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1、 1 分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程 2.会列出分式方程解简单的应用问题【要点梳理】【高清课堂 分式方程的解法及应用 知识要点】要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将
2、分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于 0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程
3、的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为 0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错
4、误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.2【典型例题】类型一、判别分式方程【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 1】1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？（1）21753997xx （2）352yy（3）31422yy （4）221531xxx【答案与解析】解：（1）虽然方程里含有分母，但是分母里没
5、有未知数，所以不是分式方程；（2）具备分式方程的三个特征，是分式方程；（3）31422yy没有等号，所以不是方程，它是一个代数式；（4）方程具备分式方程的三个特征，是分式方程 特别提醒：（3）题是一个代数式，不是方程，容易判断错误；【总结升华】整式方程与分式方程的区别在于分母里有没有未知数，有未知数的就是分式方程，没有未知数的就是整式方程 类型二、解复杂分式方程的技巧 2、解方程：1310414351xxxx【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，得3131(4)(3)(5)(1)xxxxxx，31310(4)(3)(5)(1)xxxxxx，11(31)0(4)(3)(5)(1)xxxxx，
6、310 x，或110(4)(3)(5)(1)xxxx，由310 x，解得13x ，由110(4)(3)(5)(1)xxxx，解得7x 经检验：13x ，7x 是原方程的根.3【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)xxxx，去分母后的整式方程的解很难求出来注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解 举一反三：【变式】解方程11114756xxxx【答案】解：移项得11114567xxxx，两边同时通分得(5)(4)(7)(6)(4)(5)(6)(7)xxxxxxxx，即11(4)(5)(6)(7)xxxx，因为两个分式分子相同，分式值
7、相等，则分式分母相等 所以(4)(5)(6)(7)xxxx，229201342xxxx，2292013420 xxxx，4220 x，112x 检验：当112x 时，(4)(5)(6)(7)0 xxxx 112x 是原方程的根 类型三、分式方程的增根【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3】3、（1）若分式方程223242mxxxx有增根，求m值；（2）若分式方程2221151kkxxxxx有增根1x ，求k的值【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0 xx，即2x 或2x ，然后把2x 代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x 代入解出k
8、的值.【答案与解析】解：（1）方程两边同乘(2)(2)xx，得2(2)3(2)xmxx (1)10mx 4 101xm 由题意知增根为2x 或2x ，1021 m或1021m 4m 或6m （2）方程两边同乘(1)(1)x xx，得(1)(1)(5)(1)kxxkx 34xk 43kx 增根为1x ，413k 1k 【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值 举一反三：【变式】已知关于x的方程322133xaxxx 无解
9、，求a的值【答案】解：方程两边同乘(3)x约去分母，得(32)(2)(3)xaxx，即(1)2ax 30 x，即3x 时原方程无解，(1)32a，53a 当10a 时，整式方程(1)2ax 无解，当1a 时，原方程无解 综上所述，当53a 或1a 时，原方程无解 类型四、分式方程的应用【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3】4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为 1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设 20 米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设 250米所用的天数相同 (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成
10、该项工程的工期不超过 10 天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设 350米所用的天数与乙工程队铺设 250米所用的天数相同（2）由工期不超过 10 天列出不等式组求出范围.【答案与解析】5 解：(1)设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设20 x米 根据题意，得35025020 xx解得70 x 经检验，70 x 是原分式方程的解且符合题意 故甲、乙两工程队每天分别能铺设 70 米和 50 米(2)设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队1000y米 由题意，得10,70100010,50yy 解得 50
11、0y700 方案一：分配给甲工程队 500米，分配给乙工程队 500米 方案二：分配给甲工程队 600米，分配给乙工程队 400米 方案三：分配给甲工程队 700米，分配给乙工程队 300米 所以分配方案有 3 种【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力.举一反三：【变式】一慢车和一快车沿相同路线从 A 地到 B 地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题：(1)慢车比快车早出发_h，快车追上慢车时行驶了_km，快车比慢车早_h到达 B 地；(2)求慢车、快车的速度 【答案】(1)2 276 4；解：(2)设快车速度为x/km h，则慢车速度为23x/km h(因为快车跑完全程需 12 h，慢车跑完全程需 18 h)依题意，得276276223xx，去分母，得 2762 2763 4x，所以69x，经检验知69x 是原方程的解，所以2463x，答：慢车、快车的速度分别为 46/km h、69/km h