《2020年中考数学基础题型提分讲练专题22以特殊的平行四边形为背景的证明与计算含.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年中考数学基础题型提分讲练专题22以特殊的平行四边形为背景的证明与计算含.doc（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算考点分析【例1】（2020安徽初三）（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面积为24cm2，求ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EPAD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.【解析】解：（1）四边形ABCD是矩形，
2、ADBC，EAO=FCO，由折叠的性质可得：OA=OC，ACEF，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF，四边形AFCE是平行四边形，ACEF，四边形AFCE是菱形；（2）四边形AFCE是菱形，AF=AE=10cm，四边形ABCD是矩形，B=90，SABF=ABBF=24cm2，ABBF=48（cm2），AB2+BF2=（AB+BF）2-2ABBF=（AB+BF）2-248=AF2=100（cm2），AB+BF=14（cm）ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）（3）证明：过E作EPAD交AC于P，则P就是所求的点当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，O
3、A=OC，AOE=COF=90，在平行四边形ABCD中，ADBC，EAO=FCO，AOECOF，OE=OF四边形AFCE是菱形AOE=90，又EAO=EAP，由作法得AEP=90，AOEAEP，则AE2=AOAP，四边形AFCE是菱形，AOAC，AE2=ACAP，2AE2=ACAP【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理，正确推理论证是解题关键【例2】（2019江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30的直角三角形BEF放在正方形上，其中FBE30，BEF90，BEBC，绕B点转动FBE，
4、在旋转过程中，（1）如图1，当F点落在边AD上时，求EDC的度数；（2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM2时，求EG的长；（3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tanECD时，求NED的面积【答案】（1）15；（2）3；（3）【解析】解：（1）如图1中，作EHBC于H，EMCD于M则四边形EMCH是矩形四边形ABCD是正方形，BABCCD，ABCBCD90，BCBE，ABBECD，在RtBFA和RtBFE中，RtBFARtBFE（HL），ABFEBF30，ABC90，EBC30，EHMCBECD，DMCM，EMCD，EDEC，BCE（18030）75，EDCEC
5、D15（2）如图2中，连接BM、BGAM2，DMADAM4，由（1）可知BMABME，BGEBGC，AMEM2，EGCG，设EGCGx，则DG6x在RtDMG中，MG2DG2+DM2，（2+x）2（6x）2+42，x3，EG3（3）如图3中，连接BN，延长FE交CD于G，连接BGANNE，EGCG，BEBC，BG垂直平分CE，ECG+BCG90，GBC+ECB90，ECDGCB，tanGBCtanECD，CGBC2，CD6，DGCDCG4，设ANENy，则DN6y，在RtDNG中，（6y）2+42（2+y）2，解得：y3，ANNE3，DN3，NG5，SNEDSDNG34【点睛】本题是四边形综合
6、题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题考点集训1（2020陕西初三期中）问题：如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA2，PB=，PC1，求BPC的度数和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60，画出旋转后的图形(如图)，连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得APB ，所以BPCAPB ，还可证得ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决（1）根据李明
7、同学的思路填空：APB ，BPCAPB ，等边三角形ABC的边长为 （2）探究并解决下列问题：如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB，PC1.求BPC的度数和正方形ABCD的边长【答案】（1）APB150，BPCAPB150，等边三角形ABC的边长为；（2）BPC135，正方形ABCD的边长为.【解析】（1）等边ABC，ABC=60，将BPC绕点B逆时针旋转60得出ABP，AP=CP=1，BP=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，PBC+ABP=ABC=60，ABP+ABP=ABC=60，BPP是等边三角形，PP=，BPP=60，AP=1，AP=2，AP2+PP2=AP2，APP=
8、90，BPC=APB=90+60=150，过点B作BMAP，交AP的延长线于点M，MPB=30，BM=，由勾股定理得：PM=，AM=1+=，由勾股定理得：AB=，故答案为：150，（2）将BPC绕点B逆时针旋转90得到AEB，与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，BPC=AEB，ABE=PBC，EBP=EBA+ABP=ABC=90，BEP=（180-90）=45，由勾股定理得：EP=2，AE=1，AP=，EP=2，AE2+PE2=AP2，AEP=90，BPC=AEB=90+45=135，过点B作BFAE，交AE的延长线于点F；FEB=45，FE=BF=1，AF=2；在RtABF中，
9、由勾股定理，得AB=；BPC=135，正方形边长为答：BPC的度数是135，正方形ABCD的边长是【点睛】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的 直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键2（2019云南初三月考）如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，E是边AB上一点，将CBE沿直线CE对折，得到CFE，连接DF（1）当D、E、F三点共线时，证明：DECD；（2）当BE1时，求CDF的面积；（3）若射线DF交线段AB于点P，求BP的最大值【答案】（1）见解析；（2）；（3）4【解
10、析】证明：（1）四边形ABCD是矩形ABCD4，ADBC3，ABCD，DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEBDCEFECDECD（2）如图1，延长EF交CD的延长线于点G，四边形ABCD是矩形ABCD4，ADBC3，ABCD，DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEB，CFBC3，EFBE1，CFE90DCEFEC，CFG90CGEG，GFGEEFCG1在RtCGF中，CG2CF2+GF2，CG29+（CG1）2，解得：CG5CDF与CGF分别以CD、CG为底时，高相等SCDFSCGF（3）如图2，过点C作CHDP于点H，连接CP，CDABCDPAPD，且ACHD90ADPHCD，CH
11、CF，CFBCAD3CH3当点H与点F重合时，CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，此时，在ADP与HCDADPHCD（AAS）CDDP4，APDFAPBP的最大值为4【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质3（2019江苏初二期末）如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点M（1）直接写出AM=；（2）P是射线AM上的一点，Q是AP的中点，设PQ=xAP= ，AQ= ；以PQ为对角线作正方形，设所作正方形与ABD公共部分的面积为S，用含x的代数式表示S，并写出相应的x的取值范围(直接写出，不需要写过程)【答案】（
12、1）；（2）2x，x；S(0x)【解析】解：（1）正方形ABCD的边长为4，对角线AC4，又AM2故答案为：2（2）Q是AP的中点，设PQ=x，AP=2PQ=2x，AQ=x故答案为：2x；x如图：以PQ为对角线作正方形，GQM=FQM=45正方形ABCD对角线AC、BD交于点M，FMQ=GMQ=90，FMQ和GMQ均为等腰直角三角形，FM=QM=MGQM=AMAQ=2x，SFGQM，S，依题意得：，0x2，综上所述：S(0x2)，【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角解答本题要充分利用等腰直角三角形
13、性质解答4（2019江苏初二期末）（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，将图（1）中的APB绕着点B逆时针旋转90，得到APB，延长AP交AP于点E，试判断四边形BPEP的形状，并说明理由【答案】（1）AMBN，证明见解析；（2）四边形BPEP是正方形，理由见解析.【解析】（1）AMBN 证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABM=BCN=90BM=CN，ABMBCN BAM=CBNCBN+ABN=90，ABN+BAM=90，APB=90AMBN （2）四边形BPE
14、P是正方形. APB是APB绕着点B逆时针旋转90所得，BP= BP,PBP=90.又由（1）结论可知APB=APB=90，BPE=90.所以四边形BPEP是矩形.又因为BP= BP,所以四边形BPEP是正方形.【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知正方形的性质与判定.5（2020山东初三期末）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AHDG，交BG于点H连接HF，AF，其中AF交EC于点M（1）求证：AHF为等腰直角三角形（2）若AB3，EC5，求EM的长【答案】（1）见解析；（2）EM【解析】证明：（1）四边形ABCD，四边形EC
15、GF都是正方形DABC，ADCD，FGCG，BCGF90ADBC，AHDG，四边形AHGD是平行四边形AHDG，ADHGCD，CDHG，ECGCGF90，FGCG，DCGHGF（SAS），DGHF，HFGHGDAHHF，HGD+DGF90，HFG+DGF90DGHF，且AHDG，AHHF，且AHHFAHF为等腰直角三角形（2）AB3，EC5，ADCD3，DE2，EF5ADEF，且DE2EM【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，综合性较强难度大灵活运用这些知识进行推理是本题的关键6（2020深圳市龙岗区石芽岭学校初三月考）如图
16、，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N（1）求证：CM=CN；（2）若CMN的面积与CDN的面积比为3：1，求的值【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可得：ANM=CNM，四边形ABCD是矩形，ADBCANM=CMNCMN=CNMCM=CN（2）过点N作NHBC于点H，则四边形NHCD是矩形HC=DN，NH=DCCMN的面积与CDN的面积比为3：1，MC=3ND=3HCMH=2HC设DN=x，则HC=x，MH=2x，CM=3x=CN在RtCDN中，HN=在RtMNH中，7（2020河南初三）如
17、下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点另一边交的延长线于点（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是 ；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值【答案】（1）；（2）成立，证明过程见解析；（3）.【解析】（1），理由如下：由直角三角板和正方形的性质得在和中，；（2）成立，证明如下：如图，过点分别作，垂足分别为，则四边形是矩形由正方形对角
18、线的性质得，为的角平分线则在和中，；（3）如图，过点分别作，垂足分别为同（2）可知，由长方形性质得：，即在和中，.【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.8（2020江苏初二期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE4时，求AF的长；（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG10时，求证：EFG是等腰三角形；求AF的长；（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上
19、，B点的对应点E到AD的距离是4，且BG5时，求AF的长【答案】（1）AF3；（2）见解析；AF6；（3）AF1【解析】（1）解：纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，BFEF，AB8，EF8AF，在RtAEF中，AE2+AF2EF2，即42+AF2（8AF）2，解得AF3；（2）证明：纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，BGFEGF，长方形纸片ABCD的边ADBC，BGFEFG，EGFEFG，EFEG，EFG是等腰三角形；解：纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，EGBG10，HEAB8，FHAF，EFEG10，在RtEFH中，FH6， AFFH6；（3）解：如图3，设EH与AD相交于点K
20、，过点E作MNCD分别交AD、BC于M、N，E到AD的距离为4，EM4，EN844，在RtENG中，EG=BG=5，GN3， GEN+KEM180GEH1809090，GEN+NGE1809090，KEMNGE，又ENGKME90，GENEKM，即， 解得EK，KM， KHEHEK8， FKHEKM，HEMK90，FKHEKM，即， 解得FH1，AFFH1【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质定理，每个小问的问题都是求AF的长度，故解题中注意思路和方法的总结，（3）中的解题思路与（2）相类似，求出FH问题得解，故将问题转化是解题的一种特别重要的思路.9（2019河南初三期
21、中）正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E在CD边上，AD3，DE，连接AE，CG（1）线段AE与CC的关系为_；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当AEC90时，请直接写出AE的长【答案】（1）AECG，AECG；（2）仍然成立；理由见解析；（3）AE的长为2+1或21【解析】（1）线段AE与CG的关系为：AECG，AECG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADECDG9
22、0，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+AED90，AEDCEH，GCD+CEH90，CHE90，即AECG，故答案为：AECG，AECG；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADCEDG90，ADC+CDEEDG+CDE，即ADECDG，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+APD90，APDCPH，GCD+CPH90，CHP90，即AECG，AECG，AECG，中的结论仍然成立；（3）如图31，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DMAE于点M，AEC90，DEG45，A
23、ED45，RtDME是等腰直角三角形，MEMDDE1，在RtAMD中，ME1，AD3，AM2，AEAM+ME2+1；如图32，当点E旋转到线段CG的延长线上时，过点D作DNCE于点N，则END90，DEN45，EDN45，RtDNE是等腰直角三角形，NENDDE1，在RtCND中，ND1，CD3，CN2，CENE+CN2+1，ACAD3，在RtAEC中，AE21，综上所述，AE的长为2+1或21 【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质，正方形的性质，旋转的性质以及勾股定理，解题关键是在第（3）问中能够根据题意分情况讨论并画出图形，才能保证解答的完整性10（2019云南初三）如图，在矩
24、形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：CBECPE；（2）求证：四边形AECF为平行四边形；（3）若矩形ABCD的边AB6，BC4，求CPF的面积【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）解：由折叠可知，EPEB，CPCB，ECEC，ECPECB（SSS）（2）证明：由折叠得到BEPE，ECPB，E为AB的中点，AEEBPE，APBP，AFEC，AEFC，四边形AECF为平行四边形；（3）过P作PMDC，交DC于点M，在RtEBC中，EB3，BC4，根据勾股定理得： ，由折叠得：BP2BQ
25、，在RtABP中，AB6，BP，根据勾股定理得： ,四边形AECF为平行四边形，AFEC5，FCAE3，PF5，PMAD，FPMFAD，即解得：PM，则SPFCFCPM3【点睛】本题考查的是利用折叠性质来证明三角形全等和平行四边形四边形，还考查了利用勾股定理、面积公式来求三角形的边长，利用相似三角形的性质对应边成比例来求出三角形的高，进而求出三角形的面积本题第（3）中求也可利用APBEBC，对应边成比例,求AP，这样比较简便11（2019江西初三期中）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BEPA、DFPA，垂足为E、F，如图（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长
26、度具有怎样的数量关系，若点P在DC的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明【答案】（1）图中，BE=DF+EF；图中，BE=DF-EF；图中，BE=EF-DF；（2）见解析【解析】解：（1）在正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90，BAE+DAF=90，BEPA，DFPA，AEB=DFA=90，ABE+BAE=90，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF(AAS)，AE=DF，AF=BE，如图，AF=AE+EF，BE=DF+EF，如图，AE=AF+EF，BE
27、= DF -EF，如图，EF=AE+AF，BE = EF -DF（2）证明：如图题，ABCD是正方形，AB=AD，BEPA，DFPA，AEB=AFD=90，ABE+BAE=90DAF+BAE=90，ABE=DAF，RtABERtDAF，BE=AF，AE=DF，而AF=AE+EF，BE=DF+EF；【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键12（2020河北初三期末）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在的延长线上，且满足，连接、，与边交于点（1）求证：；（2）如果，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：证明（1）四边形ABCD是正方形，ABAD，CADACB45，BADCDAB90，BAMMAD90，ADN90MAN90，MADDAN90，BAMDAN，且ADAB，ABCADN90ABMADN（ASA）AMAN，（2）AMAN，MAN90，MNA45， CAD2NAD45，NAD22.5CAMMANCADNAD22.5CAMNAD，ACBMNA45， AMCAEN ，且ANAM，AN2AEAC【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质是解题的关键