于普通乘法*是是R R上的代数运算。上的代数运算。R-0 R-0是全体非零实数集合是全体非零实数集合,对任意对任意a,b R-0,a,b R-0,也有也有 a*bR-0a*bR-0。因此，普通乘法。因此，普通乘法*还是还是R-0R-0上的代数运算。上的代数运算。因此，因此，是是子代数结构。子代数结构。R R关于普通加法关于普通加法+是是R R上的代数运算。上的代数运算。对任意对任意a,b R-0,a,b R-0,但不一定但不一
29、定a+bR-0a+bR-0，例如，例如2+2+（-2-2）=0=0。因此，普通加法。因此，普通加法+不是不是R-0R-0上的代数运算。因此，上的代数运算。因此，R-0,+不是不是子代数结构子代数结构7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第32页，共65页 练习练习4 4 设设V=V=，其中，其中I I表示整数集，表示整数集，+和分别表示通常数的加法和乘法运算。和分别表示通常数的加法和乘法运算。对下面对下面I I的每个子集，确定它是否能构成的每个子集，确定它是否能构成V V的子代数？为什么？的子代数？为什么？（1 1）H H1 1=2n+1|n=2n+1|n II （2 2）
30、H H2 2=-1,0,1=-1,0,1 （3 3）H H3 3=2n|n=2n|n II7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第33页，共65页 7.2.37.2.3 代数结构的特殊元素代数结构的特殊元素 1.1.单位元单位元 定义定义7.57.5 设设是集合是集合A A上的二元运算，如果存在一个元素上的二元运算，如果存在一个元素e el lAA，使得对于任意的使得对于任意的aAaA满足满足e el la=aa=a，则称则称e el l是是A A上关于运算上关于运算的的左单位元左单位元；如果存在一个元素如果存在一个元素e er rAA，使得对于任意的使得对于任意的aAaA
31、有有aeaer r=a=a，则称则称e er r是是A A上关于运算上关于运算的的右单位元右单位元；如果存在一个元素如果存在一个元素eAeA，使得对于任意的使得对于任意的aAaA有有ea=ae=aea=ae=a，则称则称e e是是A A上关于运算上关于运算的的单位元单位元。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第34页，共65页如例如例7.17.1中，中，P(A)P(A)上交运算的单位元为上交运算的单位元为A,A,而并运算的单位元为而并运算的单位元为。M Mn n(R)(R)上乘运算的单位元为单位矩阵。以上乘运算的单位元为单位矩阵。以后代数结构的单位元常常用后代数结构的单位
32、元常常用e e来表示。来表示。记记a a0 0=e=e。M Mn n(R)(R)上加运算的单位元为零上加运算的单位元为零矩阵。矩阵。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第35页，共65页 定理定理7.17.1 设设是集合是集合A A上的二元运算，又上的二元运算，又设设e el l和和e er r分别是分别是的左单位元和右单位元，的左单位元和右单位元，则则e el l=e=er r=e=e，且，且e e是是的惟一的单位元。的惟一的单位元。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第36页，共65页 2.2.逆元逆元 定义定义7.67.6 设设是集合是集合A
33、A上有单位元上有单位元e e的二元运算，对的二元运算，对于元素于元素a aA A，如果存在一元素如果存在一元素a al l-1-1A A，使得使得a al l-1 1a=ea=e，则称则称a a是是左可逆的左可逆的，并称，并称a al l-1-1是是a a的一个左的一个左逆元；逆元；如果存在一元素如果存在一元素a ar r-1-1A A，使得使得aaaar r-1-1=e=e，则称元素则称元素a a是是右可逆的右可逆的，并称，并称a ar r-1-1是是a a的一个右逆元；的一个右逆元；如果存在一元素如果存在一元素a a-1-1A A，使得使得a a-1-1a=aaa=aa-1-1=e=e，则
34、称则称元素元素a a关于运算关于运算是是可逆的可逆的，而称，而称a a-1-1是是a a的一个的一个逆元逆元。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第37页，共65页 定理定理7.27.2 设设是集合是集合A A上的具有单位元上的具有单位元e e且可结合的且可结合的二元运算，如果元素二元运算，如果元素a aA A有左逆元和右逆元，则其左、有左逆元和右逆元，则其左、右逆元相等，并且若令右逆元相等，并且若令a al l-1-1=a=ar r-1-1=a=a-1-1，则则a a-1-1就是就是a a惟惟一的逆元。一的逆元。由逆元的定由逆元的定义我我们得知，如果得知，如果a aA
35、A有逆元有逆元 a a-1 1，则aaaa-1-1=a=a-1-1a=ea=e，因此因此(a a-1-1)-1-1=a(=a(即即a a是是 a a-1-1的逆的逆元元)。例例如如，每每一一个个实实数数r rR R均均有有一一个个关关于于加加法法运运算算的的逆逆元元-r r，每每一一个个非非零零实实数数r rR R，均均有有一一个个关关于于乘乘法法运运算的逆元算的逆元1/1/r r。显然，然，对于任何二元运算，于任何二元运算，单位元是可逆的，位元是可逆的，其逆元就是其逆元就是单位元本身。位元本身。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第38页，共65页 3.3.零元零元 定
36、义定义7.77.7 设设是集合是集合A A上的二元运算，如果存在一个上的二元运算，如果存在一个元素元素z zl lAA，使得对于所有的，使得对于所有的aAaA，有，有z zl la=za=zl l，则，则称称z zl l是是A A上关于运算上关于运算的的左零元左零元；如果存在一个元素如果存在一个元素z zr rAA，使得对于所有的，使得对于所有的aAaA均有均有azazr r=z=zr r，则称，则称z zr r是是A A上关于运算上关于运算的的右零元右零元；如果存在一个元素如果存在一个元素zAzA，使得对于所有的，使得对于所有的aAaA均均有有za=az=zza=az=z，则称，则称z z是
37、是A A上关于运算上关于运算的的零元零元(Zero Element)(Zero Element)。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第39页，共65页7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质1 1为单位元，没有零元为单位元，没有零元13971397*1397197133971397 A=1,3,9,7,A A=1,3,9,7,A上模上模1010乘法乘法*运算表如下运算表如下01230123+0123023011230123 B=0,1,2,3,BB=0,1,2,3,B上模上模4 4加法加法+运算表如下运算表如下0 0为单位元为单位元，没有零元，没有零元现在学习的是
38、第40页，共65页037.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质01230000*00123024012303B=0,1,2,3,4,5,BB=0,1,2,3,4,5,B上模上模6 6乘法乘法*运算表如下运算表如下4500050420454345240342210 0为零元，为零元，1 1为单位元。为单位元。现在学习的是第41页，共65页 与与单位位元元的的可可逆逆性性不不同同，零零元元一一般般是是不不可可逆逆的的。例例如如，R上上关关于于一一般般乘乘法法运运算算存存在在零零元元0，但但0是是不不可可逆的。但是否存在其零元可逆的代数逆的。但是否存在其零元可逆的代数结构呢？构呢？设该代数代数
39、结构构单位元位元为e,零元零元为z，零元可逆，零元可逆，设a为z的逆元，的逆元，则：za=e 且且 za=z,故故z=e。若若还存在其他元素存在其他元素b,则可以由可以由z=zb=eb=b知，知，该代数代数结构只有一个元素，即：构只有一个元素，即：,其中，其中，aa=a。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第42页，共65页 定理定理7.37.3 若若是集合是集合A A上的二元运算，又上的二元运算，又设设z zl l和和z zr r分别是分别是的左零元和右零元，则的左零元和右零元，则z zl l=z=zr r=z=z，且，且z z是是的惟一的一个零元。的惟一的一个零元。7
40、.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第43页，共65页4.幂等元幂等元 定定义义7.87.8 设设是是集集合合A A上上的的二二元元运运算算，如如果果aa=aaa=a，则则称称a a是是A A上上的的二二元元运运算算的的一个一个幂等元幂等元(Idempotent element)(Idempotent element)。显然，单位元和零元均是幂等元。显然，单位元和零元均是幂等元。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第44页，共65页7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质例例7.87.8代数结构代数结构A=aA=c;、B=aB=c;*。分析。分析
41、A A、B B是否存在单位元、零元、逆元。是否存在单位元、零元、逆元。*a ab bc ca aa aa ab bb ba ab bc cc ca ac cc ca ab bc ca aa ab bb bb ba ab bc cc ca ab ba a从代数结构从代数结构A A的的运算看出，运算看出，b b是左单位元，无右单位元；是左单位元，无右单位元；a,ba,b是右零元，无左零元是右零元，无左零元;(A)(A)(B)(B)从代数结构从代数结构B B的的*运算看出，运算看出，b b是单位元是单位元,a a为右零元，为右零元，a a的右逆元为的右逆元为c c，无左逆元，无左逆元，b b的逆元为
42、的逆元为b b，c c的右逆元为空，左逆元为的右逆元为空，左逆元为a a。现在学习的是第45页，共65页 例例7.97.9 实实数数集集R R上上的的二二元元运运算算*：a*b=a+b-aba*b=a+b-ab是是否否有有单单位位元元、零零元与元与幂幂等元，如果有等元，如果有单单位元，哪些元素有逆元？位元，哪些元素有逆元？解解 1)1)设设e e是是单单位位元元，则则对对a aR,R,有有e e*a=a*e=aa=a*e=a。考考虑e*a=ae*a=a，即即e*a=e+a-ea=a,e*a=e+a-ea=a,亦亦即即e(1-a)=0,e(1-a)=0,由由于于a a是是任任意意的的，故故e=0
43、e=0。若若e=0e=0，即有，即有0*a=a*0=00*a=a*0=0。因此，。因此，0 0是运算是运算*的的单位元。位元。2)2)设设z z是是 零零 元元，则则 对对 a aR,R,有有z*a=a*z=zz*a=a*z=z。考考 虑z*a=zz*a=z，即即z*a=z+a-za=z,z*a=z+a-za=z,亦亦即即(1-z)a=0,(1-z)a=0,由由a a的的任任意意性性有有z=1z=1。从从而而有有1*a=a*1=11*a=a*1=1。因此，。因此，1 1是运算是运算*的零元。的零元。3)3)设设a a为为幂幂等等元元，则则应应有有a*a=aa*a=a，即即a*a=a+a-aa=
44、aa*a=a+a-aa=a，亦亦即即a(1-a(1-a)=0a)=0，则则a=0a=0或或1 1。因此，。因此，运算运算*的的幂幂等元等元为为0 0或或1 1。4)4)由由1)1)知知单单位元位元为为0 0，设设b b是是a a的逆元，的逆元，则应则应有有a*b=0a*b=0，即，即a+b-a+b-ab=0ab=0，则则b=a/(a-1)b=a/(a-1)，因此，因此，对对于于R R中除中除1 1以外的任何元素都有以外的任何元素都有逆元逆元a/(a-1)a/(a-1)。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第46页，共65页 练习练习5 5 实数集实数集R R上的二元运算上
45、的二元运算*定义为：定义为：r r1 1*r*r2 2=r=r1 1+r+r2 2/2/2 集合集合R R关于关于*运算是否存在单位元、零元和运算是否存在单位元、零元和幂等元？幂等元？7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第47页，共65页 7.2.4 7.2.4 半群半群 定义定义7.97.9 设设S S是一个非空集合，若是一个非空集合，若S S上存在一个二元运上存在一个二元运算算*，适合，适合结合律结合律，即对于，即对于S S中任意中任意a a，b b，c c均有均有(a*b)*c=a*(b*c)(a*b)*c=a*(b*c)，则称代数结构，则称代数结构S 是一个是一个
46、半群半群(Semigroup)(Semigroup)。如果半群如果半群含有关于运算含有关于运算*的的单位元单位元，则称之，则称之为为单元半群单元半群(或称为或称为独异点独异点，Monoid)Monoid)。如果一个半群的运算又满足如果一个半群的运算又满足交换律交换律，则叫，则叫可换半群可换半群。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第48页，共65页P(A)=P(A)=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c 7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质是是单位半群位半群abca,ba,cb,ca,b,cabca,b
47、a,cb,ca,b,c aaa,ba,ca,ba,ca,b,ca,b,cba,bbb,ca,ba,b,cb,ca,b,cabca,cb,cca,b,ca,cb,ca,b,ca,ba,ba,ba,b,ca,ba,b,ca,b,ca,b,cca,ba,ca,ca,b,ca,ca,b,ca,ca,b,ca,b,cb,ca,b,cb,cb,ca,b,ca,b,cb,ca,b,ca,cb,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,ca,b,c现在学习的是第49页，共65页aB=a,B=a,a,b,a,c,a,b,ca,b,a,c,a,b,c7.27.2 代数结构及其
48、性质代数结构及其性质是是单位半群位半群a,ba,ca,b,ca,baa,ba,baa,ca,ca,ca,ba,ca,b,ca,b,cC=C=a,b,a,c,a,b,ca,b,a,c,a,b,c 不是不是单位半群位半群a,ba,ca,b,ca,baa,ba,baa,ca,ca,ca,ba,ca,b,ca,b,caaaaaaaa现在学习的是第50页，共65页 例例7.117.11 在正整数集在正整数集I I+上，上，1)1)普通数的加法是普通数的加法是I I+的一个可结合的二元运算，的一个可结合的二元运算，I+构成一个可换半群。构成一个可换半群。2)2)普通数的乘法是普通数的乘法是I I+的一个可
49、结合的二元运算，的一个可结合的二元运算，I构成一个可换半群。构成一个可换半群。3)3)表表示示如如下下运运算算法法则则：ab=a+b+abab=a+b+ab。由由于于对对于于任任意意正正整整数数a a，b b，abIabI+，故，故是是I I+上的一个二元运算，下面证明这个二元运算适合结合律上的一个二元运算，下面证明这个二元运算适合结合律:事实上事实上 (ab)c=(a+b+ab)c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c(ab)c=(a+b+ab)c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc =a+b+c+ab+ac+bc+abc，而而 a(bc)=
50、a(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)a(bc)=a(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+ab+ac+bc+abc =a+b+c+ab+ac+bc+abc。故有故有 a(bc)=(ab)ca(bc)=(ab)c，即，即I是一个半群。是一个半群。7.27.2 代数结构及其性质代数结构及其性质现在学习的是第51页，共65页 例例7.127.12 有限半群必有幂等元。有限半群必有幂等元。证明证明设设S 是有限半群，需证是有限半群，需证 a a S S，有，有a*a=aa*a=a。对对 b b S S，由由运运算算封封闭闭性性，有有b b2 2=