《2022年圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载圆锥曲线的极坐标方程学问点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统肯定义为：与一个定点 焦点 的距离和一条定直线 准线 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹以椭圆的左焦点 双曲线的右焦点、 抛物线的焦点 为极点,过点 F 作相应准线的垂线, 垂足为 K,以 FK的反向延长线为极轴建立极坐标系椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：1ep. ecos其中 p 是定点 F 到定直线的距离, p0 当 0e1 时,方程表示椭圆；当 e1 时,方程表示双曲线,如 0,方程只表示双曲线右支,如答应 0,方程就表示整 个双曲线；当 e=1 时,方程表
2、示开口向右的抛物线. 引论（ 1）如ep 1+ cos就 0e1 当时,方程表示极点在右焦点上的椭圆当 e=1 时时,方程表示开口向左的抛物线当 e1 方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）如ep 1- sin当 0e1 时,方程表示极点在下焦点的椭圆当 e=1 时,方程表示开口向上的抛物线当 e1 时. 方程表示极点在上焦点的双曲线（3）ep 1+ sin当 0e1 时,方程表示极点在上焦点的椭圆名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载当 e=1 时,方程表示开口向下的抛物线当 e1 时. 方程表示极点
3、在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题如圆锥曲线的弦 MN经过焦点 F,1、椭圆中,pa2cb2,MN1ep1eepa22 ab2. A、B两点,求ABecoscos2 c2 coscc2、双曲线中,（注释：双曲线问题比较特别,许多参考书上均有误会；）如 M、N在双曲线同一支上,MN1ep1epa22 2 ab；e cose cosc2cos 2如 M、N在双曲线不同支上,MN1ep1epc22 ab 2a2. e cosecoscos 23、抛物线中,MN1p1p2pcoscossin2例 1 过双曲线x2-y21的右焦点,引倾斜角为3的直线,交双曲线与45解：依据题意,建立以双曲线右焦点为
4、极点的极坐标系即得25 v 加肯定值,但求双曲线的弦长时,3cos所以A 1,3,B 2,3又由AB|12|得 |2 3cos 52 3cos 5 | 8073 3注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时,无需对肯定要加肯定值,这是防止争论做好的方法；点睛由于椭圆 , 抛物线的弦的两个端点极径均为正值 , 所以弦长都是 ; 对于两个端点都在双曲线右支上的弦 , 其端点极径均为正值 , 所以弦长也是 ; 对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦 , 其端点极径一个为正值一个为负值 , 所以弦长是 - 或为统一起见,求双曲线时一律加肯定值,使用 1-1 2 2变式练习：等轴双曲线长轴为 2,过其右有焦点,
5、引倾斜角为 6的直线,交双曲线于 A,B两点,求 AB求 AB 名师归纳总结 第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解：A 1,6,B2,6AB|12|6）116|226226|112 cos（2 cos附录 直角坐标系中的焦半径公式设 P（x,y ）是圆锥曲线上的点,1、如F 、F 分别是椭圆的左、右焦点,就PF1exaex,PF2aex；2、如F 、F 分别是双曲线的左、右焦点,a；当点 P在双曲线右支上时,PF1exa,PF2当点 P在双曲线左支上时,PF1aex,PF2aex；3、如 F 是抛物线的焦点,PF
6、xp. 2利用弦长求面积2 2高考题（ 08 年海南卷）过椭圆 x y1 的焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,5 4B两点, O为坐标原点,求 AOB 的面积简 解 首 先 极 坐 标 方 程 中 的 焦 点 弦 长 公 式 | AB | 22 ep2 求 弦 长 , 然 后 利 用 公 式1 e cosS AO B 1 | A B | | OF | si n AFO 直接得出答案；22变式2005 年全国高考理科 已知点 F 为椭圆 x y 21 的左焦点 . 过点 F 的直线 1l 与椭圆交2于 P 、 Q 两点,过 F 且与 1l 垂直的直线 2l 交椭圆于 M 、 N
7、两点,求四边形 PMQN 面积的最小值和最大值 . 2解析以点 F 为极点,建立极坐标系,就椭圆的极坐标方程为：12cos第 3 页,共 6 页22设直线1l 的倾斜角,就直线2l 的倾斜角为90 ,由极坐标系中焦点弦长公式知：名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |PQ|112,|MN|112精品资料1欢迎下载22 cos2 cos 0 90 1sin2222用他们来表示四边形的面积S1 | 2PQ| |MN|112 cos1116；当 sin 20时,面积取得最大值21 sin 421 sin 2 1622即求11的最大值与最小值1 si
8、n 2 162由三角学问易知：当sin21时,面积取得最小值9利用弦长公式解决常量问题例一过椭圆x2y21ab0的左焦点 F,作倾斜角为 60 的直线l交椭圆于 A、B两点,a2b2如 FA2FB,求椭圆的离心率 . 简解,建立极坐标系,然后利用等量关系,可很快求出离心率；设椭圆的极坐标方程为21ep就FA1eep600,FB1eep2400,ecoscoscosep2ep,解得e；34的弦长 AB 和左焦点到左准线的距离；ee1122的左焦点,且倾斜角为变式求过椭圆32cos2解：先将方程化为标准形式：13 1 cos 3第 4 页,共 6 页就离心率e1,ep2,33p2所以左焦点到左准线
9、的距为2；设A1,4,B2,5,代入极坐标方程,就弦长4AB1232432524coscos174名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（3）定值问题例 1. 抛物线 y 22 px p 0 的一条焦点弦被焦点分为 a,b 的两段,证明：1a 1b定值；解：以焦点 F 为极点,以 FX 轴为极轴建立极坐标系,就抛物线的极坐标方程为p,设 A a , , B b , 1 cos将 A,B 两点代入极坐标方程,得 a p , b p1 cos 1 cos 就1a b=1 cosp 1 cosp =2 p（定值）点睛,引申到椭圆和
10、双曲线也是成立的；推论 ：如圆锥曲线的弦MN经过焦点 F,就有1121ep, 又 设MFNFep例二： 经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦 CD,求证11为定值；ABCD证 明 ： 以 椭 圆 的 左 焦 点 建 立 极 坐 标 系 , 此 时 椭 圆 的 极 坐 标 方 程 为ecosA1,1, B2,+, C3 2,+3 , D2,就代入可得|AB|12 ep,|AB|12 ep2就2 e2 cose2sin11=2 2-eABCD2ep注释；此公式对抛物线也成立,但对双曲线不成立；留意使用的范畴；推广 1 如经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦,倒数和也为定值；需要以原点为极点建立极
11、坐标方程；推广 2 如不取倒数,可以求它们和的最值；2 2例三2007 重庆理改编 中心在原点 O 的椭圆 x y 1,点 F 是其左焦点, 在椭圆上任取三36 27个不同点 P ,P ,P 使P FP 2P FP 3P FP 1 120 0证明：1 1 1 为定值,并求此定值FP 1 FP 2 FP 3解析：以点 F 为极点建立极坐标系,就椭圆的极坐标方程为：9,设点 P 对应的2 cos极角为,就点 2P与 3P对应的极角分别为 120 、120 ,P 、P 与 3P的极径就分别是| FP 1 | 9、| FP 2 | 90 与 | FP 3 | 90, 因 此2 cos 2 cos 12
12、0 2 cos 120 名师归纳总结 第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载0 01 1 1 2 cos 2 cos 120 2 cos 120 ,而在三角函数的学习中,我FP 1 FP 2 FP 3 9 9 9们知道 cos cos 120 0cos 120 0 0 ,因此1 1 1 2 为定值FP 1 FP 2 FP 3 3点睛：极坐标分别表示 | FP 、| FP 与 | FP ,这样一个角度对应一个极径就不会象解析几何那样,一个倾斜角,对应两个点,同时对应两条焦半径（极径）,这就是极坐标表示圆锥曲线的优点推广 1 如放在抛物线和双曲线中是否成立呢？推广 2 设PP P 3Pn是 椭圆上的 n 个点,且FP ,FP ,FP 3FP 圆周角等分就n12也为定值i=1OP作业（2003 年期望杯竞赛题）经过椭圆2 x2 ay21 ab0的焦点F 作倾斜角为60 的直线和椭b2圆相交于 A,B两点,|AF1| 2 |BF 第 6 页,共 6 页（1）求椭圆的离心率e；（2）如|AB|15,求椭圆方程4名师归纳总结 - - - - - - -