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1、函数极限函数极限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：要研究以下两种情况：一、当自变量一、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势，二、当自变量二、当自变量x无限地接近于无限地接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放播放通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用精确的数学数学语言刻划函数如何用精确的数学数学语言刻划函数“无无限接近限接近”.2.另两种情形另两种情形:3.几何解释几何解释:例例
2、1 证明证明证证故不妨设故不妨设|x|1，而当而当|x|1时时二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子先看一个例子 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时，f(x)的值无的值无限地接近于限地接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1xyo4注注定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：10。正数。正数，20。正数。正数，30。不等式。不等式定义中定义中所以所以x x
3、0时时，f(x)有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的状态处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在在x0附近附近的变化趋势，即的变化趋势，即 x x0时时f(x)变化有无终极目标，变化有无终极目标，而不是而不是f(x)在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。约定。约定x x0但但 xx00反映了反映了x充分靠近充分靠近x0的程度，它依赖于的程度，它依赖于，对一固定的对一固定的而言，合乎定义要求的而言，合乎定义要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式|f(x)A|来选定，来选定，一般地，一般地，越小，越小，越小越小2.几何解释几何解释:
4、例例2 证明证明证证于是于是恒有恒有例例3 设设x00 证明证明证证恒有恒有例例4 证明证明证证（不妨设（不妨设1）例例5 证明证明证证不妨设不妨设注注 在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x)A|进行放大，放大的原则与数列时的情形进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近的附近考察问题的，对于考察问题的，对于“附近附近”应如何理解，请揣摩应如何理解，请揣摩一下。一下。3.单侧极限单侧极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限例例6证证左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,三、函数
5、极限的性质三、函数极限的性质1.局部有界性局部有界性2.唯一性唯一性3.不等式性质（局部）不等式性质（局部）定理定理(保序性保序性)推论推论定理定理(保号性保号性)推论推论4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理证证例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.Heine定理，又称定理，又称归并原则归并原则即即证明证明设设即即恒有恒有再由再由则对上述则对上述有有又又故故设对设对都有都有要证要证用反证法用反证法若若即即但但现取现取有有满足满足即即但但此与此与矛盾矛盾例例7证证二者不相等二者不相等,四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.