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1、关于函数极限课件现在学习的是第1页，共46页极限的概念极限的概念现在学习的是第2页，共46页极限定义极限定义(Definition of a limit)Definition of a limit)The number L is the limit of the function f(x)as x approaches c(or approaches infinity)if,as the values of x gets arbitrarily(but not equal)to c(or approaches infinity),values of f(x)approach(or equal)
2、L.We write 极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自变极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自变量绝对值无限增大）时，函数值趋近于某个定值。量绝对值无限增大）时，函数值趋近于某个定值。现在学习的是第3页，共46页设设函函数数y=f(x)在在点点 附附近近有有定定义义（在在点点 可可以以无无定定义义），若若当当x无无限限接接近近于于 时时，函函数数f(x)的的值值无无限限接接近近于于常数常数A，则称当，则称当x趋于趋于 时，时，f(x)以以A为极限，记作为极限，记作 或或 f(x)A(x )（描述性定义描述性定义）1.xx0时时函数的极限函数的极限现在学习的是第4页
3、，共46页xf(x)xf(x)1.91.991.9991.9999x2（from the left）This is called the left-hand limit and is written:This is called the right-hand limit and is written:4.94.994.9994.99995.15.015.0015.0001 2.1 2.01 2.001 2.0001 x2 （from the right）f(x)5f(x)5现在学习的是第5页，共46页极限存在定理极限存在定理设设函函数数y=f(x)在在点点 左左(或或右右)侧侧有有定定义义（在
4、在点点 可可以以无无定定义义），若若当当x无无限限接接近近于于 时时，函函数数f(x)的的值值无无限限接接近近于于常常数数A，则则称称当当x趋趋于于 时时，f(x)以以A为为左左（或或右右）极极限限，记作记作 左极限与有极限统称为左极限与有极限统称为单侧极限（单侧极限（one-sided limit）.左右左右极限又可分别记为极限又可分别记为现在学习的是第6页，共46页2.x时函数的极限时函数的极限现在学习的是第7页，共46页Consider the limit of the function现在学习的是第8页，共46页现在学习的是第9页，共46页极限的运算法则（极限的运算法则（Rules o
5、f limits）Then前提很重要前提很重要现在学习的是第10页，共46页Evaluate the following limits对于一切初等函数，当对于一切初等函数，当 在该函数的定义域内，求在该函数的定义域内，求 的的极限值时，只需把极限值时，只需把 代入代入 即可。即可。当当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的的最高次数项最高次数项最高次数项最高次数项，然后再化简。，然后再化简。现在学习的是第11页，共46页当当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的的最高次数项最高次数项
6、最高次数项最高次数项，然后再化简。，然后再化简。现在学习的是第12页，共46页exercise现在学习的是第13页，共46页Homework现在学习的是第14页，共46页现在学习的是第15页，共46页两个重要极限两个重要极限(Two important limits)(Two important limits)?如何证明如何证明?现在学习的是第16页，共46页解解这个结果可以作为公式使用这个结果可以作为公式使用例例 1求求现在学习的是第17页，共46页例例 2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：现在学习的是第18页，共46页 练习练习1.求下列极限求下列
7、极限:现在学习的是第19页，共46页现在学习的是第20页，共46页 例例 3解解例例 4解解现在学习的是第21页，共46页思考题思考题现在学习的是第22页，共46页夹逼定理夹逼定理(Sandwich(Squeeze)theorem)现在学习的是第23页，共46页 例例 用夹逼准则求用夹逼准则求现在学习的是第24页，共46页练习练习3 3：下列等式正确的是（：下列等式正确的是（）练习练习4 4：下列等式：下列等式不不正确的是正确的是（）现在学习的是第25页，共46页练习练习5.现在学习的是第26页，共46页两个重要极限两个重要极限(Two important limits)(Two import
8、ant limits)?现在学习的是第27页，共46页现在学习的是第28页，共46页解解因为因为所以，有所以，有例例 1现在学习的是第29页，共46页例例 2 解解方法一方法一令令 u=-x，因为因为 x 0 时时 u 0，所以所以现在学习的是第30页，共46页方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变量现在学习的是第31页，共46页例例3解解现在学习的是第32页，共46页练习练习解解现在学习的是第33页，共46页极限的应用极限的应用1：找渐近线找渐近线Application of limits：Finding asymptotesA line y=c is a horizonta
9、l asymptote of graph of y=f(x),ifA line x=k is a vertical asymptote of graph of y=f(x),if现在学习的是第34页，共46页极限的应用极限的应用2：连续：连续Application of limits：Continuity连续的定义连续的定义（Definition of continuity）直观认识直观认识：坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线.（图像一笔画图像一笔画）现在学习的是第35页，共46页函数在某点连续函数在某点连续(Continuous at a point)设
10、函数在设函数在 附近有定义，若附近有定义，若 ，则称则称 在点在点 连续连续.若函数若函数f在区间在区间I上的每一个点都连续，则称上的每一个点都连续，则称f为为I上的连续函数上的连续函数.注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函数、有理函数在其定义域上都是连续函数数、有理函数在其定义域上都是连续函数.有理函数有理函数 在在 处不连续处不连续.现在学习的是第36页，共46页现在学习的是第37页，共46页非连续性分类非连续性分类（Kin
11、ds of discontinuity）间断点间断点：若若f在点在点x0无定义，或无定义，或f在在x0有定义而不连续，则称有定义而不连续，则称x0为函数为函数f的的间断点或不连续点间断点或不连续点.1.可去间断可去间断 点点(Removable discontinuity)若若 f在在 无定义，或有定义但无定义，或有定义但2.跳跃间断点（跳跃间断点（Jump discontinuity）若函数若函数f在点在点 的左右极限都存在，的左右极限都存在，但但 ，则称点则称点 为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点.3.无穷间断点（无穷间断点（Infiite discontinuity）至少有一侧极限不存
12、在至少有一侧极限不存在.现在学习的是第38页，共46页(A)is continuous everywhere(B)is continuous except x=0(C)has a removable discontinuity at x=0(D)has a infinite discontinuity at x=0(E)has x=0 as a vertical asymptote现在学习的是第39页，共46页连续函数定理连续函数定理(Theorems of continuous function)1.最值定理（最值定理（Extreme value theorem）若函数若函数f在在闭区间闭区
13、间a,b上连续上连续，则，则f在在a,b上有最大值与上有最大值与最小值最小值.If f is continuous on the closed interval a,b,then f attains a minmum value and a maximum value somewhere in that interval.现在学习的是第40页，共46页2.介值定理（介值定理（Intermediate value theorem）若函数若函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b).若若M为介于为介于f(a)与与f(b)之间的任何实数之间的任何实数(f(a)Mf(b)or f
14、(b)Mf(a)，则，则至少存在一点至少存在一点 c(a,b)，使得，使得f(c)=M.If f is continuous on the closed interval a,b,f(a)f(b),and M is a number such that f(a)Mf(b)（or f(b)Mf(a),then there is at least one number,c,between a and b such that f(c)=M.特别的，若特别的，若f(a)f(b)0，那么存在，那么存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0零点定理零点定理Zero point theorem现在学习的是第41页，共46页Homework现在学习的是第42页，共46页现在学习的是第43页，共46页现在学习的是第44页，共46页（分析性定义分析性定义）AxyoA+A x0y=f(x)x0 x0+现在学习的是第45页，共46页感感谢谢大大家家观观看看31.03.2023现在学习的是第46页，共46页