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1、修正版 1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)2013sincoslim(1 cos)ln(1)xxxxxx=_.(2)设幂级数1nnna x的收敛半径为 3,则幂级数11(1)nnnnax的收敛区间为_.(3)对数螺线e在点2(,)(e,)2 处切线的直角坐标方程为_.(4)设12243,311tAB为三阶非零矩阵,且,ABO则t=_.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_.二、选择题(本题共
2、5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y 22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx yxyx y,在点(0,0)处（）(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存在(2)设在区间,a b上()0,()0,()0.f xfxfx令 1231(),()(),()()(),2baSf x dx Sf b ba Sf af bba则（）(A)123SSS (B)213SSS (C)312SSS (D)231SSS (3)设2sin()
3、esin,xtxF xtdt则()F x（）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,abcabcabc则三条直线1112223330,0,0a xb yca xb yca xb yc(其中220,1,2,3iiabi)交于一点的充要条件是:（）(A)123,线性相关 (B)123,线性无关 (C)秩123(,)r 秩12(,)r (D)123,线性相关12,线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为 4 和 2,则随机变量32XY的方差是（）修正版(A)8 (B)16 (C)28 (D)44 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,
4、满分 15 分)(1)计算22(),Ixy dv其中为平面曲线 220yzx绕z轴旋转一周所成的曲面与平面8z 所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),czy dxxz dyxy dz其中c是曲线 2212xyxyz从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N在0t 时刻已掌握新技术的人数为0,x在任意时刻t已掌握新技术的人数为()(x t将()x t视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k 求().x t 四、(本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2
5、)小题 7 分,满分 13 分)(1)设直线:l 030 xybxayz在平面上,而平面与曲面22zxy相切于点(1,2,5),求,a b之值.(2)设函数()f u具有二阶连续导数,而(e sin)xzfy满足方程22222e,xzzzxy求().f u 五、(本题满分 6 分)设()f x连续10,()(),xf xt dt且0()lim(xf xA Ax为常数),求()x并讨论()x在0 x 处的连续性.六、(本题满分 8 分)设11110,()(1,2,),2nnnaaana证明 (1)limnxa存在.(2)级数11(1)nnnaa收敛.七、(本题共 2 小题,第(1)小题 5 分,
6、第(2)小题 6 分,满分 11 分)修正版 (1)设B是秩为2的5 4矩阵123,1,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9TTT 是齐次线性方程组x B0的解向量,求x B0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111是矩阵2125312abA的一个特征向量.1)试确定,a b参数及特征向量所对应的特征值.2)问A能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分 5 分）设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为.B(1)证明B可逆.(2)求1.AB 九、（本题满分 7 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2
7、.5设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分 5 分）设总体X的概率密度为()f x (1)0 x 01x其它 其中1是未知参数12,nXXX是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 修正版 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xxxaxa则a=_.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),且与平面428xyz垂直,则此平面方程为_.(3)微分方程22exyyy的通解为_.(4)函数22
8、ln()uxyz在点(1,0,1)A处沿点A指向点(3,2,2)B方向的方向导数为_.(5)设A是4 3矩阵,且A的秩()2,rA而102020,103B则()r AB=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)(1)已知2()()xay dxydyxy为某函数的全微分,a则等于（）(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,xfxfx则（）(A)(0)f是()f x的极大值 (B)(0)f是()f x的极小值 (C)(0,(0)f是曲线()yf x的拐点 (D)(0)f
9、不是()f x的极值,(0,(0)f也不是曲线()yf x的拐点 (3)设0(1,2,),nan且1nna收敛,常数(0,),2则级数21(1)(tan)nnnnan (A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与有关(4)设有()f x连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xffF xxtf t dt且当0 x 时,()F x与kx是同阶无穷小,则k等于（）(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式1122334400000000abababba的值等于（）(A)12341 2 3 4a a a abb b b(B)12341 2 3 4a a a abb b b
10、(C)121 2343 4()()a abba ab b(D)232 3141 4()()a ab ba abb 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)(1)求心形线(1cos)ra的全长,其中0a 是常数.修正版 (2)设1110,6(1,2,),nnxxxn试证数列nx极限存在,并求此极限.四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分)(1)计算曲面积分(2),Sxz dydzzdxdy其中S为有向曲面22(01),zxyx其法向量与z轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2uxyvxay可把方程2222260zzzxx yy 简化为20,zu v 求常数.a 五、
11、(本题满分 7 分)求级数211(1)2nnn的和.六、(本题满分 7 分)设对任意0,x 曲线()yf x上点(,()x f x处的切线在y轴上的截距等于01(),xf t dtx求()f x的一般表达式.七、（本题满分 8 分）设()f x在0,1上具有二阶导数,且满足条件(),(),f xa fxb其中,a b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.（1）写出)(xf在点cx 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（2）证明()2.2bf ca 八、（本题满分 6 分）修正版 设,TA I其中I是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置.证明(1)2AA的充分条件是1.T (2)当1T 时
12、,A是不可逆矩阵.九、（本题满分 8 分）已知二次型222123123121323(,)55266f x xxxxcxx xx xx x的秩为 2,(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,)1f x xx表示何种二次曲面.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由A和B的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是_.(2)设,是两个相互独立且均服从正态分布21(0,()2N的随机变量,则随机变量 的数学期望()E=_.
13、十一、（本题满分 6 分）设,是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为1(),1,2,3.3Pii 又设max(,),min(,).XY (1)写出二维随机变量的分布率:X Y 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望().E X 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)修正版(1)2sin0lim(13)xxx=_.(2)202cosxdxt dtdx=_.(3)设()2,a b c则()()()abbcca=_.(4)幂级数2112(3)nnnnnx 的收敛半径R
14、=_.(5)设三阶方阵,A B满足关系式16,A BAABA且1003100,41007A则B=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)(1)设有直线:L 321021030 xyzxyz,及平面:4220,xyz则直线L（）(A)平行于(B)在上 (C)垂直于(D)与斜交 (2)设在0,1上()0,fx则(0),(1),(1)(0)ffff或(0)(1)ff的大小顺序是 (A)(1)(0)(1)(0)ffff (B)(1)(1)(0)(0)ffff (C)(1)(0)(1)(0)ffff (D)(1)(0)(1)(0)f
15、fff (3)设()f x可导,()()(1sin),F xf xx则(0)0f是()F x在0 x 处可导的（）(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件 (C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件(4)设1(1)ln(1),nnun 则级数（）(A)1nnu与21nnu都收敛 (B)1nnu与21nnu都发散 (C)1nnu收敛,而21nnu发散 (D)1nnu收敛,而21nnu发散(5)设，100010101,100001010,2133313231232122211311121332313322212312111PPaaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA则必
16、有（）(A)12APP=B(B)21AP P=B (C)12PP A=B(D)21P PA=B 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)修正版(1)设2(,),(,e,)0,sin,yuf x y zxzyx其中,f都具有一阶连续偏导数,且0.z求.dudx (2)设函数()f x在区间0,1上连续,并设10(),f x dxA求110()().xdxf x f y dy 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分)(1)计算曲面积分zdS其中为锥面22zxy在柱体222xyx内的部分.(2)将函数()1(02)f xxx展开成周期为 4 的余弦函数.五、(本题满分
17、 7 分)设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为.A已知,MAOA且L过点3 3(,),2 2求L的方程.六、(本题满分 8 分)设函数(,)Q x y在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)LxydxQ x y dy与路径无关,并且对任意t恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),ttxydxQ x y dyxydxQ x y dy求(,).Q x y 七、（本题满分 8 分）假设函数()f x和()g x在,a b上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,gxf af bg ag b试证:(1)在开区间(,)a b内(
18、)0.g x 修正版 (2)在开区间(,)a b内至少存在一点,使()().()()ffgg 八、（本题满分 7 分）设三阶实对称矩阵A的特征值为1231,1,对应于1的特征向量为101,1 求.A 九、（本题满分 6 分）设A为n阶矩阵,满足(AAI I是n阶单位矩阵,A是A的转置矩阵),0,A求.AI 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设X表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则2X的数学期望2()E X=_.(2)设X和Y为两个随机变量,且 340,0,00,77P XYP XP Y 则max(,)0
19、PX Y _.十一、（本题满分 6 分）设随机变量X的概率密度为()Xfx e0 x 00 xx,求随机变量eXY 的概率密度().Yfy 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)修正版(1)011limcot()sinxxx=_.(2)曲面e23xzxy在点(1,2,0)处的切平面方程为_.(3)设esin,xxuy则2ux y 在点1(2,)处的值为_.(4)设区域D为222,xyR则2222()Dxydxdyab=_.(5)已知1 11,2,3,1,2 3设TA 其中T是的转置,则nA=_.
20、二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sincos,(sincos),(sincos),1xMxdx Nxx dx Pxxx dxx则有 (A)NPM (B)MPN (C)NMP (D)PMN (2)二元函数(,)f x y在点00(,)xy处两个偏导数00(,)xfxy、00(,)yfxy存在是(,)f x y在该点连续的（）(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,且级数2
21、1nna收敛,则级数21(1)nnnan（）(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关 (4)设20tan(1 cos)lim2,ln(1 2)(1)xxaxbxcxde其中220,ac则必有（）(A)4bd(B)4bd (C)4ac(D)4ac (5)已知向量组1234,线性无关,则向量组（）(A)12233441,线性无关(B)12233441,线性无关 (C)12233441,线性无关(D)12233441,线性无关 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设 2221cos()1cos()cos2txtyttuduu,求dydx、22d ydx
22、在2t的值.(2)将函数111()lnarctan412xf xxxx展开成x的幂级数.修正版(3)求xxdxsin22sin.四、(本题满分 6 分)计算曲面积分2222,Sxdydzz dxdyxyz其中S是由曲面222xyR及,(0)zR zR R 两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分 9 分)设()f x具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,ff 且2()()()0 xy xyf x y dxfxx y dy为一全微分方程,求()f x及此全微分方程的通解.六、(本题满分 8 分)设()f x在点0 x 的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,xf xx证明级数11()n
23、fn绝对收敛.七、（本题满分 6 分）已知点A与点B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为.S求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积.八、（本题满分 8 分）设四元线性齐次方程组()为 122400 xxxx,又已知某线性齐次方程组()的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).kk 修正版 (1)求线性方程组()的基础解析.(2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分 6 分）设A为n阶非零方阵*,A是A的伴随矩阵TA是A的转置矩阵,当*AA时,证明0.A 十、填空题(本
24、题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知A、B两个事件满足条件()(),P ABP AB且(),P Ap则()P B=_.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y具有同一分布率,且X的分布率为 X 0 1 P 12 12 则随机变量max,ZX Y的分布率为_.十一、（本题满分 6 分）已知随机变量),(YX服从二维正态分布，并且YX和分别服从正态分布2(1,3)N和2(0,4),NX与Y的相关系数1,2xy 设,32XYZ (1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.(2)求X与Z的相关系数.xz(3)问X与Y是否相互独立?为什么?1993 年全国硕士研究生入学统
25、一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)函数11()(2)(0)xF xdt xt的单调减少区间为_.(2)由曲线 2232120 xyz绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_.修正版(3)设函数2()()f xxxx的傅里叶级数展开式为01(cossin),2nnnaanxbnx则其中系数3b的值为_.(4)设数量场222ln,uxyz则div(grad)u=_.(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1,n则线性方程组AX0的通解为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3
26、 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)(1)设sin2340()sin(),(),xf xtdt g xxx则当0 x 时,()f x是()g x的（）(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小 (D)低价无穷小 (2)双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为（）(A)402cos2 d (B)404cos2 d (C)402cos2 d (D)2401(cos2)2d(3)设有直线1158:121xyzl与2:l 623xyyz则1l与2l的夹角为（）(A)6(B)4(C)3(D)2(4)设曲线积分()e sin()cos
27、xLf tydxf xydy与路径无关,其中()f x具有一阶连续导数,且(0)0,f则()f x等于（）(A)ee2xx(B)ee2xx (C)ee12xx (D)ee12xx (5)已知12324,369tQP为三阶非零矩阵,且满足0,PQ则（）(A)6t 时P的秩必为 1(B)6t 时P的秩必为 2 (C)6t 时P的秩必为 1(D)6t 时P的秩必为 2 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求21lim(sincos).xxxx (2)求e.e1xxxdx 修正版 (3)求微分方程22,x yxyy满足初始条件11xy的特解.四、(本题满分 6 分)计算22,
28、xzdydzyzdzdxz dxdy其中是由曲面22zxy与222zxy所围立体的表面外侧.五、(本题满分 7 分)求级数20(1)(1)2nnnnn的和.六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)(1)设在0,)上函数()f x有连续导数,且()0,(0)0,fxkf证明()f x在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设,bae证明.baab 七、（本题满分 8 分）已知二次型22212312323(,)2332(0)f x xxxxxax x a通过正交变换化成标准形22212325,fyyy求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分 6 分）设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其
29、中,nmI是n阶单位矩阵,若,ABI证明B的列向量组线性无关.九、（本题满分 6 分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(1,0)与A同时出发,其速度大小为修正版 2,v方向始终指向,A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.(2)设 随 机 变 量X服 从(0,2)上 的 均 匀 分 布,则 随 机 变 量2YX在(0,4)内 的 概 率 分 布
30、 密 度()Yfy=_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量X的概率分布密度为1()e,.2xf xx (1)求X的数学期望EX和方差.DX (2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关?(3)问X与X是否相互独立?为什么?1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()yy x由方程ecos()0 x yxy确定,则dydx=_.(2)函数222ln()uxyz在点(1,2,2)M处的梯度gradMu=_.(3)设()f x 211x 00 xx,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于
31、_.(4)微分方程tancosyyxx的通解为y=_.修正版(5)设1 11 212 12 1212,nnnnnnabababa ba ba ba ba ba bA其中0,0,(1,2,).iiabin则矩阵A的秩()r A=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)(1)当1x 时,函数1211e1xxx的极限（）(A)等于 2(B)等于 0(C)为(D)不存在但不为(2)级数1(1)(1cos)(nnan常数0)a（）(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛(D)收敛性与a有关 (3)在曲线23,xt ytzt 的所有
32、切线中,与平面24xyz平行的切线（）(A)只有 1 条(B)只有 2 条(C)至少有 3 条(D)不存在(4)设32()3,f xxx x则使()(0)nf存在的最高阶数n为（）(A)0(B)1 (C)2(D)3 (5)要使12100,121 都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为（）(A)2 12 (B)201011 (C)102011 (D)011422011 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求20esin1lim.11xxxx(2)设22(e sin,),xzfy xy其中f具有二阶连续偏导数,求2.zx y (3)设()f x 21exx 00 xx
33、,求31(2).f xdx 四、(本题满分 6 分)修正版 求微分方程323exyyy的通解.五、(本题满分 8 分)计算曲面积分I323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy其中为上半球面222zaxy的上侧.六、（本题满分 7 分）设()0,(0)0,fxf证明对任何120,0,xx有1212()()().f xxf xf x 七、（本题满分 8 分）在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221xyzabc上第一卦限的点(,),M 问当、取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.八、（本题满分 7 分）设向量组123,线性相关
34、,向量组234,线性无关,问:(1)1能否由23,线性表出?证明你的结论.(2)4能否由123,线性表出?证明你的结论.九、（本题满分 7 分）设 3 阶矩阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为 1231111,2,3,149 又向量12.3 修正版(1)将用123,线性表出.(2)求(nnA 为自然数).十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P AP BP CP ABP ACP BC则事件A、B、C全不发生的概率为_.(2)设随机变量X服从参数为 1 的指数分布,则数学期望2eXE X
35、=_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布2(,),NY 服从,上的均匀分布,试求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中221()e)2txxdt.1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cosxtyt,则22d ydx=_.(2)由方程2222xyzxyz所确定的函数(,)zz x y在点(1,0,1)处的全微分dz=_.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211xyzxyzll则过1l且平行于2l的平面方程是_.(4
36、)已知当0 x 时123,(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_.修正版(5)设 4 阶方阵52002100,00120011A则A的逆阵1A=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221 e1 exxy（）(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x满足关系式20()()ln2,2tf xfdt则()f x等于（）(A)e ln2x (B)2eln2x (C)eln2x(D)2eln
37、2x (3)已知级数12111(1)2,5,nnnnnaa则级数1nna等于（）(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D是平面xOy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域1,D是D在第一象限的部分,则(cos sin)Dxyxy dxdy等于（）(A)12cos sinDxydxdy (B)12Dxydxdy (C)14(cos sin)Dxyxy dxdy (D)0 (5)设n阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中E是n阶单位阵,则必有（）(A)ACBE(B)CBAE(C)BACE (D)BCAE 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求20li
38、m(cos).xx(2)设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数.(3)22(),xyz dv其中是由曲线 220yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z 所围城的立体.修正版 四、(本题满分 6 分)过点(0,0)O和(,0)A的曲线族sin(0)yax a中,求一条曲线,L使沿该曲线O从到A的积分 3(1)(2)Ly dxxy dy的值最小.五、(本题满分 8 分)将函数()2(11)f xxx 展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数211nn的和.六、（本题满分 7 分）设函数()f x在0,1上连续,
39、(0,1)内可导,且1233()(0),f x dxf证明在(0,1)内存在一点,c使()0.fc 七、（本题满分 8 分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)aa及(1,1,3,5).b (1)a、b为何值时,不能表示成1234,的线性组合?(2)a、b为何值时,有1234,的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分 6 分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于 1.修正版 九、（本题满分 8 分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴
40、的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X服从均值为 2、方差为2的正态分布,且240.3,PX则0P X=_.(2)随机地向半圆202(yaxxa为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为_.十一、（本题满分 6 分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为(,)f x y (2)2e0,00 xyxy其它 求随机变量2ZXY的分布函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,
41、每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)2xt (1)过点(1,2 1)M且与直线 34yt垂直的平面方程是_.1zt (2)设a为非零常数,则lim()xxxaxa=_.(3)设函数()f x 10 11xx,则()f f x=_.(4)积分2220eyxdxdy的值等于_.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),修正版 则该向量组的秩是_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)(1)设()f x是连续函数,且e()(),xxF xf t dt则
42、()F x等于（）(A)e(e)()xxff x (B)e(e)()xxff x (C)e(e)()xxff x (D)e(e)()xxff x (2)已知函数()f x具有任意阶导数,且2()(),fxf x则当n为大于 2的正整数时,()f x的n阶导数()()nfx是（）(A)1!()nnf x (B)1()nn f x (C)2()nf x(D)2!()nnf x (3)设a为常数,则级数21sin()1nnann（）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关 (4)已知()f x在0 x 的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1 cosxf xfx则在点
43、0 x 处()f x（）(A)不可导(B)可导,且(0)0f (C)取得极大值 (D)取得极小值 (5)已知1、2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解1,、2是对应其次线性方程组AX0的基础解析1,k、2k为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是（）(A)1211212()2kk (B)1211212()2kk (C)1211212()2kk (D)1211212()2kk 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求120ln(1).(2)xdxx(2)设(2,sin),zfxy yx其中(,)f u v具有连续的二阶偏导数,求2.zx y (3)求微分方程244
44、exyyy的通解(一般解).四、(本题满分 6 分)求幂级数0(21)nnnx的收敛域,并求其和函数.修正版 五、(本题满分 8 分)求曲面积分2SIyzdzdxdxdy其中S是球面2224xyz外侧在0z 的部分.六、（本题满分 7 分）设不恒为常数的函数()f x在闭区间,a b上连续,在开区间(,)a b内可导,且()().f af b证明在(,)a b内至少存在一点,使得()0.f 七、（本题满分 6 分）设四阶矩阵 1100213401100213,0011002100010002BC 且矩阵A满足关系式 1()A EC B CE 其中E为四阶单位矩阵1,C表示C的逆矩阵,C表示C的
45、转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分 8 分）求一个正交变换化二次型22212312132344448fxxxx xx xx x成标准型.九、（本题满分 8 分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F对质点P所作的功.修正版 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数1()e,2xf xx 则X的概率分布函数()F x=_.(2)设随机事件A、B及其和事件
46、BA的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率()P AB=_.(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松()Poisson分布,即22 e,0,1,2,!kP Xkkk则随机变量32ZX的数学期望()E Z=_.十一、（本题满分 6 分）设二维随机变量(,)X Y在区域:01,Dxyx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差().D Z 1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)已知(3)2,f 则0(3)(3)lim2h
47、fhfh=_.(2)设()f x是连续函数,且10()2(),f xxf t dt则()f x=_.(3)设平面曲线L为下半圆周21,yx 则曲线积分22()Lxyds=_.(4)向量场kzxjyeixyzyxuz)1ln(),(22在点(1,1,0)P处的散度divu=_.(5)设矩阵300100140,010,003001AI则矩阵1(2)AI=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)修正版(1)当0 x 时,曲线1sinyxx（）(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (
48、C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210,xyz 则点P的坐标是（）(A)(1,1,2)(B)(1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)(3)设线性无关的函数321,yyy都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxqyxpy 的解，21,cc是任意常数,则该非齐次方程的通解是（）(A)11223c yc yy (B)1122123()c yc yccy (C)1122123(1)c yc yccy (D)1122123(1)c yc yccy (4)设函数2(),01,f xxx而1()si
49、n,nnS xbn xx 其中102()sin,1,2,3,nbf xn xdx n则1()2S 等于（）(A)12(B)14 (C)14(D)12 (5)设A是n阶矩阵,且A的行列式0,A则A中（）(A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设(2)(,),zfxyg x xy其中函数()f t二阶可导,(,)g u v具有连续二阶偏导数,求2.zx y (2)设曲线积分2()cxy dxyx dy与路径无关,其中()x具有连续的导数,且
50、(0)0,计算(1,1)2(0,0)()xy dxyx dy的值.(3)计算三重积分(),xz dv其中是由曲面22zxy与221zxy所围成的区域.四、(本题满分 6 分)修正版 将函数1()arctan1xf xx展为x的幂级数.五、(本题满分 7 分)设0()sin()(),xf xxxt f t dt其中f为连续函数,求().f x 六、（本题满分 7 分）证明方程0ln1 cos2exxxdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分 6 分）问为何值时,线性方程组 13xx 123422xxx 1236423xxx 有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分 8 分）假设为