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1、 专题 11.1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知识点一 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法.知识点二 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法.【特别提醒】分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种
2、方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.【知识必备】分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.考点一 分类加法计数原理的应用【典例 1】（河北衡水中学 2019 届模拟）(1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有 8 班汽车、2 班火车和 2 班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有_种不同的方法.(2)满足 a，b1，0
3、，1，2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为_.【方法技巧】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方 法才是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏 a0 这一类.【变式 1】（北京师范大学附中 2019 届模拟）(1)从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不同的选法种数为()A.6 B.5 C.3 D.2(2)从集合1
4、，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A.3 B.4 C.6 D.8 考点二 分步乘法计数原理的应用【典例 2】（湖南浏阳一中 2019 届质检）(1)用 0，1，2，3，4，5 可组成无重复数字的三位数的个数为_.(2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种.【方法技巧】1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2.分
5、步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.【变式 2】（山西康杰中学 2019 届模拟）已知 a1，2，3，b4，5，6，7，则方程(xa)2(yb)24 可表示不同的圆的个数为()A.7 B.9 C.12 D.16 考点三 与数字有关的问题【典例 3】（河北衡水二中 2019 届调研）在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 可构成无重复数字的“驼峰数”有_个 【变式 3】（内蒙古呼和浩特市二中 2019 届模拟）用 0，1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243 B.252 C.261 D.279 考点四 与涂色、种植问题【典例 4】（辽宁沈阳二中 2019 届质检）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法种数。【变式 4】（吉林长春市实验中学 2019 届模拟）(1)如图所示，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A，B，C，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A.72 种 B.48 种 C.24 种 D.12 种(2)如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答).