《考研数学历年真题(1987-1997)年数学二-新修正版6950.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学历年真题(1987-1997)年数学二-新修正版6950.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、修正版 1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）已知 axxaxxosxxfx处连续，则，在，0002 _.（2）设则,11ln2xxy 0 xy_.（3）xxdx4_.（4）设0284xxdx_.（5）已知向量组)2,5,4,0(,0,0,21,12,132,1），（），（t的秩为 2，则t=_.二、选择题 1.设nxxxeex与时，tan,0是同阶无穷小，则n为（）（A）1（B）2（C）3（D）4(2)设在区间,a b上()0,()0,()0.f xfxfx记1231(),()(),()()(
2、),2baSf x dx Sf b ba Sf af bba则（）(A)123SSS (B)231SSS (C)312SSS (D)213SSS (3)已知函数 xfy 对一切x满足 则若,00,13002 xxfexfxxf xx（）(A)的极大值是xfxf0 (B)的极小值是xfxf0 (C)）的拐点（是，xfyxfx)(00 (D)的拐点也不是曲线的极值，不是xfyxfxxfxf)(,000 (4)设2sin()esin,xtxF xtdt则()F x（）(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 （5）.设 为则,0,0,0,20,22xfgxxxxxfxxxxxg（
3、）（A）0,20,22xxxx（B）0,20,22xxxx 修正版 （C）0,20,22xxxx（D）0,20,22xxxx 三、（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）（1）求极限.sin114lim22xxxxxx（2）设 52arctan2tetyytxxyy由所确定，求.dxdy（3）计算.)1(tan22dxxex（4）求微分方程0223222dyxyxdxyxyx的通解。（5）已知xxxxxxxeexeyexeyexey23221,是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。（6）已知EEABAA其中，且,1110110012是三阶单位矩阵，求矩阵.B 四、（本题
4、满分 8 分）取何值时，方程组1554212321321321xxxxxxxxx无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。五、（本题满分 8 分）设曲线L的极坐方程为 LrMrr为,上的任一点，LM为，020上一定点，若极径LOMOM与曲线、0所围成的曲边扇形面积值等于MML,0上两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。六、（本题满分 8 分）设函数 xf在闭区间0,1上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足 ，为常数axaxfxf x223又曲线 0,1yxxfy与所围成的图形S的面积值为 2，求函数 xfy，并问a为何值时，图形xS绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。七、
5、（本题满分 8 分）已知函数 xf连续，且 xxdtxtfxxxfx并讨论求，设,2lim100的连续性 八、（本题满分 8 分）就k的不同取值情况，确定方程kxxsin2在开区间），（2,0内根的个数，并证明你的结论。修正版 1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）设0 x322y,)(则xexy_.（2）dxxx21121）（_.（3）微分方程的052 yyy通解为_.（4）)11ln(sin)31ln(sinlimxxxx_.（5）由曲线22,1yxxxy及所围图形的面积S_.二、选择题 1
6、.设22)1(0 xbxaxexx是比时，高阶的无穷小，则（）（A）1,21ba （B）1,1ba （C）1,21ba （D）1,1ba(2)设函数 xf在区间），（内有定义，若当),(x时，恒有 0,2xxxf则必是 xf的（）(A)间断点 (B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且0)0(f (D)可导的点，且 00 f (3)设)(xf处处可导，则（）(A)xfxfxxlim,lim必有当(B)xfxfxxlim,lim必有当 (C)xfxfxxlim,lim必有当(D)xfxfxxlim,lim必有当 (4)在区间0cos2141xxx）内，方程，（）(A)无实根 (B)有且仅有一个实
7、根 (C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根 （5）.设),()()()(,)(),(xgymmxfxgbaxgxf，由曲线为常数上连续，且在区间bxaxxfy及),(所围平面图形绕直线my 旋转体体积为（）（A）badxxgxfxgxfm)()()()(2（B）badxxgxfxgxfm)()()()(2 （C）badxxgxfxgxfm)()()()(（D）badxxgxfxgxfm)()()()(三、（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）修正版（1）计算.12102dxenx（2）求.sin1xdx（3）设,)(,)(2202tfyduufxt其中)(uf具有二阶导数，
8、且.,0)(22dxyduf求（4）求函数011)(xxxxf在点处带拉格朗日型余项n阶泰勒展开式。（5）求微分方程2xyy 的通解。（6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为ba 22、，用过此柱体底面的短轴与底面成）角（20的平面截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积.V 四、（本题满分 8 分）计算不定积分.)1(arctan22dxxxx 五、（本题满分8 分）设函数.2,1,1,1612,21)(32xxxxxxxxf（1）写出)(xf的反函数)(xg的表达式；（2）)(xg是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。修正版 六、（本题满分 8 分）设函数)(xyy 由方程
9、1222223xxyyy所确定，试求)(xyy 的驻点，并判别它是否为极值点。七、（本题满分 8 分）设)(xf在区间,ba上具有二阶导数，且,0)()(,0)()(bfafbfaf试证明：存在.0)(0)(,ffbaba及），使（）和（八、（本题满分 8 分）设)(xf为连续函数，（1）求初值问题为正的常数；其中的解axyyxfayyx),(0),(0 （2）若).1()(0)()(axeakxyxkkxf时，有，证明：当为常数 修正版 1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）设yxxy则,1s
10、in)cos(22_.（2）微分方程的通解为xyy2 _.（3）曲线2132tytx处的切线方程为_.（4）)2211(lim222nnnnLnnnnn_.（5）由曲线22xexy的渐近方程为_.二、选择题 1.设)()(xfxxf）内有定义，）在（和为连续函数，且)(,0)(xxf有间断点，则（）（A）必有间断点)(xf （B）必有间断点2)(x （C）必有间断点)(xf （D）必有间断点）（)(xfx(2)曲线xxxxy与)2)(1(轴所围图形的面积可表示为（）(A)20)2)(1(dxxxx (B)2110)2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx (C)2110)2)(1()2)(1
11、(dxxxxdxxxx (D)20)2)(1(dxxxx (3)设)(xf在），（内可导，且对任意则时，都有当),()(,212121xfxfxxxx（）(A)0)(,xfx对任意 (B)0)(,xfx对任意 (C)单调增加函数)(xf (D)单调增加函数)(xf (4)设函数)1()0()0()1()0()1(,0)(1,0)(ffffffxfxf 或、则上在的大小顺序是（）(A)0()1()0()1(ffff (B)0()0()1()1(ffff (C)0()1()0()1(ffff (D)0()1()0()1(ffff（5）.设处可导，则必有在若使）（可导，0)(|),sin|1)()(
12、xxFxxfxFxf（）（A）0)0(f （B）0)0(f （C）0)0()0(ff （D）0)0()0(ff 修正版 三、（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）（1）求.)cos1(1lim0 xxxosxx（2）设函数)(xyy 由方程yyfexe)(确定，其中f具有二阶导数，且.122dxydf，求（3）设.)(),(,2ln)1(222dxxxfxxxf求且（4）设,0,0,0,1arctan)(2xxxxxf试讨论)(xf 在0 x处的连续性。（5）求摆线.20sincos1）的弧长一拱（tttytx（6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度,00vvt已知阻力与速度
13、成正比（比例常数为 1），问t为多少时此质点的速度为30v？并求到此时刻该质点所经过的路程。四、（本题满分 8 分）求函数dtetxftx20)2()(的最大值和最小值。五、（本题满分 8 分）设xyxpyxeyx)(是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件021 nxy的特解。修正版 六、（本题满分 8 分）如图，设曲线L的方程为MPMTyxfy,0),(又且 分别为该曲线在点）（00,yxM处的切线和法线，已知线段MP的长度为)(),(1000002320 xyyxyyyy 其中）（试推导出点），（P的坐标表达式。七、（本题满分 8 分）设00.)(,sin)(dxxfdtttxfx计算
14、八、（本题满分8 分）设.)(,)(,1)(lim0 xxfxfxxfx 证明且 修正版 1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）若axaxxexxfax）上连续，则，在（0,0,12sin)(2_.（2）设函数)(xyy 由参数方程2223),1(1dxydttytntx所确定，则_.（3）xdttfdxd3cos0)(_.（4）dxexx23_.（5）微分方程0)4(2dyxxydx的通解为_.二、选择题 1.设2)()1ln(lim220 xbxaxxx则（）（A）25,1ba （B）2,0
15、ba （C）25,0ba （D）2,1ba(2)设处的在点则1)(,1,1,32)(23xxfxxxxxf（）(A)左、右导数都存在 (B)左导数存在，但右导数不存在 (C)左导数不存在，但右导数存在 (D)左、右导数都不存在(3)设)(xfy 是满足微分方程在则的解，且)(,0)(00sinxfxfeyyx（）(A)的某个领域内单调增加0 x (B)的某个领域内单调减少0 x (C)出取得极小值0 x (D)处取得极大值0 x (4)曲线)2)(1(1arctan221xxxxeyx的渐近线有（）(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 （5）.设2243222224342,)
16、cossin(,)cos(sin,cos1sindxxxxPdxxxNxdxxxM则有（）（A）MPN （B）NPM （C）PMN （D）NMP 修正版 三、（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）（1）设.1),(22dxydfyxfy，求阶导数不等于具有二阶导数，且其一其中（2）计算.)1(10234dxxx（3）计算).24(tanlimnnn（4）计算.sin22sinxxdx（5）如图，设曲线方程为212 xy，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为1D，为A的坐标为.23,00,1DDaa证明），（四、（本题满分 9 分）设0 x当时，方程112xkx有且仅有
17、一个解，求k的取值范围 五、（本题满分 9 分）设,423xxy （1）求函数的增减区间及极值；（2）求函数图像的凹凸区间及拐点；修正版 （3）求其渐近线；（4）作出其图形。六、（本题满分 9 分）求微分方程xyaysin2 的通解，其中常数.0a 七、（本题满分 9 分）设010.)()(10 1,0)(dxxfdxxfxf时，当上连续且递减，证明：在 八、（本题满分 8 分）求曲线3|1|32yxxy线轴围成的封闭图形绕直与旋转所得的旋转体体积。修正版 1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）
18、xxxlnlim0_.（2）函数)(xyy 由方程dxdyxyeyxx所确定，则0)sin(222_.（3）设)(),0()12()(1xFxdttxFx则函数的单调减少区间是_.（4）dxxxcostan_.（5）已知曲线），过点（210)(xfy，且其上任一点）（yx,处的切线斜率为)(),1(2xfxxin则_.二、选择题 1.当是时，变量xxx1sin102则（）（A）无穷小 （B）无穷大 （C）有界的，但不是无穷小 （D）有界的，但不是无穷大(2)设)(1,1,2,1,1|1|)(2xfxxxxxxf处函数则在点（）(A)不连续 (B)连续，但不可导 (C)可导，但导数不连续 (D)
19、可导，且导数连续(3)已知）为（则）（设xFxdttfxFxxxxfx,)20()(,21,1,10,)(12（）(A)21,10,313xxxx (B)21,10,31313xxxx (C)21,110,313xxxx (D)21,110,31313xxxx (4)设常数），在（函数0ln)(,0kexxxfk内零点个数为（）(A)3 (B)2 (C)1 (D)0（5）.设）内，在（则）内，在（0)(,0)(,0)(0),()(xfxfxfxfxf则有（）（A）0)(,0)(xfxf（B）0)(,0)(xfxf （C）0)(,0)(xfxf（D）0)(,0)(xfxf 三、（本题共 5 小题
20、，每小题 5 分，满分 25 分）修正版（1）设.),(sin222dxydfxfy具有二阶导数，求其中（2）求).100(lim2xxxx（3）求.2cos140dxxx（4）求.103dxxx（5）求微分方程0)cos2(12dxxxydyx）（满足初始条件求.00的特解xy 四、（本题满分 9 分）设二阶常数系数线性微分方程求xeyyay 的一个特解为求,)1(2xxexey试确定常数，并求该方程的通解。五、（本题满分 9 分）设平面图形A由求体积。旋转一周所得旋转体的绕直线所确定，求图形与2222xAxyxyx 六、（本题满分 9 分）作半径为求r的球外切正圆锥，问此圆锥的高求h为何值
21、时，其体积求V最小，并求出该最小值。七、（本题满分 6 分）设.,0 xaaaxaeax）证明（常数 八、（本题满分 8 分）设求.)(max,2)(,0)0(,0)(020 xfMMadxxffaxfaxa其中证明：上连续，且在 修正版 1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）设0300),1(,)(ttdxdyffefytfx，则）（可导，且其中_.（2）函数2,0cos2在xxy上的最大值为_.（3）设xexxxcos11lim20_.（4）1)1(xxdx_.（5）由曲线xxey 与直线e
22、xy 所围成的图形的面积S_.二、选择题 1.当的是时，2sin0 xxxx则（）（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价的无穷小(2)设则,0,0,)(22xxxxxxf（）(A)0,0,)(22xxxxxxf）（(B)0,0)(22xxxxxxf），（(C)0,0,)(22xxxxxxf (D)0,0)(22xxxxxxf，(3)当的极限时，函数112111xexxx（）(A)等于 2(B)等于 0(C)等 (D)不存在但不为 (4)设202,)()(xxFdttfxFxf）等于（则）（连续，内零点个数为（）(A)(4xf (B)(42xfx (C)(24x
23、xf (D)(22xxf（5）.若有一个原函数为则的导函数是)(,sin)(xfxxf则有（）（A）xsin1（B）xsin1（C）xcos1（D）xcos1 三、（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）（1）求.)63(lim21xxxx 修正版（2）设函数.1)(022的值所确定，求由方程xyydxdxeyxyy（3）求.123dxxx（4）求.sin10dxx（5）求微分方程.02)3的通解（xdydxxy 四、（本题满分9 分）设312.)2(,0,0,1)(dxxfxexxxfx求 五、（本题满分 9 分）求微分方程.23的通解xxeyyy 六、（本题满分 9 分）计算曲
24、线.210)1ln(2的一段孤的长度上相应于xxy 七、（本题满分 6 分）求曲线最小。所围成的平面图形面积及直线使该曲线与切线的一条切线2,0,xxllxy 八、（本题满分 8 分）已知.)()()(,0)0(,0)(212121成立恒有和试证：对任意的二正数xfxfxxfxxfxf 修正版 1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）设dyyx则),31ln(_.（2）曲线2xey的上凸间是_.（3）设dxxx12ln_.（4）质点以速度)sin(2tt米每秒作直线运动，则从时刻21t秒到2t秒内
25、质点所经过的路程等于_米.（5）xxxexe1101lim_.二、选择题 1.若曲线是常数，则）处相切，其中，在点（和baxyybaxxy,111232（）（A）2,0ba （B）3,1ba （C）1,3ba （D）1,1ba(2)设函数xxdttfxFxxxxxf02,20,)(,21,210,)(则）（记，（）(A)21,323110,323xxxxxxF）（(B)21,226710,323xxxxxxF）（(C)21,22310,3223xxxxxxxF）（(D)21,2210,323xxxxxxF）（(3)设函数的极大点，则是函数）内有定义，在（)(0)(0 xfxxf（）(A)的驻点
26、必是)(0 xfx (B)的极小点必是)(0 xfx (C)的极小点必是)(0 xfx (D)()(0 xfxfx都有对一切(4)曲线2211xxeey（）(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 修正版（5）.如图，x轴上有一线密度为常数，长度为l的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a，已知引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为（）（A）012)(dxxakm（B）ldxxakm02)(（C）022)(2ldxxakm（D）202)(2ldxxakm 三、（本题共5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）（1）设.,sincos
27、22dxydttyttx求（2）计算.)1(41xxdx（3）求.)1(sinlim20 xxexxx（4）求.sin2xdxx（5）求微分方程.1)1(的特解满足yxeyyxx 四、（本题满分 9 分）利用导数证明：当 x1 时，有不等式.1ln)1ln(成立xxxx 五、（本题满分9 分）求微分方程.cos 的通解xxyy 修正版 六、（本题满分 9 分）曲线.)2(1体的体积轴旋转一周所成的旋转此平面图形绕轴围成一平面图形，求和）（yxxxy 七、（本题满分 9 分）如图，DA和分别是曲线xxeyey2和上的点，DCAB和均垂直x轴，且.112:的面积最大的横坐标，使梯形和，求点，：AB
28、CDCBABDCAB 八、（本题满分 8 分）设函数3.)(),0,)(,sin)()()(dxxfxxxfxxfxfxf计算且）内满足，在（修正版 1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）曲线tytx33sincos上对应于点6t点处的法线方程是_.（2）设yxeyx则,1sin.1tan_.（3）dxxx101_.（4）下列两个积分的大小关系是：123dxex_.123dxex（5）设函数)(,1|,01|,1)(xffxxxf则函数_.二、选择题 1.已知是常数，则其中babaxxxx,01
29、lim2（）（A）1,1ba（B）1,1ba （C）1,1ba（D）1,1ba(2)设函数等于）上连续，则，在（dxxfdxf)()(（）(A)(xf (B)dxxf)(C)Cxf)(D)dxxf)(3)已知函数)(xf具有任意阶导数，且2)()(xfxf，则当n为大于 2 的正整数时，)(xf的n阶导数)(xfn）（）(A)1)(!nxfn(B)1)(nxfn(C)nxf2)(D)nxfn2)(!(4)设)(xf是连续函数，且）等于（，则）（xFdttfxFxex)(（）(A)()(xfefexx (B)()(xfefexx (C)()(xfefexx(D)()(xfefexx （5）.设的
30、是则出可导，在其中）（)(0,0)0(,0)0(0)(,0),0(0,)(xFxffxxfxfxxxfxF（）（A）连续点 （B）第一类间断点 修正版 （C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定 三、（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）（1）已知.,9)(limaaxaxxx求常数（2）求由方程.)()ln()(2dyxyyyxyxxy的微分所确定的函数（3）求曲线.)0(112的拐点xxy（4）计算.)1(ln2dxxx（5）求微分方程0)ln(lndxxyxdyx满足条件.1的特解exy 四、（本题满分 9 分）在椭圆12222byax的第一象限部分上求一点P，使该
31、点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中0,0ba）.五、（本题满分 9 分）证明：当.21arctan,0 xxx有不等式 六、（本题满分9 分）设).1()(,0,1ln)(1xfxfxdtttxfx求其中 七、（本题满分9 分）过点）（0,1P作抛物线2xy的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此平面图绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积。八、（本题满分 8 分）求微分方程axeyyy 44之通解，其中a为实数.修正版 1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)xxx2co
32、tlim0=_.(2)0sintdtt=_.(3)曲线xdttty00,021在点处的切线方程是_.(4)0(),()2)(1()(fnxxxxxf则设=_.(5)10,2xfdttfxxfxf则是连续函数，且设=_.(6)baxxxbxxbxaxf与处连续，则常数在设00,sin0,2应满足的关系是_.(7)dyyxy则设,tan_.二、计算题（每小题 4 分，满分 20 分.）(1)已知.,arcsinyeyx求(2).ln2xxdx求(3).)cossin2(lim10 xxxx求(4).,arctan,1ln222dxyddxdytytx及求已知(5)20102.2,102,212dx
33、xfxdxxfff求及已知 三、选择题(每小题 3 分,满分 18 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)xxyx1sin0 时，曲线设（）(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2)0432053352cbxaxxba，则方程若（）(A)无实根(B)有唯一实根 (C)有三个不同实根(D)有五个不同实根(3)曲线xxxy与)22(cos轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为（）(A)2(B)(C)22 (D)2 修正版(4)设两函数 axxgxf
34、都在及处取得极大值，则函数 处在axxgxfxF（）(A)必取极大值(B)必取极小值 (C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定(5)微分方程1 xeyy的一个特解应具有形式（式中ba,为常数）（）(A)baex(B)baxex(C)bxaex(D)bxaxex(6)设axxf在)(的某个领域内有定义，则 axxf在处可导的一个冲分条件是（）(A)存在)()1(limafhafhh(B)存在hhafhafh)()(lim0 (C)存在hhafhafh2)()(lim0(D)存在hhafafh)()(lim0 四、(本题满分 6 分)求微分方程.01012的解满足yxeyxyxx 五、(本题满分
35、 7 分)设 xdttftxxxf0sin，其中f为连续函数，求.xf 六、(本题满分 7 分)证明方程002cos1ln，在区间dxxexx内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分 11 分）对函数填写下表：,12xxy 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹 区间 凸 区间 拐点 渐近线 八、（本题满分 10 分）设抛物线cbxaxy2过原点，当,010yx时，又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31，试确定cba,使此图形绕x选择一周而成的旋转体的体积V最小.修正版 1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分
36、)(1)求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域.(2)设2()e,()1xf xfxx 且()0 x,求()x及其定义域.(3)设为曲面2221xyz的外侧,计算曲面积分333.Ix dydzy dzdxz dxdy 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim(1),txxf ttx则()ft=_.(2)设()f x连续且310(),xf t dtx则(7)f=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间(1,1上定义为()f x 22x 1001xx,则的傅里叶()Fourier级数在1x 处收敛于_.(4)设4阶矩阵234234
37、,A B 其中234,均为4维列向量,且已知行列式4,1,AB则行列式AB=_.三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x可导且01(),2fx则0 x 时,()f x在0 x处的微分dy是（）(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小 (C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设()yf x是方程240yyy的一个解且00()0,()0,f xfx则函数()f x在点0 x处（）(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设
38、空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则:（）修正版 (A)124xdvdv (B)124ydvydv (C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv (4)设幂级数1(1)nnnax在1x 处收敛,则此级数在2x 处（）(A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n维向量组12,(3)ssn 线性无关的充要条件是（）(A)存在一组不全为零的数12,sk kk使11220sskkk (B)12,s 中任意两个向量均线性无关 (C)12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,s 中存在一个向量都不能用其余
39、向量线性表示 四、(本题满分 6 分)（1）设()(),xyuyfxgyx其中函数f、g具有二阶连续导数,求222.uuxyxx y （2）计算.2sin2sin24221dyyxdxdyyxdxxxx （3）求椭球面213222zxyx上某点 M 处的切平面的方程，使平面过已知直线.2121326:zyxl 五、(本题满分 8 分)设函数()yy x满足微分方程322e,xyyy其图形在点(0,1)处的切线与曲线21yxx在该点处的切线重合,求函数().yy x 修正版 六、（本题满分 9 分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr为常数,r为A质点与M之间的距离),质点
40、M沿直线22yxx自(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分 6 分）已知,APBP其中100100000,210,001211BP求5,.A A 八、（本题满分 8 分）已知矩阵20000101xA与20000001yB相似.(1)求x与.y(2)求一个满足1P APB的可逆阵.P 九、（本题满分 9 分）设函数()f x在区间,a b上连续,且在(,)a b内有()0,fx证明:在(,)a b内存在唯一的,使曲线()yf x与两直线(),yfxa所围平面图形面积1S是曲线()yf x与两直线(),yfxb所围平面图形面积2S的 3 倍.修
41、正版 1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_时,函数2xyx取得极小值.(2)由曲线lnyx与两直线e1yx 及0y 所围成的平面图形的面积是_.1x (3)与两直线 1yt 及121111xyz都平行且过原点的平面方程为_ .2zt (4)设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22)(4)Lxyy dxxx dy=_.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),则向量(2,0,0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 14 分)（1）
42、（6 分）计算定积分.)(|22dxexxx （2）（8 分）求正的常数a与,b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立.三、(本题满分 7 分)设函数yxeuyxufz,，其中f有二阶连续偏导数，求.2yxz 四、(本题满分 8 分)求微分方程26(9)1yyay的通解,其中常数0.a 修正版 五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2()()lim1,()xaf xf axa 则在xa处（）(A)()f x的导数存在,且()0fa(B)()f x取得极大值 (C)()
43、f x取得极小值 (D)()f x的导数不存在(2)设()f x为已知连续函数0,(),stItf tx dx其中0,0,ts则I的值（）(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数0,k 则级数21(1)nnknn（）(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关 (4)设A为n阶方阵，且A的行列式|0,aA而*A是A的伴随矩阵，则*|A等于 (A)a(B)1a(C)1na (D)na 六、（本题满分 10 分）求幂级数1112nnnxn的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分 10 分）求曲面积分
44、2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy 其中是由曲线113()0 zyyf xx绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2 修正版 八、（本题满分 10 分）设函数()f x在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个,x函数()f x的值都在开区间(0,1)内,且()fx1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x使得().f xx 九、（本题满分 8 分）问,a b为何值时,现线性方程组 123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、（本题满分 6 分）设n为，21阶方阵A的特征值，21，而21,xx分别为对应的特征向量，试证明：Axx不是21的特征向量。