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1、第二章第二章 非线性方程的数值解法非线性方程的数值解法/*Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/本章主要内容：本章主要内容：1 1、二分法、二分法2 2、不动点迭代的构造及其收敛性判定、不动点迭代的构造及其收敛性判定（重点）（重点）3 3、Newton和和Steffensen迭代迭代4 4、弦割法与抛物线法、弦割法与抛物线法历史背景历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上，代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上，次代数方程在复数域内一定有次代数方程在复数域内一定有 个根个根(考虑重数考虑重数)。早在。早在1616世纪世纪
2、就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到1919世纪才证明大世纪才证明大于等于于等于5 5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。求方程求方程 几何意义几何意义基本定理基本定理 如果函数如果函数 在在 上连续
3、，且上连续，且则至少有一个数则至少有一个数 使得使得 ，若同时，若同时 的一阶的一阶导数导数 在在 内存在且保持定号，即内存在且保持定号，即 (或或 )则这样的则这样的 在在 内唯一。内唯一。abx*1 1 二分法二分法 /*Bisection Method*/原理：原理：若若 f Ca,b，且，且 f(a)f(b)0，则，则 f 在在(a,b)上上至少有一实根。至少有一实根。基本思想：基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求 出满足
4、给定精度的根出满足给定精度的根 的近似值。的近似值。终止法则？终止法则？abx1x2abWhen to stop?或或不能保证不能保证 x 的精度的精度x*二分法算法二分法算法给定区间给定区间a,b，求，求f(x)=0 在该区间上的根在该区间上的根x.输入输入:a和和b;容许误差容许误差 TOL;最大对分次数最大对分次数 Nmax.输出输出:近似根近似根 x.Step 1 Set k=1;Step 2 Compute x=f(a+b)/2);Step 3 While(k Nmax)do steps 4-6 Step 4 If|x|TOL,STOP;Output the solution x.S
5、tep 5 If x*f(a)0,Set b=x;Else Set a=x;Step 6 Set k=k+1;Compute x=f(a+b)/2);Go To Step 3;Step 7 Output the solution of equation:x;STOP.3、由二分法的过程可知：由二分法的过程可知：4、对分次数的计算公式：对分次数的计算公式：1、2、令令解解：例例1 1：用二分法求方程用二分法求方程 在区间在区间 上的上的根，误差限为根，误差限为 ，问至少需对分多少次？，问至少需对分多少次？简单简单;对对f(x)要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可).无法求复根及无法求复根及
6、偶重根偶重根收敛慢收敛慢 注：注：注：注：用二分法求根，最好先给出用二分法求根，最好先给出 f(x)草图以确定根的大草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将概位置。或用搜索程序，将a,b分为若干小区间，对每分为若干小区间，对每一个满足一个满足 f(ak)f(bk)0 的区间调用二分法程序，可找的区间调用二分法程序，可找出区间出区间a,b内的多个根，且不必要求内的多个根，且不必要求 f(a)f(b)0。优点优点缺点缺点2 迭代法的理论迭代法的理论 /*Theory of Iteration Method*/f(x)=0 x=g(x)（迭代函数）（迭代函数）等价变换等价变换思思路路从一个初值从一个
7、初值 x0 出发，计算出发，计算 x1=g(x0),x2=g(x1),xk+1=g(xk),若若 收敛，即存在收敛，即存在 x*使得使得 ，且，且 g 连续，则由连续，则由 可可知知 x*=g(x*)，即，即x*是是 g 的不动点，也就是的不动点，也就是f 的根。的根。f(x)的根的根g(x)的不动的不动点点一、不动点迭代一、不动点迭代 /*Fixed-Point Iteration*/xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1几何意义几何意义例例2：已知方程已
8、知方程 在在 上有一个根（正根）上有一个根（正根）下面选取下面选取5 5种迭代格式：种迭代格式：1 1、即即2 2、即即3 3、即即4 4、即即5 5、即即取取计算结果如下：计算结果如下：法法1 1法法4 4法法3 3法法2 2法法5 5Lipschitz条件成条件成立的充分条件立的充分条件考虑方程考虑方程 x=g(x),若若(I)当当 x a,b 时，时，g(x)a,b；(II)0 L 1 使得使得 对对 x a,b 成立。成立。则任取则任取 x0 a,b，由，由 xk+1=g(xk)得到的序列得到的序列 收敛于收敛于g(x)在在a,b上的唯一不动点。并且有误差估计式：上的唯一不动点。并且有
9、误差估计式：(k=1,2,)且存在极限且存在极限连续时连续时证明：证明：g(x)在在a,b上存在不动点？上存在不动点？令令有根有根 不动点唯一？不动点唯一？反证：若不然，设还有反证：若不然，设还有 ，则，则在在和和之间。之间。而而 当当k 时，时，xk 收敛到收敛到 x*？L 越越 收敛越快收敛越快可用可用 来控来控制收敛精度制收敛精度小小注：注：注：注：条件条件(II)可改为可改为 在在a,b 满足满足Lipschitz条件条件,定理结论仍然成立定理结论仍然成立(定理定理)。算法算法:不动点迭代不动点迭代给定初始近似值给定初始近似值 x0，求，求x=g(x)的解的解.输入输入:初始近似值初始近似值 x0;容许误差容许误差 TOL;最大迭代次数最大迭代次数 Nmax.输出输出:近似解近似解 x 或失败信息或失败信息.Step 1 Set i=1;Step 2 While(i Nmax)do steps 3-6Step 3 Set x=g(x0);/*计算计算 xi*/Step 4 If|x x0|1)(1)阶收敛的方法，阶收敛的方法，改用改用Stefensen迭代方法优点不多。迭代方法优点不多。取取计算结果如下：计算结果如下：法法2 2原原迭迭代代次次数数29法法3 3原原来来不不收收敛敛法法1 1原原来来不不收收敛敛返回返回