离散数学群论代数系统.ppt

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1、离散数学群论代数系统现在学习的是第1页，共77页课程安排课程安排总学时：总学时：64讲课学时：讲课学时：64(1-16周周,每周每周4学时学时)教材：教材：离散数学离散数学孙吉贵等孙吉贵等 -高等教育出版社高等教育出版社 参考教材参考教材:1离散数学离散数学-学习指导与习题解答学习指导与习题解答孙吉贵等孙吉贵等 -高等教育出版社高等教育出版社2代数结构与组合数学代数结构与组合数学屈婉玲编著屈婉玲编著-北京大学出版社北京大学出版社3 离散数学习题集离散数学习题集(抽象代数分册抽象代数分册)张立昂编著张立昂编著-北京大北京大学出版社学出版社4应用近世代数应用近世代数胡冠章编著胡冠章编著 -清华大学

2、出版社清华大学出版社现在学习的是第2页，共77页课程重要性课程重要性v离散思想离散思想v考研课程考研课程v计算机等级考试课程计算机等级考试课程v程序员考试课程程序员考试课程v抽象思维能力的培养抽象思维能力的培养现在学习的是第3页，共77页第一讲第一讲 内容提要内容提要现在学习的是第4页，共77页I.群论的出现群论的出现 02 cbxax现在学习的是第5页，共77页aacbbx242 现在学习的是第6页，共77页现在学习的是第7页，共77页 由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解法由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解法，于是数学家们开始进行反思。，于是数学家们开始进行反思。

3、现在学习的是第8页，共77页群论的创始人伽罗华和阿贝尔群论的创始人伽罗华和阿贝尔现在学习的是第9页，共77页阿贝尔 1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自学，并开始花大量时间考虑数学问题，做研究学，并开始花大量时间考虑数学问题，做研究工作。工作。1825年大学毕业后，获得奖学金前往柏林年大学毕业后，获得奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。和巴黎留学并谋职。在柏林他结识了数学家克雷尔（在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle)，并，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物刊物纯粹与应用数学杂志纯粹与应用数

4、学杂志，1826年出第一卷年出第一卷刊登了阿贝尔的刊登了阿贝尔的7篇文章，其中就有关于一般篇文章，其中就有关于一般五次方程不能用根式求解的文章，以后各卷也五次方程不能用根式求解的文章，以后各卷也有他的很多文章。有他的很多文章。现在学习的是第10页，共77页阿贝尔 当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家的当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理：理：“如果方程的次数如果方程的次数n 5，并且系数被看成字母，并且系数被看成字母，那么任何一个由这些系数所组成的根式都不可能，那么任何一个由这些系数所组成的根式都不可能是该

5、方程的解。原来在三个世纪以来用根式去解这是该方程的解。原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成功，只因为这个问题就没有解种方程之所以不能成功，只因为这个问题就没有解。1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数学年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关于椭圆积分的家勒让德和柯西。当时他写了一篇关于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，只好又返回柏林。只好又返回柏林。现在学习的是第11页，共77页阿贝尔 克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年年5月阿贝尔贫

6、病月阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年交加地回到挪威。次年4月月6日患结核病不幸去世，年仅日患结核病不幸去世，年仅27岁。岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任就在他去世后两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿贝尔已无法前往接受这一命为数学教授。但为时已晚，阿贝尔已无法前往接受这一职务了。职务了。阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828年，有年，有4位法位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔提供合适的科学国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大家赞扬

7、。阿研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的，除五次方程外，他还研贝尔在数学方面的成就是多方面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数方程，后人发现这就是具有交换的伽究了更广泛一类的代数方程，后人发现这就是具有交换的伽罗华群的方程。后人为了纪念他，就把交换群称为罗华群的方程。后人为了纪念他，就把交换群称为Abel群群现在学习的是第12页，共77页阿贝尔现在学习的是第13页，共77页阿贝尔现在学习的是第14页，共77页阿贝尔现在学习的是第15页，共77页挪威天才数学家阿贝尔(Abel)现在学习的是第16页，共77页伽罗华现在学习的是第17页，共77页

8、伽罗华 不久，他遇到了数学教师里查德，里查德很快就发现了伽罗华的数学才能，在他的指导下，伽罗华开始研究代数方程理论，1828年17岁时高中未毕业便有重大发现，写出了关于循环连分数特别是五次代数解法的重要论文。现在学习的是第18页，共77页伽罗华现在学习的是第19页，共77页伽罗华现在学习的是第20页，共77页伽罗华现在学习的是第21页，共77页伽罗华现在学习的是第22页，共77页伽罗华现在学习的是第23页，共77页伽罗华现在学习的是第24页，共77页伽罗华现在学习的是第25页，共77页现在学习的是第26页，共77页环论 环论起源于环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德世纪关于实数域

9、的扩张与分类，以及戴德金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。环构造的研究可以说是从环构造的研究可以说是从1908年魏得邦的著名论文年魏得邦的著名论文有限有限维代数的构造维代数的构造开始的。开始的。20世纪二、三十年代，诺特世纪二、三十年代，诺特(Noether)在环中引入了左、右理想的概念建立了环的理想理在环中引入了左、右理想的概念建立了环的理想理论。论。二十世纪二十世纪40年代，环的根理论迅速发展，特别是雅各布年代，环的根理论迅速发展，特别是雅各布森所创造的一般环的根的概念，建立了本原环的理论。森所创造的一般环的根的概念，建立了本原环的理论。20世纪世纪

10、50年代，阿密苏和库洛什又创立了根的一般理论，环年代，阿密苏和库洛什又创立了根的一般理论，环论已趋完善。论已趋完善。现在学习的是第27页，共77页域 论 域也是代数学中最基本的概念之一，有着悠久的域也是代数学中最基本的概念之一，有着悠久的历史。早在历史。早在19世纪初，伽罗华在研究方程的根式世纪初，伽罗华在研究方程的根式解时就有了域的概念。后来在戴德金和克罗内克解时就有了域的概念。后来在戴德金和克罗内克关于代数数的著作里，虽然也出现过域的概念，关于代数数的著作里，虽然也出现过域的概念，不过那时还没有域的抽象概念。不过那时还没有域的抽象概念。域的抽象概念始自韦伯，并在其影响下，德国数域的抽象概念

11、始自韦伯，并在其影响下，德国数学家施泰尼茨（学家施泰尼茨（E.Steinitz)对抽象域进行了系统的对抽象域进行了系统的研究。研究。1910年他发表了论文年他发表了论文域的代数理论域的代数理论，第一次对域的理论作了全面和系统地阐述，奠定了第一次对域的理论作了全面和系统地阐述，奠定了域论的基础。域论的基础。现在学习的是第28页，共77页布尔代数 18351835年，年，2020岁的乔治岁的乔治布尔开办了一所私人授课学校。为布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。不久，他就感到惊讶

12、，这时一些介绍数学知识的教科书。不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只学些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只学过初级数学的青年自学了艰深的过初级数学的青年自学了艰深的天体力学天体力学和很抽象的和很抽象的分析力学分析力学。由于他对代数关系的对称和美有很强的感。由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教书在小学教书,是他开始和许多第一流的英国数学家交往或是

13、他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德通信，其中有数学家、逻辑学家德摩根。摩根。现在学习的是第29页，共77页布尔代数 摩根在摩根在1919世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在根是对的，于是在18481848年出版了一本薄薄的小册子来为朋年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他友辩护。这本书是他6 6年后更伟大的东西的预告，它一问年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即

14、布尔代的研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的种代数中，适当的材料上的 推理推理，成了公式的初等运，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后在此后6 6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。年的漫长时

15、间里，又付出了不同寻常的努力。现在学习的是第30页，共77页布尔代数 18541854年，他发表了年，他发表了思维规律思维规律这部杰作，当时他已这部杰作，当时他已3939岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受。几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛有数学意义的哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰

16、作国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰作出版后不久就去世了。出版后不久就去世了。2020世纪初，罗素在世纪初，罗素在数学原理数学原理中认为，中认为，纯数学是布尔在一部他称之为纯数学是布尔在一部他称之为思维规律思维规律的著作中发现的。的著作中发现的。此说一出，立刻引起世人对布尔代数的此说一出，立刻引起世人对布尔代数的注意。今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一注意。今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。个主要分支。现在学习的是第31页，共77页近世代数的应用近世代数的应用 1项链问题：用项链问题：用n个颜色的珠子做成有个颜色的珠子做成有m颗珠子的项颗珠子的项

17、链，问可做成多少种不同类型的项链链，问可做成多少种不同类型的项链?2分子结构的计算问题：在化学上由某几种元素可合成分子结构的计算问题：在化学上由某几种元素可合成多少种不同的物质问题，由此指导人们在自然界寻找多少种不同的物质问题，由此指导人们在自然界寻找或人工合成这些物质。或人工合成这些物质。3正多面体着色问题：一个正多面体的顶点和面用正多面体着色问题：一个正多面体的顶点和面用n种种颜色着色，问有多少种不同的方法？颜色着色，问有多少种不同的方法？4图的构造与计算问题。图的构造与计算问题。现在学习的是第32页，共77页近世代数的应用 5开关电路的构造与计算问题。开关电路的构造与计算问题。6数字通讯

18、的可靠性问题。数字通讯的可靠性问题。7几何做图问题。几何做图问题。8代数方程根求解问题。代数方程根求解问题。随着代数学的发展，象上面例子中的情况一样，引入随着代数学的发展，象上面例子中的情况一样，引入了许多运算系统，开始是单个地、独立地研究各个具了许多运算系统，开始是单个地、独立地研究各个具体的运算系统。逐渐地发现，很多运算系统有相同的体的运算系统。逐渐地发现，很多运算系统有相同的运算性质。我们可以抽象出来进行讨论。抽象地讨论运算性质。我们可以抽象出来进行讨论。抽象地讨论而得的结果适用于各个具体的运算系统。这种抽象出而得的结果适用于各个具体的运算系统。这种抽象出共同本质后进行统一处理的方法是事

19、半功倍的，因而共同本质后进行统一处理的方法是事半功倍的，因而是代数学研究以及数学研究中最常用的手段，代数学是代数学研究以及数学研究中最常用的手段，代数学中抽象的代数运算很多，但最基本的、最重要的就是中抽象的代数运算很多，但最基本的、最重要的就是群、环和域。群、环和域。现在学习的是第33页，共77页III.代数运算及性质代数运算及性质 定义定义6.1.1设设S是一个非空集合，称是一个非空集合，称SS到到S的一个的一个映射映射f为为S的一个二元代数运算，即，对于的一个二元代数运算，即，对于S中中任意两个元素任意两个元素a，b，通过，通过f，唯一确定，唯一确定S中一个元中一个元素素c：f（a，b）=

20、c，常记为，常记为a*b=c。S f现在学习的是第34页，共77页代数运算是闭运算。代数运算是闭运算。该运算具有很强的抽象性，不限于该运算具有很强的抽象性，不限于+，-，*，/，意义很广泛。，意义很广泛。类似地，可定义类似地，可定义S的的n元代数运算：元代数运算：Sn到到S的映的映射。射。S S中元素任意性使中元素任意性使a a，b b可以是同一个元素。可以是同一个元素。现在学习的是第35页，共77页例 子 例例6.1.1 自然数集自然数集N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上的二元上的二元代数运算；减法和除法不是代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算上的二元代数运算，因为两个自然数相减或

21、相除可能得到的不是，因为两个自然数相减或相除可能得到的不是自然数。自然数。此外。此外。0虽然是自然数，但虽然是自然数，但0不可以作除不可以作除数。数。例例6.1.2 普通的加法、减法与乘法是整数集普通的加法、减法与乘法是整数集Z，有，有理数集理数集Q，实数集，实数集R与复数集与复数集C上的二元代数运算上的二元代数运算，而除法不是这些集合上的二元代数运算，为什，而除法不是这些集合上的二元代数运算，为什么？么？现在学习的是第36页，共77页例 子 例例6.1.3 非零实数集非零实数集R*上的乘法、除法是上的乘法、除法是R*上上的二元代数运算；加法和减法不是的二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元

22、上的二元代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得出得出0 例例6.1.4 设设S是一个非空集合，是一个非空集合，（S）是是S的幂的幂集，则集合的交运算集，则集合的交运算、并运算、并运算是是（S）上）上的二元代数运算。的二元代数运算。现在学习的是第37页，共77页III代数运算及性质代数运算及性质 定义定义6.1.2 设设*是集合是集合S上的二元代数运算，如果对上的二元代数运算，如果对于于S中任意两个元素中任意两个元素a，b，等式，等式a*b=b*a都成立，则称运算都成立，则称运算“*”满足交换律。满足交换律。定义定义6.1.3 设设*是集合是集合S上的

23、二元代数运算，如果上的二元代数运算，如果对于对于S中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，等式，等式（a*b）*c=a*（b*c）都成立，则称运算都成立，则称运算*满足结合律。满足结合律。现在学习的是第38页，共77页代数运算及性质代数运算及性质 定义定义6.1.4 设设*是集合是集合S上的二元代数运算，上的二元代数运算，a是是S中中的元素，如果的元素，如果a*a=a则称则称a是关于运算是关于运算*的幂等元。如果的幂等元。如果S中每个元素都中每个元素都是关于是关于*的幂等元，则称运算的幂等元，则称运算“*”满足等幂律。满足等幂律。定义定义6.1.5 设设*和和+是集合是集合S上的两个二元代数运

24、算上的两个二元代数运算，如果对于，如果对于S中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，等式，等式a*（b+c）=（a*b）+（a*c），），（b+c）*a=（b*a）+（c*a）都成立，则称运算都成立，则称运算*对对+满足分配律。满足分配律。现在学习的是第39页，共77页代数运算及性质代数运算及性质 定义定义6.1.6 设设*和和+是集合是集合S上的两个二元代数运上的两个二元代数运算，如果对于算，如果对于S中任意两个元素中任意两个元素a，b，等式，等式 a*（a+b）=a，a+（a*b）=a，都成立，则称运算都成立，则称运算*和和+满足吸收律满足吸收律。例例6.1.5 整数集整数集Z上的加法、乘

25、法都满足结合律和上的加法、乘法都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。现在学习的是第40页，共77页例 子 例例6.1.6 n阶实矩阵集合上的加法满足结合律，也阶实矩阵集合上的加法满足结合律，也满足交换律；乘法满足结合律，但不满足交换律；满足交换律；乘法满足结合律，但不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。例例6.1.7 设设S

26、是一个非空集合，是一个非空集合，（S）是是S的幂的幂集，则集，则（S）上的交运算）上的交运算、并运算、并运算都满都满足结合律，交换律，足结合律，交换律，对对、对对都满足分都满足分配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律。配律，它们都满足等幂律，也满足吸收律。现在学习的是第41页，共77页补充定义补充定义 定义定义6.1.7 设设*是集合是集合S上的二元代数运算，若存在上的二元代数运算，若存在el S（或（或er S)使得对使得对S中任意元素中任意元素a都有都有el*a=a(或或a*er=a)，则称，则称el（或（或er)是是S中关于中关于*运算的运算的左（左（或右）单位元或右）单位元。若。若e S

27、关于关于*运算既为左单位元运算既为左单位元又为右单位元，则称又为右单位元，则称e为为S中关于中关于*运算的运算的单位元单位元。例例6.1.8 整数集合整数集合Z中关于加法的单位元是中关于加法的单位元是0，关于，关于乘法的单位元是乘法的单位元是1。现在学习的是第42页，共77页补充定义 定义定义6.1.7设设*是集合是集合S上的二元代数运算，若存在上的二元代数运算，若存在 l S（或（或 r S)使得对使得对S中任意元素中任意元素a都有都有 l*a=l(或或a*r=r)，则称，则称 l（或（或 r)是是S中关于中关于*运算的运算的左（或右）零元。若左（或右）零元。若 S关于关于*运算既为左零元运

28、算既为左零元又为右零元，则称又为右零元，则称 为为S中关于中关于*运算的零元。运算的零元。例例6.1.9 n阶（阶（n 2)实数矩阵集合实数矩阵集合Mn（R)中关于矩阵中关于矩阵加法的单位元是加法的单位元是n阶全阶全0矩阵，没有零元，而关于矩矩阵，没有零元，而关于矩阵乘法的单位元是阵乘法的单位元是n阶单位矩阵，零元是阶单位矩阵，零元是n阶全阶全0矩阵矩阵。现在学习的是第43页，共77页补充定义 定义定义6.1.7 设设*是集合是集合S上的二元代数运算，上的二元代数运算，e S是是S中关于中关于*运算的单位元。运算的单位元。对于对于a S若存在若存在al S（或（或ar S)使得使得al*a=e

29、(或或a*ar=e)，则称，则称al（或（或ar)是是a关关于于*运算的左（或右）逆元。若运算的左（或右）逆元。若a-1 S既是既是a关于关于*运运算的左逆元又为右逆元，则称算的左逆元又为右逆元，则称a-1是是a关于关于*运算的逆运算的逆元。元。例例6.1.10 n阶（阶（n 2)实数矩阵集合实数矩阵集合Mn（R)中任何矩中任何矩阵阵M关于矩阵加法的逆元是关于矩阵加法的逆元是-M;而对于乘法只有可逆而对于乘法只有可逆矩阵矩阵M有逆元有逆元M-1。现在学习的是第44页，共77页代数运算及性质代数运算及性质 可以证明集合可以证明集合S上关于二元运算上关于二元运算*的单位元，零元以及若的单位元，零元

30、以及若*满足结合律则满足结合律则S中任意元素中任意元素a的逆元的逆元a-1是唯一的。是唯一的。定义定义6.1.7 设设*是集合是集合S上的二元代数运算，如果对于上的二元代数运算，如果对于S中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，（1 1）若）若 a*b=a*c，则，则b=c，（左消去律），（左消去律）（2 2）若）若 b*a=c*a，则，则b=c，（右消去律），（右消去律）就称就称*满足消去律。满足消去律。需要说明的是，有的书中限制需要说明的是，有的书中限制a a不是关于不是关于*运算的零运算的零元元。现在学习的是第45页，共77页 例例6.1.11 n(n 2)阶实矩阵集合上的加法满足消去阶

31、实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律，例如，律，但乘法不满足消去律，例如，1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 =但但 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1例 子现在学习的是第46页，共77页IV.代数系统代数系统 定义定义6.1.8 设设S是一个非空集合，是一个非空集合，f1，fm是是S 上的若干上的若干代数运算，把代数运算，把S及其运算及其运算f1，fm看成一个整体来看，看成一个整体来看，叫做一个代数系统，记为（叫做一个代数系统，记为（S，f1，fm）例例6.1.13 6.1.13 设设Z Z为整数集，为整数集，Z Z0 0为偶数集，为偶数集，N N为自然数

32、集，为自然数集，+、是数的加法和乘法，则（是数的加法和乘法，则（Z Z，+）、（）、（Z Z，）、（）、（Z Z，+，）都是代数系统；（）都是代数系统；（Z Z0 0，+）、（）、（Z Z0 0，）、（）、（Z Z0 0，+，）都是代数系统；（）都是代数系统；（N N，+）、（）、（N N，）、（）、（N N，+，）都是代数系统。都是代数系统。如果用如果用、分别表示求最大公约数和最小公倍数的运算，、分别表示求最大公约数和最小公倍数的运算，那么那么（Z Z0 0，），），（Z Z，）也是代数系统。）也是代数系统。现在学习的是第47页，共77页代数 到目前位置我们已经对代数系统有了基本的了解，但到

33、目前位置我们已经对代数系统有了基本的了解，但实际当中存在许多代数系统更为复杂，非空的实际当中存在许多代数系统更为复杂，非空的S可能可能为一个集合族，运算也不是一个集合上的运算而是在为一个集合族，运算也不是一个集合上的运算而是在不同的集合之间的运算，即运算数与运算结果属于集不同的集合之间的运算，即运算数与运算结果属于集合族中不同的集合，这样的代数系统叫做合族中不同的集合，这样的代数系统叫做 代数或分代数或分类代数。使用类代数。使用 代数可以给出抽象数据类型的代数代数可以给出抽象数据类型的代数规范，从传统的数据结构到抽象数据结构的使用是规范，从传统的数据结构到抽象数据结构的使用是软件系统设计的新发

34、展。把一类数据和数据上的操软件系统设计的新发展。把一类数据和数据上的操作封装在一起就构成了一个抽象数据类型。作封装在一起就构成了一个抽象数据类型。现在学习的是第48页，共77页本节重点本节重点 对本节这些运算性质要熟悉其定义并会推断某对本节这些运算性质要熟悉其定义并会推断某些性质是否成立。些性质是否成立。后面各种群、环、域、格与布尔代数等代数后面各种群、环、域、格与布尔代数等代数系统的定义都是根据运算的性质来下的，因系统的定义都是根据运算的性质来下的，因此对某代数系统进行判断（如判断它是否为此对某代数系统进行判断（如判断它是否为群），都必然归结到对运算性质的判断上，群），都必然归结到对运算性质

35、的判断上，这是本部份最为重要内容之一。这是本部份最为重要内容之一。现在学习的是第49页，共77页第二讲第二讲 内容提要内容提要现在学习的是第50页，共77页I.半群半群 定义定义6.2.1 设设G是一个非空集合，若是一个非空集合，若为为G上的上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统（统（G，）为半群。若（）为半群。若（G，）是半群，且）是半群，且G中存在对于中存在对于运算的单位元运算的单位元e,则把（则把（G，）称为独异点。称为独异点。例例6.2.1 设设S是一个非空集合，是一个非空集合，（S）是是S的幂集的幂集，和和是是（S）上的交运算和并运算，

36、则（）上的交运算和并运算，则（S），），）为半群，（）为半群，（S），），）为半群。）为半群。现在学习的是第51页，共77页 例例6.2.2 设设S是一个非空集合，规定是一个非空集合，规定S上的运上的运算算 如下：如下：a b=b，其中其中a，b是是S中任意元素。显然中任意元素。显然 为为S上的二元上的二元代数运算。对代数运算。对S中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，有，有：（：（a b）c=b c=c，a （b c）=a c=c，故，（故，（a b）c=a（b c），），满足满足结合律，因此，（结合律，因此，（S，）为半群。）为半群。例 子现在学习的是第52页，共77页例 子 例例6.2

37、.3自然数集自然数集N，整数集，整数集Z，有理数集，有理数集Q，实，实数集数集R关于普通加法或乘法都可以构成半群和关于普通加法或乘法都可以构成半群和独异点。正整数集独异点。正整数集Z+关于普通乘法构成半群和关于普通乘法构成半群和独异点，而关于加法只能构成半群。独异点，而关于加法只能构成半群。现在学习的是第53页，共77页II.群的定义群的定义现在学习的是第54页，共77页群的条件群的条件注意注意:群的定义实际上包含群的定义实际上包含5个条件个条件G非空；非空；现在学习的是第55页，共77页例 子例例6.2.4 设设Z为整数集，为整数集，+、是数的加法和乘法，是数的加法和乘法，则半群（则半群（Z

38、，+）是群，称为整数加法群。因）是群，称为整数加法群。因为存在元素为存在元素0，适合对于，适合对于Z中任意元素中任意元素a，都有，都有0+a=a+0=a，即，即0为单位元素；且对于为单位元素；且对于Z中中任意任意a，都可找到，都可找到Z中一个元素中一个元素-a，满足，满足a+（-a）=（-a）+a=0，即，即-a为为a的逆元素的逆元素。现在学习的是第56页，共77页例 子例例6.2.5 6.2.5 令令G=e,a,b,cG=e,a,b,c，*运算由表运算由表1 1给出。容给出。容易验证易验证*运算满足结合律，运算满足结合律，e e是是G G中的单位元，任中的单位元，任意元素意元素a a的逆的逆

39、a a-1-1=a=a。G G关于关于*运算构成一个群，称运算构成一个群，称为为KleinKlein四元群。四元群。eabceeabcaaecbbbceaccbae现在学习的是第57页，共77页现在学习的是第58页，共77页III.群的性质群的性质-1定理定理6.2.1 设（设（G，）是一个群，则）是一个群，则G中恰有一中恰有一个元素个元素1适合适合1a=a1=a，而且对于任意，而且对于任意a恰有恰有一个元素一个元素 a-1适合适合aa-1=a-1a=1。证明证明：若若1和和1都是单位元素，则都是单位元素，则1=11=1，故，故1=1。若若b和和c都有都有a-1的性质，则的性质，则b=b 1=

40、b（ac）=（ba）c=1c=c，故，故b=c。这就是说群的单位元素是唯一的，任意元素的这就是说群的单位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易见（逆也是唯一的。易见（a-1）-1=a（由逆元的唯（由逆元的唯一性直接得到）。一性直接得到）。现在学习的是第59页，共77页群的性质群的性质-2 定理定理6.2.2 群定义中的条件（群定义中的条件（1）和（）和（2）可以减弱）可以减弱如下：如下：（1）G中有一个元素左壹适合中有一个元素左壹适合1a=a;（2）对于任意对于任意a，有一个元素左逆，有一个元素左逆a-1适合适合a-1 a=1。证明：只要证明由（证明：只要证明由（1）、（、（2）（和其余的条

41、件（和其余的条件联合）可以推出（联合）可以推出（1）和（）和（2），即只需证明），即只需证明a1=a和和aa-1=1。现在学习的是第60页，共77页证法一证法一 证法一证法一：先证a 1=a.由（由（1）知有知有1 1=1，由（，由（2）知知a-1a=1，用其部分代替上式中的，用其部分代替上式中的1，得到（，得到（a-1a）1=a-1a，由（，由（2）知知a-1有逆令其为有逆令其为b，并用，并用b 左左乘上式两端得到乘上式两端得到b （a-1a）1=b (a-1a),由于（由于（G，）是半群，）是半群，运算满足结合律，得到运算满足结合律，得到a 1=a。现在证现在证a a-1=1.由（由（1）

42、知知a 1有左有左1使使 1 a 1=a 1，用，用a-1a代替等式左端的代替等式左端的1得到得到（a-1a）a-1=a 1，由（，由（2）知知a-1有左逆令其为有左逆令其为b，并用并用b 左乘上式两端得到左乘上式两端得到 b （a-1a）a-1=b a-1，得到，得到a a-1=1。现在学习的是第61页，共77页证法二证法二 证法二证法二：先证先证a 1=a.由（由（1）知有知有1 1=1，由（，由（2）知知a-1a=1，用其部分代替上式中的，用其部分代替上式中的1，得到（，得到（a-1a）1=a-1a，由（，由（2）知知a-1有逆令其为有逆令其为b，并用，并用b 左乘左乘上式两端得到上式两

43、端得到b （a-1a）1=b (a-1a),由于（由于（G，）是半群，）是半群，运算满足结合律，得到运算满足结合律，得到a 1=a。现在证现在证a a-1=1.由（由（2）知知a-1有逆令其为有逆令其为b，于是，于是b a-1=1，用，用a 右乘等式两端得到右乘等式两端得到 b a-1 a=1 a，故，故b=a，即，即a a-1=1。证毕。证毕现在学习的是第62页，共77页证法三证法三证法三先证先证aa-1=1。因为（。因为（a-1a）a-1=1a-1=a-1，故（，故（a-1a）a-1=a-1。由（。由（2），a-1也应该有一个左逆也应该有一个左逆b适合适合ba-1=1。于是，一方面有：于是

44、，一方面有：b（a-1a）a-1）=ba-1=l，另一方面有：另一方面有：b（a-1a）a-1）=（ba-1）（aa-1）=1（aa-1）=aa-1，因此，因此，aa-1=1。再证再证a1=a。事实上，。事实上，a1=a（a-1a）=（aa-1）a=1a=a。自然，把（自然，把（1），（，（2）中对于左边的要求一律改中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。成对于右边的要求也是一样。现在学习的是第63页，共77页群的性质群的性质-3 定理定理6.2.3 群定义中的条件（群定义中的条件（1）和（）和（2）等于下列可除）等于下列可除条件：对于任意条件：对于任意a，b，有，有使使 a=b，又有

45、，又有y使使ay=b。证明：分析，首先我们应该清楚证明：分析，首先我们应该清楚(G,)是一个半群这是一个半群这个前提，其次要清楚个前提，其次要清楚x和和y是是G中的元素，最后要清楚定中的元素，最后要清楚定义中的（义中的（1）和（）和（2）两个条件在是承认）两个条件在是承认(G,)是一个半是一个半群基础上等价于可除条件的，即它们能够互相推出群基础上等价于可除条件的，即它们能够互相推出，因此这是一个充分必要条件，需要证明充分性和，因此这是一个充分必要条件，需要证明充分性和必要性。为此，需要证明必要性，即在任一群中可必要性。为此，需要证明必要性，即在任一群中可除条件成立。因为，取除条件成立。因为，取

46、=ba-1，y=a-1b，即得，即得a=b，ay=b，故，由（，故，由（1）和（）和（2）可以推出可除条件成立）可以推出可除条件成立。现在学习的是第64页，共77页证证 明明 充分性，要证明由可除条件也可以推出（充分性，要证明由可除条件也可以推出（1），），（2），为此首先证明由可除条件推出（，为此首先证明由可除条件推出（1），（，（2），进而可以推出（，进而可以推出（1），（），（2）。事实上，取）。事实上，取任意任意cG，命，命e为适合为适合c=c的的，则，则ec=c。今对于。今对于任意任意a，有，有y使使cy=a，故，故ea=e（cy）=（ec）y=cy=a，即（，即（1）成立。至于（成

47、立。至于（2），只要，只要令令a-1为适合为适合a=e的的，则，则a-1a=e。现在学习的是第65页，共77页群的性质群的性质-4 定理定理6.2.4 设G是一个群，在一个乘积a1an中可以任意加括号而求其值。证明：证明：要证定理，只要证明任意加括号而得要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积的积等于按次序由左而右加括号所得的积（a1a2）a3）an-1）an （1）（1）式对于）式对于n=1，2不成问题；对于不成问题；对于n=3，由结，由结合律也不成问题。合律也不成问题。现在学习的是第66页，共77页证证 明明 现在对现在对n用归纳法，假定对少于用归纳法，假定对少

48、于n个因子的乘积（个因子的乘积（1）式成立，试证对）式成立，试证对n个因子的乘积（个因子的乘积（1）式也成立。）式也成立。设有由设有由a1an任意加括号而得到的乘积任意加括号而得到的乘积A，求证，求证A等等于（于（1）式。设在）式。设在A中最后一次计算是前后两部分中最后一次计算是前后两部分B与与C相乘：相乘：A =（B）（C）今今C的因子个数小于的因子个数小于n，故由归纳假设，故由归纳假设，C等于按次等于按次序自左而右加括号所得的乘积（序自左而右加括号所得的乘积（D）an。由结合。由结合律，律，A=（B）（C）=（B）（D）an）=（B）（D）an。现在学习的是第67页，共77页证证 明明 但

49、（但（B）（D）的因子个数小于）的因子个数小于n，故由归纳假设，（，故由归纳假设，（B）（D）等于按次序由左而右加括号所得的乘积（）等于按次序由左而右加括号所得的乘积（B）（D）=（a1a2）a3）an-2）an-1因而因而A=（B）（D）an=（a1a2）a3）an-2）an-1）an即即A等于（等于（1）式。）式。现在学习的是第68页，共77页群的性质群的性质-5n个个a连乘所得的积称为连乘所得的积称为a的的n次方，记为次方，记为an。规定。规定:a0=1，a-n=（an）-1。对于任意整数对于任意整数m，n，下面定律成立，下面定律成立 第一指数律第一指数律：aman=am+n，第二指数律

50、：（第二指数律：（am）n=amn但一般群中第三指数律但一般群中第三指数律(ab)b)n=an b bn不成立。不成立。对群中任意元素对群中任意元素a,b有有(ab)-=b-a-.现在学习的是第69页，共77页证 明 证明：要证明证明：要证明(ab)-=b-a-，只要证明，只要证明b-a-是是ab的的逆元即可。事实上逆元即可。事实上(b-a-)ab=b-(a-a)b=b-1b=b-b=1，且，且(ab)(b-a-)=a(bb-)a-=a1a-=aa-=1，因，因此此b-a-是是ab的逆元。即的逆元。即(ab)-=b-a-。今后，如没有特殊要求，我们可直接引用今后，如没有特殊要求，我们可直接引用