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1、实用文档 圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：cos1eep.其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p0 当 0e1 时，方程表示椭圆；当 e1 时，方程表示双曲线，若0，方程只表示双曲线右支，若允许0，方程就表示整个双曲线；当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若
2、1+cosepe 则 0e1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线 当 e1 方程表示极点在左焦点上的双曲线（2）若1-sinepe 当 0e1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线 实用文档 当 e1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+sinepe 当 0e1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线 当 e1 时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例 1.确定方程1053cos表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。解法一：3 1025333
3、1cos1cos55 31053eP，2332555851015103383cacaabaccc 2225155()()882b 31554e方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问实用文档 题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。（2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，1、椭圆中，cbccap22
4、，2222cos2)cos(1cos1caabeepeepMN.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）若 M、N 在双曲线同一支上，2222cos2)cos(1cos1caabeepeepMN；若 M、N 在双曲线不同支上，2222cos2cos1cos1acabeepeepMN.3、抛物线中，2sin2)cos(1cos1pppMN 例 1 过双曲线22xy-145的右焦点，引倾斜角为3的直线，交双曲线与A、B 两点，求AB 解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由 得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线
5、的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是 ;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,所以弦长也是 ;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是 -或 523cos12(,),(,)33AB 12|AB5580|723cos23cos()33121212-实用文档 为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用 变式练习：等轴双曲线长轴为 2，过其右有焦点，引倾斜角为6的直线，交双曲线于 A,B 两点，求AB 求AB 解：附录直角坐标系中的焦半径公式 设 P（x,y）是圆锥曲线上
6、的点，1、若1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，则exaPF1，exaPF2；2、若1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，当点 P 在双曲线右支上时，aexPF1，aexPF2；当点 P 在双曲线左支上时，exaPF1，exaPF2；3、若F是抛物线的焦点，2pxPF.利用弦长求面积 高考题（08 年卷）过椭圆22154xy的焦点F作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求AOB的面积 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式222|1cosepABe求弦长，然后利用公式B1|B|sin2AOSAOFAFO直接得出答案。12112cos12(,),(,)66AB 12|AB11
7、|12cos12cos()66（）22|26264实用文档 变式(2005 年全国高考理科)已知点F为椭圆2212xy的左焦点.过点F的直线1l与椭圆交于P、Q两点，过F且与1l垂直的直线2l交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2221cos2 设直线1l的倾斜角，则直线2l的倾斜角为090，由极坐标系中焦点弦长公式知：22|11cos2PQ，20222|111cos(90)1sin22MN 用他们来表示四边形的面积 1|2SPQMN22111sincos242111sin 2216 即求2111sin 2216的最大
8、值与最小值 由三角知识易知：当sin 21 时，面积取得最小值169；当sin 20时，面积取得最大值2 利用弦长公式解决常量问题 例一过椭圆)0(12222babyax的左焦点 F，作倾斜角为 60 的直线l交椭圆于 A、B 两点，若FBFA2，求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。实用文档 设椭圆的极坐标方程为cos1epe则00240cos1,60cos1epeFBepeFA，21221epeepe，解得32e；变式求过椭圆23cos的左焦点，且倾斜角为4的弦长AB和左焦点到左准线的距离。解：先将方程化为标准形式：2311cos3 则离心率13e，23e
9、p，2p 所以左焦点到左准线的距为 2。设125(,),(,)44AB，代入极坐标方程，则弦长 1222245173cos3cos44AB （3）定值问题 例 1.抛物线22(0)ypx p的一条焦点弦被焦点分为 a,b 的两段，证明：11ab定值。解：以焦点 F 为极点，以 FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1 cosp，设(,),(,)A aB b 将 A,B 两点代入极坐标方程，得,1 cos1 cos()ppab 则11ab=1 cos1 cos()pp=2p（定值）实用文档 点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，则有epNFMF
10、211 例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和弦 CD,求证11ABCD为定值。证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为cos1eep，又设 112343A,B,+,C,+,D,+22 则代入可得 222|1cosepABe，222|1sinepABe则 2112-e=ABCD2ep 注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的围。推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。例三(2007 理改编)中心在原点O的椭圆2213627xy，点F是其左焦点，在椭圆上任取
11、三个不同点123P,P,P使0122331120P FPPFPP FP 证明：213111FPFPFP为定值，并求此定值 解析：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos，设点1P对应的极角为，则点2P与3P对应的极角分别为0120、0120，1P、2P与3P的极径就分别是1|FP 92cos、2|FP 092cos(120)与3|FP 092cos(120)，因 此213111FPFPFP002cos2cos(120)2cos(120)999，而在三实用文档 角函数的学习中，我们知道00coscos(120)cos(120)0，因此 21311123FPFPFP为定值 极坐标分别表示1|FP、2|FP与3|FP，这样一个角度对应一个极径 就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点 推广 1 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？推广 2 设123PP PPn是椭圆上的 n 个点，且123NFP,FP,FPFP圆周角等分则n2i=1i1OP也为定值 例题：（2003 年希望杯竞赛题）经过椭圆22221(0)xyabab的焦点1F作倾斜角为 60的直线和椭圆相交于 A，B 两点，11|2|AFBF（1）求椭圆的离心率e；（2）若15|4AB，求椭圆方程