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1、 第1页（共4页）辽宁中考数学知识点（四）1一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答 2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 10b+a（2）增长率问题：增长率增长数量/原数量100%如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数（1+增长百分率）2后来数（3）形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程
2、利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系 2设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数 3列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程 4解：准确求出方程的解 5验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题 6答：写出答案 2函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数
3、关系式 注意：函数解析式是等式 函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数 函数的解析式在书写时有顺序性，例如，yx+9 时表示y是x的函数，若写成xy+9 第2页（共4页）就表示x是y的函数 3函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义 当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数例如y2x+13 中的x 当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零例如yx+2x1 当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零 对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际
4、问题有意义 4动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图 5一次函数的性质 一次函数的性质：k0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降 由于ykx+b与y轴交于（0，b），当b0 时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b0 时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴 6反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表描点连线（1）列表取值时，x0，因为x0 函数无意义，为
5、了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x0，k0，所以y0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴 7反比例函数的性质 反比例函数的性质 第3页（共4页）（1）反比例函数y（k0）的图象是双曲线；（2）当k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每
6、一象限内y随x的增大而增大 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点 8反比例函数系数 k 的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变 9反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数yk/x（k为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xyk；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在yk/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成
7、的矩形的面积是定值|k|10二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题 解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围（2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论（3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，
8、通过解析式可解决一些测量问题或其他问题 第4页（共4页）11二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件（3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义 12菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）菱形的性质 菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线（3）菱形的面积计算 利用平行四边形的面积公式 菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）