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1、第二章第二章 非线性方程的数值解法非线性方程的数值解法 2.1 二分法二分法 2.2 一般迭代法一般迭代法 2.3 牛顿迭代法牛顿迭代法 2.4 弦截法弦截法（1）确定初始含根区间）确定初始含根区间 数值计算方法主要分为两大类。数值计算方法主要分为两大类。第一类是第一类是区间收缩法区间收缩法。（2）收缩含根区间）收缩含根区间第二类是第二类是迭代法迭代法。（1）选定根的初始近似值）选定根的初始近似值（2）按某种原则生成收敛于根的近似点列）按某种原则生成收敛于根的近似点列2.1二分法二分法 一、根的隔离一、根的隔离将含根区间一个个隔开，找到根的范围，使将含根区间一个个隔开，找到根的范围，使每个区间
2、只有一个根。每个区间只有一个根。定理：对定理：对f(x)=0,f(x)在在a,b上连续上连续,f(a)f(b)0且且f(x)严格单调上升（或严格单调下降）严格单调上升（或严格单调下降），则，则f(x)在在a,b内仅有一根。内仅有一根。1。利用零点存在定理。利用零点存在定理。2.作图作图xyy=tgxy=1/x找出交点找出交点3.隔离法：隔离法：二、对分法二、对分法设设f(x)在在(a,b)上连续且上连续且f(x)=0在在(a,b)只有一个根只有一个根1.算法算法2.收敛性收敛性3.误差控制误差控制例例2.1：试用二分法求：试用二分法求的的非零实根，使其误差小于非零实根，使其误差小于0(+)1.
3、5(-)21.75+11.7521.875+21.87521.9375-31.8751.93751.90265+41.902651.93751.921875+51.921881.93751.92688+2.1.3二分法评述二分法评述优点优点：简单可靠，易于编程实现，它对函数要：简单可靠，易于编程实现，它对函数要求低，适用于的奇数重根情形。求低，适用于的奇数重根情形。缺点缺点：不能直接用于求偶重根，不能用于求复：不能直接用于求偶重根，不能用于求复根，也难以向方程组推广使用，收敛速度慢。根，也难以向方程组推广使用，收敛速度慢。2.2一般迭代法一般迭代法迭代法的算法思想为：迭代法的算法思想为：(1)
4、把（把（2-2）等价变换为如下形式）等价变换为如下形式(2)建立迭代格式建立迭代格式 或更一般地建立迭代格式或更一般地建立迭代格式 (3)适当选取初始值，递推计算出所需的解。适当选取初始值，递推计算出所需的解。一一迭代法的算法思想迭代法的算法思想 二二迭代法的收敛性迭代法的收敛性则称在 内 李普希兹连续李普希兹连续。定义定义2.1设在某个区间 内，函数 满足下述李普希兹条件李普希兹条件：则 在 内李普希兹连续。命题命题2.1 若 在闭区间 内连续且 命题得证。证证定理定理2.1设 x*=g(x*),g(x)在闭区间：内李普希兹连续，则对任何初值 由迭代格式 xk+1=g(xk)计算得到的解序列
5、 收敛于 x*(这时我们称迭代格式 xk+1=g(xk)在 x*的邻域 上局部收敛局部收敛）。（1）首先用数学归纳法证明：由假设知 又设 ，则 综上，由归纳法原理知，结论成立。证证因此，定理得证。反设存在 矛盾。所以结论成立。2)迭代函数在 x*附近李普希兹连续从而收敛的迭代格式统称为皮卡（皮卡（Picard）迭代迭代 (2)由（1）的结论和 g(x)在 内李普希兹连续的假设，可递推得到 注注 1)g(x)在内李普希兹连续的条件保证了x*为 f(x)=0 在 内的唯一根。证证推论推论 设 x*=g(x*)，若 g(x)在 x*附近连续可微且 ，则迭代格式 xk+1=g(xk)在 x*附近局部收
6、敛。注注 由于 x*事先未知，故实际应用时，代之以近似判则 。但需注意，这实际上是假设了x0充分接近 x*，若 x0 离 x*较远，迭代格式可能不收敛。定理定理2.2（非局部收敛定理）（非局部收敛定理）如果 在 上连续可微且以下条件满足：注注虽然定理2.1的条件是充分条件，但其条件并不很强，实际上，我们易证如下命题。命题命题2.2若在区间 内 ，则对任何 ，迭代格式 不收敛。三、三、迭代法的误差估计迭代法的误差估计 故对正整数 p，有（2）事后误差估计）事后误差估计 由此，对给定的精度 可进行(1)事前误差估计事前误差估计简单地代之以或 例例2.2 试建立收敛的迭代格式求解在x=0.5附近的一
7、个根。解解建立迭代格式 0 0.5 0 6 0.56486 -0.0063110.60653 0.10653 7 0.56844 0.0035820.54524 -0.06129 8 0.56641 -0.0020330.57970 0.03446 9 0.56756 -0.0011540.56006 -0.01964 10 0.56691 -0.000655 0.57117 0.01111 四、四、迭代法的收敛速度与加速收敛技巧迭代法的收敛速度与加速收敛技巧 则称该迭代格式是p 阶收敛阶收敛的。p=1时称为线性收敛线性收敛1p2 时称为超线性收敛超线性收敛p=2 时称为平方收敛平方收敛。定义
8、定义2.2设迭代格式 的解序列 收敛于 的根 ，如果迭代误差 当 时满足渐近关系式对分法：线性收敛对分法：线性收敛一般迭代法：线性收敛一般迭代法：线性收敛 2.3牛顿迭代法牛顿迭代法 一、牛顿迭代公式的构造 设 f(x)在其零点 附近连续可微，已知 为的第k次近似值，则 取 的根作为 的第k+1次近似值 其迭代函数为 牛顿迭代法牛顿迭代法几何意义几何意义：过点 作函数 y=f(x)的切线 l：以切线 l 与 x 轴的交点 作为 的新近似值 二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度 定理定理2.3 给定 f(x)=0，如果在根 附近 f(x)二阶连续，且 为 f(x)=0的单根，则牛顿迭代法在 附近至少
9、是平方收敛的。首先证明牛顿迭代法的收敛性收敛性：因此由定理2.1知，牛顿迭代法局部收敛。证证其次证明牛顿迭代法的收敛速度收敛速度：整理得 可见，当 时，牛顿迭代法为平方收敛；当 时，牛顿迭代法超平方收敛。例例2.4 试用牛顿迭代法求解 在区间(2,3)内满足精度要求 的根。相应于该方程的牛顿迭代公式为 取 x0=2，计算结果见表2-4。解解牛顿迭代法评述牛顿迭代法评述 优点优点：是收敛速度比较快 缺点缺点：(1)局部收敛，对初始值的要求比较高。为解决这一问题，可采用二分法来提供足够“好”的近似值作为迭代初值，或通过增加“下山”限制来放宽对初值的要求，即把牛顿迭代法修改为 其中 的选取使得 （这
10、称为“下山”限制）。该方法称为牛顿下山法牛顿下山法。（2）当 为 重根时，牛顿迭代法仅仅线性收敛。（3）由于涉及 的计算，导致了对函数的要求高，并增加了每一迭代步的计算量，这在一定程度上减弱了该迭代法收敛快的优越性，而且在向非线性方程组推广时，使计算量和对函数的要求大大增加。因此，人们致力于研究建立牛顿迭代法的修改格式以回避对函数导数值的计算。本章仅对非线性方程介绍一种较为有效的修改算法弦截法。2.4 2.4 弦截法弦截法 计算思想是：若已知 x*的两个近似值 xk 和 xk-1，则以 f(x)在 xk 与 xk-1 之间的平均变化率(差商)近似代替 ，据此把牛顿迭代法修改为 几何意义几何意义
11、是以过 和 两点做曲线 的弦线 l：以 l 与 x 轴的交点 作为的新近似值（如图2-3所示）弦截法弦截法 定理定理2.4 设 f(x)在其零点 x*的邻域 内二阶连续，且对 ，则对 ，相应的弦截法是 阶收敛的。该定理说明弦截法是超线性收敛的算法，也是局部收敛的方法，其迭代初始值亦可用二分法提供。例例2.5试用弦截法求解 在区间内满足精度要求 的根。相应于该方程的弦截法公式为 取 计算，结果见表2-5。解解例例2.6试讨论函数方程 的根的分布情况，分别用牛顿迭代法和弦截法求其最小正根，使误差小于 ，并比较它们的工作量 因为 x-2-1012f(x)-+-在(0,1)内，下凸 故 f(x)在(0
12、,1)内有惟一零点，所以最小正根 1。若采用牛顿迭代法计算，则 取计算 ，结果见表27。解解若采用弦截法计算，则 取 ，解得的结果见表2-8。例例1：用简单迭代法、牛顿迭代法求：用简单迭代法、牛顿迭代法求在（在（0，1）内的根的近似值。）内的根的近似值。解解列表计算简单迭代法 牛顿迭代法0 0.5 6 0.640061 0 0.510.707107 7 0.641680 1 0.63898620.612547 8 0.640964 2 0.64118530.654041 9 0.641285 3 0.64118640.635498 10 0.6411425 0.643719 11 0.641205例2：用弦截法求 在（1，1.5）内的根的近似值。解解-1 1 -1 3 1.325214 0.002116420 1.5 0.875 4 1.324714 -0.00001687611.266667 -0.234369 5 1.324718 0.00000018221.315962 -0.0370369