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1、 广义相对论基础第九次作业答案 一、已知;,AAA ，利用标量微分关系;,UU及莱布尼兹法则证明：;,BBB。证明：由莱布尼兹法则，有;()A BABA B，,()A BABA B，而;,UU，故;,ABA BABA B 。把;,AAA 代入上式，得,;,()AA BA BABA B ，整理，得;,A BA BAB，即 ;,BBB。二、在宇宙学中，均匀各向同性介质的能量动量张量采用形式 ()Tp u upg，由能量动量张量满足;0T，可导出一个微分方程 3()dapdta。试从此方程出发导出 32()3dapada，并讨论实物为主的宇宙（p）满足3matteraconst，辐射为主宇宙（/3p
2、）满足4radiationaconst。证明：33221()()33ddaapapadaadt 。而 332()3dadaa adtdt，因此 32233daa apa adt，即 3()dapdta。实物为主的宇宙满足p，因此可取0p，因此32()30dapada，即 3matteraconst。辐射为主的宇宙满足/3p，因此322()3dapaada ，即 4radiationaconst。三、由弗里德曼方程 2283GaKa，出发，考虑到 Hubble 定律()aH t a，对于今天的宇宙有 222000083GH aaK。请把上面的两个式子相减，并考虑到28/3cGH 及3matter
3、aconst，证明 01/2/221000000000()(1)(1)a aaaHtHdxaax ，进而讨论01 的情况下宇宙的寿命。证明：把2283GaKa和222000083GH aaK两式相减，得 2222200008833GGH aaaa，考虑到3300aa，上式可变为：222230000008833GGH aaaaa，考虑到0000208/3cGH，整理得 01/2/221000000000()(1)(1)a aaaHtHdxaax ，上式中我们把0/a a当一个宗量来处理。当把积分上限取为 1，相应的时间就是宇宙年龄，考虑01，得2/3003()()2H ta ta，因此现在宇宙的寿命为10023tH。