《2020年中考数学基础题提分精讲精练专题21以平行四边形为背景的证明与计算44725.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年中考数学基础题提分精讲精练专题21以平行四边形为背景的证明与计算44725.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1专题 21以平行四边形为背景的证明与计算考点分析【例 1】（2019重庆中考真题）在ABCD中，BE 平分ABC交 AD 于点 E（1）如图 1，若30D，AB6，求ABE的面积；（2）如图 2，过点 A作AF DC，交 DC 的延长线于点 F，分别交 BE，BC 于点 G，H，且 AB AF求证：ED AG FC【答案】（1）32；（2）证明见解析.【解析】（1）解：作BO AD于 O，如图 1 所示：四边形 ABCD是平行四边形，AD BC，ABCD，ABCD，30ABC D ，AEB CBE，30BAO D ，1622BQAB，BE 平分ABC，ABE CBE，ABE AEB，6AE
2、AB，ABE的面积116 362222AEBO；（2）证明：作AQ BE交 DF 的延长线于 P，垂足为 Q，连接 PB、PE，如图 2 所示：AB AE，AQ BE，ABE AEB，BQ EQ，PBPE，2PBEPEB，ABPAEP，ABCD，AFCD，AFAB，90BAF，AQBE，ABGFAP，在ABG和FAP中，90ABGFAPABAFBAGAFP ，(ASA)ABGAFP，AGFP，ABCD，ADBC，180ABPBPC，BCPD，180AEPPED，BPCPED，在BPC和PED中，BCPDBPCPEDPBPE ，(AAS)BPCPED，PCED，-EDAGPCAGPCFPFC3【
3、点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键【例 2】（2019 山东初二期末）在正方形 ABCD 中，E 是边 CD 上一点（点 E 不与点 C、D 重合），连结 BE（感知）如图，过点 A 作 AFBE 交 BC 于点 F易证ABFBCE（不需要证明）（探究）如图，取 BE 的中点 M，过点 M作 FG BE 交 BC 于点 F，交 AD 于点 G（1）求证：BE=FG（2）连结 CM，若 CM=1，则 FG的长为（应用）如图，取 BE 的中点 M，连结
4、CM过点 C 作 CG BE 交 AD 于点 G，连结 EG、MG 若 CM=3，则四边形 GMCE 的面积为【答案】（1）证明见解析；（2）2，9.【解析】感知：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC，BCE=ABC=90，ABE+CBE=90，AFBE，ABE+BAF=90，BAF=CBE，在ABF 和BCE 中，490BAFCBEABBCABCBCE ，ABFBCE（ASA）；探究：（1）如图，过点 G 作 GPBC 于 P，四边形 ABCD 是正方形，AB=BC，A=ABC=90，四边形 ABPG 是矩形，PG=AB，PG=BC，同感知的方法得，PGF=CBE，在PGF 和CBE 中，
5、90PQFCBEPQBCPFGECB ，PGFCBE（ASA），BE=FG；（2）由（1）知，FG=BE，连接 CM，BCE=90，点 M 是 BE 的中点，BE=2CM=2，FG=2，故答案为：2应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，ME=3，5同探究（1）得，CG=BE=6，BECG，S四边形CEGM=12CGME=1263=9，故答案为：9【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、判断出 CG=BE 是解本题的关键考点集训1（2019 四川初三期末）在矩形 ABCD 中，AB=12，P
6、 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B的对应点是点 G，过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F（1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证：AEBDEC；（2）如图 2，求证：BP=BF；当 AD=25，且 AEDE 时，求 cosPCB的值；当 BP=9时，求 BEEF的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；3 1010；108.【解析】（1）在矩形 ABCD 中，A=D=90，AB=DC，E 是 AD 中点，AE=DE，在ABE 和DCE 中，90ABDCADAEDE ，ABEDCE（SAS）；（2）在矩形 ABCD，
7、ABC=90，6BPC 沿 PC 折叠得到GPC，PGC=PBC=90，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；当 AD=25 时，BEC=90，AEB+CED=90，AEB+ABE=90，CED=ABE，A=D=90，ABEDEC，ABDEAECD，设 AE=x，DE=25x，122512xx，x=9 或 x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP，EFCEPGCG，设 BP=BF=PG=y，7152025yy，y=253，BP=253，在 RtPBC 中，PC=25
8、103，cosPCB=BCPC=31010；如图，连接 FG，GEF=BAE=90，BFPG，BF=PG=BP，BPGF 是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，EFABGFBE，BEEF=ABGF=129=108【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键2（2019 甘肃中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AGED交DE于点F，交CD于点G（1）证明：ADGDCE；（2）连接BF，证明：ABFB8【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】证明：
9、（1）四边形ABCD是正方形，90ADG CADDC，又AG DE，90DAG ADFCDE ADF ，DAG CDE，ADG DCE ASA（）（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，E是BC的中点，BECE，又90CHBEDEC HEB，DCE HBE ASA（），BH DC AB，即B是AH的中点，又90AFH，Rt AFH中，12BFAH AB【点睛】9本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形3 （2019 黑龙江初三）如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD
10、中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E，F（1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长【答案】（1）证明见解析；（2）4 133【解析】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE 和DOF 中，OBEODFOBODBOEDOF BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当四边形 BEDF 是菱形时，BDEF，设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x，在 RtADE 中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2
11、，解得：x=133，BD=22ADAB=213，10OB=12BD=13，BDEF，EO=22BEOB=2 133，EF=2EO=4133点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键4 （2019四川中考真题）如图，在四边形ABCD中，/ADBC，延长BC到 E，使CEBC，连接AE交CD于点 F，点 F 是CD的中点求证：（1）ADFECF（2）四边形ABCD是平行四边形【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）/ADBC，DAFE，点 F 是CD的中点，DFCF，在ADF与ECF中，DA
12、FEAFDEFCDFCF ，()ADFECF AAS；（2）ADFECF，AD EC，11CEBC，ADBC，/ADBC，四边形ABCD是平行四边形【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质、平行四边形判定定理.5 （2019山东初二期末）已知，如图，在ABCD 中，延长 DA 到点 E，延长 BC 到点 F，使得 AECF，连接 EF，分别交 AB，CD 于点 M，N，连接 DM，BN.（1）求证：AEMCFN；（2）求证：四边形 BMDN 是平行四边形.【答案】证明见解析【解析】证明：(1）四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC
13、，ADBCE=F，DAB=BCDEAM=FCN又AE=CFAEMCFN（ASA）（2）由（1）AEMCFNAM=CN又四边形 ABCD 是平行四边形ABCDBMDN四边形 BMDN 是平行四边形6 （2019黑龙江中考真题）.已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AEBD于点E，CFBD于点12F；（1）如图1，求证：AECF；（2）如图2，当30ADB时，连接AF.CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的18.【答案】（1）详见解析；（2）ABE的面积CDF的面积BCE的面积ADF的面积矩形ABCD面积的18【解析】（1
14、）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，ADBC，ABECDF，AEBD于点E，CFBD于点F，90AEBCFD，在ABE和CDF中，ABECDFAEBCFDABCD ，ABECDFAAS，AECF；（2）解：ABE的面积CDF的面积BCE的面积ADF的面积矩形ABCD面积的18理由如下：ADBC，30CBDADB，90ABC，60ABE，AEBD，1330BAE，12BEAB，12AEAD，ABE的面积11111122 2288BEAEABADABAD 矩形ABCD的面积，ABE CDF，CDF的面积18矩形ABCD的面积；作EG BC于G，如图所示：30CBD，111122 24
15、EGBEABAB，BCE的面积1111122488BCEGBCABBC AB矩形ABCD的面积，同理：ADF的面积18矩形ABCD的面积【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半，灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直角三角形30 角的性质是解题的关键.7 （2019浙江中考真题）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.（1）求证：BG DE；（2）若E为AD中点，2FH，求菱形ABCD的周长。14【答案】（1）证明见解析；（2）8.【解析】（1）四边形 EFGH 是矩
16、形，EH=FG，EHFG，GFH=EHF，BFG=180-GFH，DHE=180-EHF，BFG=DHE，四边形 ABCD 是菱形，ADBC，GBF=EDH，BGFDEH（AAS），BG=DE；（2）连接 EG，四边形 ABCD 是菱形，AD=BC，ADBC，E 为 AD 中点，AE=ED，BG=DE，AE=BG，AEBG，四边形 ABGE 是平行四边形，AB=EG，EG=FH=2，AB=2，菱形 ABCD 的周长=815【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键8 （2019 山西实验中学初三月考）如图 1，在矩形 ABCD 中，P 为 CD
17、 边上一点（DPCP），APB=90将ADP 沿 AP 翻折得到ADP，PD 的延长线交边 AB 于点 M，过点 B 作 BNMP 交 DC 于点 N（1）求证：AD2=DPPC；（2）请判断四边形 PMBN 的形状，并说明理由；（3）如图 2，连接 AC，分别交 PM，PB 于点 E，F 若DPAD=12，求EFAE的值【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 PMBN 是菱形，理由见解析；（3）49EFAE【解析】解：（1）过点 P 作 PGAB 于点 G，易知四边形 DPGA，四边形 PCBG 是矩形，AD=PG，DP=AG，GB=PCAPB=90，APG+GPB=GPB+PBG=90，A
18、PG=PBG，APGPBG，PGGBAGPG，PG2=AGGB，即 AD2=DPPC；（2）DPAB，DPA=PAM，16由题意可知：DPA=APM，PAM=APM，APB-PAM=APB-APM，即ABP=MPBAM=PM，PM=MB，PM=MB，又易证四边形 PMBN 是平行四边形，四边形 PMBN 是菱形；（3）由于12DPAD，可设 DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，PG2=AGGB，4k2=kGB，GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，CPAB，PCFBAF，45CFPCAFAB，59AFAC，又易证：PCEMAE，AM=12AB=52k,48
19、552CEPCkAEAMk513AEAC，EF=AF-AE=59AC-513AC=20117AC，2041175913ACEFAEAC.【点睛】17本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识9（2019 抚顺市雷锋中学初三月考）在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD的中点 G，连接 EG、CG，如图（1），易证 EG=CG 且 EGCG（1）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90，如图（2），则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系？
20、请直接写出你的猜想（2）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180，如图（3），则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系.请写出你的猜想，并加以证明【答案】（1）EG=CG;EGCG（2）EG=CG；EGCG，证明见解析.【解析】解：（1）EG=CG，EGCG（2）EG=CG，EGCG证明：延长 FE 交 DC 延长线于 M，连 MGAEM=90，EBC=90，BCM=90，四边形 BEMC 是矩形BE=CM，EMC=90，由图（3）可知，BD 平分ABC，ABC=90，EBF=45，又EFAB，BEF 为等腰直角三角形BE=EF，F=45EF=CMEMC=90，FG=DG，18MG=
21、12FD=FGBC=EM，BC=CD，EM=CDEF=CM，FM=DM，又FG=DG，CMG=12EMC=45，F=GMC在GFE 与GMC 中FGMGFGMCEFCM ，GFEGMC（SAS）EG=CG，FGE=MGC.FMC=90，MF=MD，FG=DG，MGFD，FGE+EGM=90，MGC+EGM=90，即EGC=90，EGCG【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质10（2019广东初三期中）（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线
22、上一点，且 DF19BE，求证：CECF；（2）如图 2，在正方形 ABCD中，E 是 AB 上一点，G是 AD 上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形 ABCD中，AD BC（BCAD），B 90，ABBC，E 是 AB 上一点，且DCE45，BE4，DE=10,求直角梯形 ABCD的面积【答案】（1）、（2）证明见解析（3）108【解析】（1）如图 1，在正方形 ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF，CE=CF；（2）如图 2，延长 AD 至 F，使 DF=BE，
23、连接 CF，由（1）知CBECDF，BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45，CE=CF，GCE=GCF，GC=GC，ECGFCG，20GE=GF，GE=DF+GD=BE+GD；（3）过 C 作 CFAD 的延长线于点 F则四边形 ABCF 是正方形AE=AB-BE=12-4=8，设 DF=x，则 AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角ADE 中，AE2+AD2=DE2，则 82+（12-x）2=（4+x）2，解得：x=6则 DE=4+6=10【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决
24、本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线11（2019湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB4，BC6若不改变矩形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动(1)当OAD30 时，求点 C 的坐标；(2)设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD的面积为212时，求 OA 的长；(3)当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cosOAD 的值【答案】(1)点 C 的坐标为(2，3+23)；(
25、2)OA32；(3)OC 的最大值为 8，cosOAD5521【解析】(1)如图 1，过点 C 作 CEy 轴于点 E，矩形 ABCD 中，CDAD，CDE+ADO90，又OAD+ADO90，CDEOAD30，在 RtCED 中，CE12CD2，DE22CDCE23，在 RtOAD 中，OAD30，OD12AD3，点 C 的坐标为(2，3+23)；(2)M 为 AD 的中点，DM3，SDCM6，又 S四边形OMCD212，SODM92，SOAD9，设 OAx、ODy，则 x2+y236，12xy9，x2+y22xy，即 xy，将 xy 代入 x2+y236 得 x218，解得 x32(负值舍去
26、)，OA32；(3)OC 的最大值为 8，22如图 2，M 为 AD 的中点，OM3，CM22CDDM5，OCOM+CM8，当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8，连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ONAD，垂足为 N，CDMONM90，CMDOMN，CMDOMN，CDDMCMONMNOM，即4353ONMN，解得 MN95，ON125，ANAMMN65，在 RtOAN 中，OA22655ONAN，cosOAD55ANOA【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点12 （2019广东初二期中）
27、如图，在正方形 ABCD中，P 是对角线 AC 上的一点，点 E 在 BC的延长线上，且 PE=PB23（1）求证：BCPDCP；（2）求证：DPE=ABC；（3）把正方形 ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图），若ABC=58，则DPE=度【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）58【解析】解：（1）证明：在正方形 ABCD 中，BC=DC，BCP=DCP=45，在BCP 和DCP 中，BCDCBCPDCPPCPC，BCPDCP（SAS）（2）证明：由（1）知，BCPDCP，CBP=CDPPE=PB，CBP=ECDP=E1=2（对顶角相等），1801CDP=1802E，即DPE=DCEABCD，24DCE=ABCDPE=ABC（3）解：在菱形 ABCD 中，BC=DC，BCP=DCP，在BCP 和DCP 中，BCDCBCPDCPPCPC BCPDCP（SAS），CBP=CDP，PE=PB，CBP=E，DPE=DCE，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC=58，故答案为：58