《高考数学知识模块复习能力训练——极限【II】.11147.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学知识模块复习能力训练——极限【II】.11147.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 一、选择题 1下列数列极限存在的有（）A10，10，10，,54,45,32,23B n为偶数n1nn为奇数n1nnfC.n为偶数1n为奇数n11nfD.n 2下列数列收敛的有（）A.0.9,0.99,0.999,0.9999,41,31,131,21,121B1,1nn1nf.Cn 为偶数为奇数n212n212nf.Dnnnn 3 下列数收敛于 0 有（）,0,81,0,41，0,21A,91,41,71,31,51,21,31B1,n11nf.Cn 为偶数为奇数n1n1nn1nf.D 4 数列nx与ny的极限分别为 A 与 B，AB，则数列,y,x,y,x,y,x332211的极限为（）
2、AA BB CA+B D不存在 )(yx则发散,y收敛,x5如果数列nnnn A可能收敛 B一定收敛 C可能发散 D一定发散 )(存在的xflim有定义是在xx6函数f0 xx0 A充要条件 B充分条件 C必要条件 D无关条件 7 下列极限存在的有（）2xx1)x(xlimA 121limBx0 x x10 xelimC x1xlimD2x 8 下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（）0 x1A2x 0 xxsinxB x12xxxC32 0 xx1sin31xxD2 9 下列变量在给定变化过程中是无穷大量的有（）x1xxA32 0 xBlgx xClgx 0 xe.Dx1 )(0.xfax
3、lim则必有),是(xfa时,10当xax 任意函数 B无穷小量 C有界函数 D 无穷大量 11下列极限正确的是（）x10 xelimA 0elimBx10 x x10 xelimC 1elimDx1x 则必有,xlim,xflim12若axax xgxflimAax 0 xgxflimBax 0 xgxf1limCax k为非零常数xkflimDax)(的值为1x1xsinlim1321x A1 B0 C2 21D )(处连续的x在xx是f处有定义,x在点xx14f00 必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D无关的条件)(x1y1时,|x|15当2 A连续函数 B是有界函数 C有最大值与最
4、小值 D有最大值无最小值 二、辨析题 1如果 n 无限增大时，数列 na越来越接近常数 A，那么na是否一定收敛于 A？2设在常数 A 的无论怎样小的 邻域内都密集着数列 na的无穷多个点，那么 na是否一定收敛于 A？3有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？4单调数列是否一定收敛？摆动着的数列是否一定发散？5如果数列 na和 nb都发散，问nnnnba、ba和nnba是否一定发散？6如果 na收敛、nb发散，问nnnnba、ba 的收敛与发散情况能否确定？7设,2,1nx21x,1xn1n1，在求nnximl时，有人求解如下：设,Aximlnn对等式n1nx21x，两边取极限，得 A=
5、1+2A，于是 A=-1所以1ximlnn有人指出，这个结果是错误的因为,2,1n1xn，故1ximlnn不可能的请判断此题解法是否正确若不正确，请指出错在哪里？8若 ,0 xgxfimlx且当x时，g(x)有界，则 0 xfimlx，这一结论正确吗？为什么？三、计算题 13xxxxlim62x2x1xlim5hxhxlim41x12xxlim31x52xxlim23xxlim1242x22x220h221x221x2x 12xxlim14x13x11lim135n3n2n1nlim12n1n321lim112141211lim10 x12x11lim9.45xx86xxlim815x6x18
6、xlim72x31x3x2nnx2x224x2321x 2cos2xlnlim26sin2xlim25t1elim2452xxlim23xsinxcos2x1lim22cotxlim21sin5xsin2xlim20 xtan3xlim19xsin xlim18xarctanxlim17x1sinxlim161x2xlim156x34xt2t20 x0 x0 x0 x0 x0 xx20 x3x xxxxlim351xsinxxlim343nn1nnlim33elim32xxxxlim311xx45xlim30 x11xlim29x11xlim28x2cossin2xlim27x3x24nx1x
7、22x1x220 x0 x4x 四、证明题 1根据数列极限的定义证明 2121l)5(19999.0l)4(1l)3(231213l)2(01l)1(33222xximimananimnnimnimxnnnnn 个为常数 2证明当 x 0 时函数 f(x)=|x|的极限为零 3根据极限定义证明：当0 xx 时函数 f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。1.nn12n11n1lim:4证明222x 参考答案 一、选择题 1A，B，D 2A，D 3A，B，C，D 4D 5D 6D 7A 8A，D 9A，B，C，D 10B，C 11B，C，D 12D 13C 14A 15
8、A，B，D 二、辨析题 1 na不一定收敛于 A，问题主要发生在只说 na越来越接近常数 A，并没说明这种接近的程度如何如果这种接近受到限制，虽然也可以说越来越接近，但却不能与 A 构成收敛的关系，只有当说 na越来越无限接近常数 A 时，才表明 na是收敛于 A 的 例如取n1an，A=-1，随着 n 无限增加，n1越来越接近-1，但它始终保持与-1 有大于21的差异，-1 并不能说 成是当 n 时n1的极限 2 na不一定收敛于 A 因为极限定义中要求对于 A 的无论怎样小的 邻域，都存在正整数N，当 nN时，na将全部落入 A 的该 邻域内这里只说有无穷多个na中的点落入该邻域尚不能保证
9、na中当 nN后的全部的点均落入该邻域 例如,0A,n111ann则零的无论怎样小的 邻域内都密集着 na的无穷多个点，但 na却是发散点 3 有界数列不一定收敛例如 11ann，它为有界数列，但它却是发散的 无界数列是一定发散的因为如果它是收敛的，根据收敛的必要数列条件，它必须是有界的 4 单调数列不一定收敛例如取nan，该数列是单调递增的，但它是无界数列，因此一定是发散的 摆动数列不一定是发散的例如取 n1ann是摆动数列，但它收敛于零 5 均不一定发散例如当 1nnnn1b,1a时，0bann，它是收敛的，并且nnnnba,ba 也是收敛的当 nnn1ba时，0bann，它是收敛的 6
10、nnba 是一定发散的因为如果nnba 收敛，而nnnnabab，则 nb为两个收敛列的差，亦应收敛，这与假设矛盾；又因 nb发散，因此nb也发散，而nnnnabab，如果nnba 收敛，可得nb收敛，从而 nb也收敛，这与已知矛盾 nnba 是收敛性不确定例如取nb,n1an2n，则n1bann收敛又如取2nnnb,n1a，则nbann发散 但当已知0Aaimlnn时,可知nnba 发散 否则,因,ababnnnn由商的极限法则可得出 nb收敛的结论,这与已知矛盾 7.错在“设Aximnnl”因为nx的极限存在与否尚没指明时，先承认它是收敛的，这是不允许的即对Aximnnl的理解应为它表示n
11、x收敛且以 A 为极限本题中的 nx其实是发散的，如果按趋向方式来说，它是趋向于+的即可以将+作为极限记号使用时，得出 A=1+2A还是正确的因为它是含+的一种记号形式但这样做也推不出 A=-1的结论 8不正确因若 g(x)0，f(x)=x时，则得不出 f(x)0(x)的结论 三、计算题 632243x2xlim122x .21x1x12x11lim5原式2x.hxh2hxxlim4原式0.1x1xlim1x1x1xlim原式32.24115121lim原式222x2220h1x21x221x 6 0 2.211211lim10原式2.x12limxlim9原式.324x1x4x2xlim8原
12、式6.13x12x4xlim13x12x12x4x12xlim7原式1nn2xx4x221x221x 1.1xx2xlim1xxx12xx1limxx1x13xx1lim13原式.51n31n21n11lim5112原式.21n2n1nlim11原式21x2x221xn2n.12xxlim0，所以x1x2limx12xlim14因为2x2x2x 15 解法与上题同 16 因为 x 0 时，2x为无穷小量，而x1sin,1x1sin为有界变量，所以.0 x1sinximl20 x 170 解法与上题同 2.sinxxxsin2lim22原式1.sinxcosxxlim21原式.5252sin5x
13、5x2xsin2xlim20原式3.cos3x33xsin3xlim19原式.tsintlimt令 x x sin xlim18原式20 x0 x0 x0 x0t0 x.1e12121e24原式.541041xlim23原式22220 x 25 1.2242cos42sin27原式0.ln132cosln62cos226原式ln.211x11lim11xx11x1x1lim原式280 x0 x 292 解法与上题同，先分母有理化。302 提示：先分子有理化 1.22x11x112limx11x11x2xlim xxxx2xlim31原式xx22x 321 33 原式=24n242424nn1n
14、n3n1nimln1nnn1nn3nn1nniml（分子、分母同除以2n）=.211n1n11n3n41iml432n 34 0 提示：用无穷小量乘有界变量法.211x1x11x11lim x/xxxxx/xxlim xxxxxxlim xxxxxxxxxxxxlim35原式23xxxx 四、证明题 1 （1）要使22n10n1，只须1n2即1n，于是对于任意的 0，取1n，于是对任意给定的 0，取1N，只要 nN,就有0n12，所以0n1iml2n（2）n11n211n2n11n223n62n6231n21n3，要使231n21n3，只须1nn1即于是对任意给定的 0，取1N，只要 nN，就
15、有231n21n3，所以.231n21n3imln （3）,nanannannan1nan22222222要使,1nan22只要na2，于是对任意给定的 0，取2aN，只要 nN，就有,1nan22所以.1naniml22n（4）nn101|19999.0|个，要使|19999.0|n 个，只要110n，即1g ln，于是对任意给定的 0（N，就有|19999.0|n 个，所以.19999.0imlnn 个（5）与前面（1）（4）题证法相同 2 要使|x|-0|=|x|=|x-0|0，存在=，只要0|x-0|，就有|x|-0|0，存在 0，只要|xx|00，就有|Axf|特别地，在xx00时，有 Axfiml,|Axf|0 xx；同样地，在0 xx0，有 Axfmli,|Axf|0 xx 充分性：若 ,xfimlAxfiml00 xxxx则对任意给定的 0，存在1，只要10 xx0，就有|Axf|，存在2，只要20 xx0，就有|Axf|，取21,m i n，只要0 xx0，就有 .Axfiml,|Axf|0 xx 1.1nn12n11n1lim所以1,n111lim1nnlim1,n111limnnnlim又,1nnnn12n11n1nnn4因为222n2n2nn2n22222