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1、-抛物线性质归纳、证明和应用 抛物线是平面到定点的距离等于到定直线定点在定直线外的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支双曲线有两支，只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例 一、焦半径、焦点弦性质 如图，AB是过抛物线 y22p*p0焦点F的弦，AD、BC是准线的垂线，垂足分别为D、C，M是CD的中点，N是AB的中点设点A(*1，y1)、点B(*2，y2)，直线AB
2、交y轴于点K(0，y3)，则：y1y2p2；*1*2p24；1y11y21y3；|AB|*1*2p2psin2 为AB的倾斜角；SOABp22sin，S梯形ABCD2p2sin3.1|AF|1|BF|2p；AMBDFCRt；AM、BM是抛物线的切线；AM、BM分别是DAB和CBA的平分线；AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点；A、O、C三点共线，B、O、D三点共线；假设|AF|：|BF|m：n，点A在第一象限，为直线AB的倾斜角.则 cos mnmn；以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切.K(0，y3)C M D B(*2，y2)R
3、O F(p2，0)A(*1，y1)*y H G*p2 N Q-MN交抛物线于点Q，则，Q是MN的中点.*y1y2p2；*1*2p24；1y11y21y3|AB|*1*2p2psin2 为AB的倾斜角；SOABp22sin，S梯形ABCD2p2sin3.【证明】设过焦点F(p2，0)的AB的直线方程为*myp2，代入抛物线方程y22p*得 y22pmyp20，因此 y1y2p2，y1y22pm.另由得在 RtCFD中，FRCD，有|RF|2|DR|RC|，而|DR|y1|，|RC|y2|，|RF|p，且y1 y20 y1y2p2.又点A、B在抛物线上，有*1y212p，*2y222p，因此*1*
4、2y212py222p(y1y2)24p2p24.1y11y2y1y2y1y22pmp22mp，在直线AB方程*myp2中令*0，得y3p2m，代入上式得1y11y21y3【证法一】根据抛物线的定义，|AF|AD|*1p2，|BF|BC|*2p2，|AB|AF|BF|*1*2p 又|AB|(*2*1)2(y2y1)21m2|y2y1|1m2(y1y2)24y1y2 1m24m2p24p22p(1m2)当m0 时，m1k1tancossin，有 1m21cos2sin21sin2k为直线AB的斜率 C D B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O F(p2，0)图 1-当m0 时，90，1m
5、21 也满足 1m21sin2|AB|2p(1m2)2psin2.【证法二】如图 2，过A、B引*轴的垂线AA1、BB1，垂足为 A1、B1，则|RF|AD|FA1|AF|AF|cos，|AF|RF|1cosp1cos 同理，|BF|RF|1cosp1cos|AB|AF|BF|p1cosp1cos2psin2.【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为p1cos，则|AF|1p1cos，|BF|2p1cos()p1cos.|AB|AF|BF|p1cosp1cos2psin2.SOABSOAFSOBF12|OF|y1|12|OF|y1|12p2(|y1|y1|)y1y2p2，则y1、y2异号，因
6、此，|y1|y1|y1y2|SOABp4|y1y2|p4(y1y2)24y1y2p44m2p24p2p221m2p22sin.又|CD|AB|sin2psin，|AD|BC|AB|2psin2.S梯形ABCD12(|AD|BC|)|CD|122psin2psin2p2sin3.【例 1】2001 年新课程高考文设坐标原点为O，抛物线y22*与过焦点的直线交于A、B两点，则OAOB A.34 B.34 C.3 D.3 C D B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O A1 B1 F 图 2-【解】设A(*1，y1)，B(*2，y2)，则OAOB*1*2y1y2p24p234，应选 B.【例
7、2】2021 年理过抛物线y22p*p0的焦点F作倾斜角为 45的直线交抛物线于A、B两点，假设线段AB的长为 8，则p.【解】由性质得|AB|2psin22psin2458，p81224.*1|AF|1|BF|2p【证法一】由*1*2p24，且|AF|*1p2，|BF|*2p2.1|AF|1|BF|1*1p21*2p2*1*2p(*1p2)(*2p2)*1*2p*1*2p2(*1*2)p24 *1*2p p24p2(*1*2)p24*1*2p p2(*1*2p)2p【证法二】由|AF|1p1cos，|BF|2p1cos()p1cos.1|AF|1|BF|11121cosp1cosp2p【例
8、3】2000 全国过抛物线ya*2a0的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ的长分别是p、q，则1p1q等于 A.2a B.12a C.4a D.4a【解】由ya*2得*21ay，抛物线焦点到准线的距离为12a，由此得1p1q4a，应选 C.*AMBDFCRt，先证明：AMBRt【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图 3，则 ADMECM，|AM|EM|，|EC|AD|BE|BC|CE|BC|AD|C D B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O F E N M 3-|BF|AF|AB|ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，BMAE，即AMBRt【证法二】取AB的中点
9、N，连结MN，则|MN|12(|AD|BC|)12(|AF|BF|)12|AB|，|MN|AN|BN|ABM为直角三角形，AB为斜边，故AMBRt.【证法三】由得C(p2，y2)、D(p2，y1)，由此得M(p2，y1y22).kAMy1y1y22*1p2y1y22y212ppp(y1y2)y21p2p(y1p2y1)y21p2py1，同理kBMpy2 kAMkBMpy1py2p2y1y2p2p21 BMAE，即AMBRt.【证法四】由得C(p2，y2)、D(p2，y1)，由此得M(p2，y1y22).MA(*1p2，y1y22)，MB(*3p2，y2y12)MAMB(*1p2)(*2p2)(
10、y1y2)(y2y1)4*1*2p2(*1*2)p24(y1y2)24 p24p2(y212py222p)p24y21y222y1y24 p22y1y22p22p220 MAMB，故AMBRt.【证法五】由下面证得DFC90，连结FM，则FMDM.又ADAF，故ADMAFM，如图 4 12，同理34 C D B R A*y O F 图 4 1 2 3 4 M-231218090 AMBRt.接着证明：DFCRt【证法一】如图 5，由于|AD|AF|，ADRF，故可设AFDADFDFR，同理，设BFCBCFCFR，而AFDDFRBFCCFR180 2()180，即90，故DFC90【证法二】取C
11、D的中点M，即M(p2，y1y22)由前知kAMpy1，kCFy2p2p2y2ppy1 kAMkCF，AMCF，同理，BMDF DFCAMB90.【证法三】DF(p，y1)，CF(p，y2)，DFCFp2y1y20 DFCF，故DFC90.【证法四】由于|RF|2p2y1y2|DR|RC|，即|DR|RF|RF|RC|，且DRFFRC90 DRFFRC DFRRCF，而RCFRFC90 DFRRFC90 DFC90【例 4】2021 年文如图 7，过抛物线y22p*P0的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1，求证：FM1FN1*AM、BM是抛物线的
12、切线【证法一】kAMpy1，AM的直线方程为yy1py1(*y212p)与抛物线方程y22p*联立消去*得 图 5 C D B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O F(p2，0)C D B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O F M 图 6 G H D1 N1 N M*y O F 图 7 M1 l C D B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O F M 8 D1-yy1py1(y22py212p)，整理得y22y1yy210 可见(2y1)24y210，故直线AM与抛物线y22p*相切，同理BM也是抛物线的切线，如图 8.【证法二】由抛物线方程y22p*，两边对*求导，(y2
13、)*(2p*)*，得 2yy*2p，y*py，故抛物线y22p*在点A(*1，y1)处的切线的斜率为k切y*|yy1py1.又kAMpy1，k切kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.【证法三】过点A(*1，y1)的切线方程为y1yp(*1)，把M(p2，y1y22)代入 左边y1y1y22y21y1y222p*1p22p*1p22，右边p(p2*1)p22p*1，左边右边，可见，过点A的切线经过点M，即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.*AM、BM分别是DAB和CBA的平分线【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图 9，则ADMECM，有ADBC，ABB
14、E，DAMAEBBAM，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.【证法二】由图 9 可知只须证明直线AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的 2 倍即可，即2.且M(p2，y1y22)tankABy2y1*2*1y2y1 y222py212p 2py1y2.tankAMy1y1y22*1p2y1y22y212ppp(y1y2)y21p2p(y1p2y1)y21p2py1.C D B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O F E N M 图 9-tan 22tan1tan22py11(py1)22py1y22p22py1y22y1y22py1y2tan 2，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.*AM
15、、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点【证法一】如图 10，设AM与DF相交于点G1，由以上证明知|AD|AF|，AM平分DAF，故AG1也是DF边上的中线，G1是DF的中点.设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，易知，|DD1|OF|，DD1OF，故DD1G2FOG2|DG2|FG2|，则G2也是DF的中点.G1与G2重合设为点G，则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点.【证法二】AM的直线方程为yy1py1(*y212p)，令*0 得AM与y轴交于点G1(0，y12)，又DF的直线方程为yy1p(*p2)，令*0 得DF与y轴交于点G2(0，y12)A
16、M、DF与y轴的相交同一点G(0，y12)，则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点H由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.*A、O、C三点共线，B、O、D三点共线【证法一】如图 11，kOAy1*1y1 y212p 2py1，kOCy2 p2 2y2p2py2p22py2y1y22py1 kOAkOC，则A、O、C三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法二】设AC与*轴交于点O，ADRFBC C D B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O F 图 11 C D B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O F M 图 10 G H D1-|RO|AD|CO|CA|
17、BF|AB|，|OF|AF|CB|AB|，又|AD|AF|，|BC|BF|，|RO|AF|OF|AF|RO|OF|，则O与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法三】设AC与*轴交于点O，RFBC，|OF|CB|AF|AB|，|OF|CB|AF|AB|BF|AF|AF|BF|1 1|AF|1|BF|p2【见证】O与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法四】OC(p2，y2)，OA(*1，y1)，p2y1*1 y2p2y1y212py2py12y1y2y12ppy12p2y12p0 OCOA，且都以O为端点 A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共
18、线.【推广】过定点P(m，0)的直线与抛物线y22p*p0相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：*m的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下列图：【例 5】2001 年高考设抛物线y22p*p0的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC*轴.证明直线AC经过原点O.【证法一】因为抛物线y22p*p0的焦点为F(p2，0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为*myp2；代入抛物线方程得y22pmyp20 设A(*1，y1)，B(*2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，y1y2p2 因为BC*轴，且点C在准线*p2上，故C
19、(p2，y2)，C B(*2，y2)R A(*1，y1)*y O F 图 12-直线CO的斜率为 kOCy2 p2 2py1y1*1kOA.直线AC经过原点O.【证法二】如图 13，过A作ADl，D为垂足，则：ADEFBC 连结AC与EF相交于点N，则|EN|AD|AC|BF|AB|，|NF|BC|AF|AB|由抛物线的定义可知：|AF|AD|，|BF|BC|EN|AD|BF|AB|AF|BC|AB|NF|.即N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.*假设|AF|：|BF|m：n，点A在第一象限，为直线AB的倾斜角.则 cos mnmn；【证明】如图 14，过A、B分别作
20、准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作BEAD于E，设|AF|mt，|AF|nt，则|AD|AF|，|BC|BF|，|AE|AD|BC|(mn)t 在 RtABE中，cosBAE|AE|AB|(mn)t(mn)tmnmn cos cosBAEmnmn.【例 6】设经过抛物线y22p*的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B，且|AF|：|BF|3：1，则直线AB的倾斜角的大小为.【答案】60或 120.*以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切.【说明】如图 15，设E是AF的中点，则E的坐标为(p2*1 2，y12)，则点E到y轴的距离为d p2*1
21、212|AF|故以AF为直径的圆与y轴相切，C D B(*2，y2)E A(*1，y1)*y O F 图 13 N C D B R A*y O E F 图 14 l C D B R A*y O F 图 15 l M N E-同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图 15，设M是AB的中点，作MN准线l于N，则|MN|12(|AD|BC|)12(|AF|BF|)12|AB|则圆心M到l的距离|MN|12|AB|，故以AB为直径的圆与准线相切.*MN交抛物线于点Q，则Q是MN的中点.【证明】设A(y212p，y1)，B(y222p，y1)，则C(p2，y2)，D(p2，y1)，M(p2，y1y
22、22)，N(y21y224p，y1y22)，设MN的中点为Q，则Q(p2y21y224p 2，y1y22)p2y21y224p 2 2p2y21y22 8p 2y1y2y21y22 8p y1y222 2p 点Q 在抛物线y22p*上，即Q是MN的中点.二、定点、定值、定直线问题共 9 个结论*平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图 17.【证明】如图 17，设抛物线方程为y22p*p0，直线AB*轴，点A的坐标为(*0，y0)，则过A点的切线方程为y0yp(*0)，直线l的斜率为k0py0，设直线AB到l的角为，则 tanpy0，设直线AF的斜率为k1，则k1y0
23、*0p2 2py0y20p2，设直线l到AF的角为，图 17 F A B*O T l 图 16 -则 tank1k01k0k1 2py0y20p2py0 1py02py0y20p2p(y20p2)y0(y20p2)py0.tantan，又、0，)，则，也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点.【例 7】2004 年省质检如图 18，从点M(*0，2)发出的光线沿平行于抛物线y24*的轴的方向射向抛物线的点P，反射后经焦点F又射向直线l：*2y70 上的点N，再反射后又设回点M，则*0.【解】PM*轴，点P在抛物线上，得P的坐标为(1，2)，经过F(1，0)点后反射在
24、Q点，则Q的坐标为(1，2)，经Q反射后点N的坐标为(3，2)，设M关于l对称的点为M，依题意，Q、N、M 共线.故可设M(*1，2)，由此得 22*0*1121*0*12222270，解得*06.【另解】假设设Q关于直线l的对称点为Q，设Q(a，b)，由于Q、Q关于直线l对称，由此得 b2a1121a122b2270，解得a95b185则Q的坐标为(95，185)，又M、N、Q三点共线，kMNkNQ，即185195322*03，*06.*假设C(*0，y0)是抛物线y22p*p0上的任一点，过C引两条互相垂直的直线交抛物线于A、B，则直线AB过定点(2p*0，y0).【证明】设A(s22p，
25、s)、B(t22p，t)s，t，y0互不相等 则，由ACBC得*y O A(s22p，s)2C(*0，y0)图 18 F P M*O Q N y M-kACkBCy0s*0s22p y0t*0t22p y0s y202ps22p y0t y202pt22p 4p2(y0s)(y0t)1 4p2(y0s)(y0t)st4p2(st)y0y20 又直线AB的方程为ysts*s22p t22ps22p，整理得，y2p*stst 把代入得 y2p*4p2(st)y0y20st2p*4p22p*0sty02pst(*2p*0)y0 令*2p*00，即*2p*0，得yy0.故直线AB过定点(2p*0，y0
26、).特别地，当C是抛物线的顶点时，定点P的坐标为(2p，0).【拓展】C(*0，y0)是抛物线y22p*p0上的一定点，直线AB与抛物线相交于A、B两点都异于C，假设直线CA、CB的斜率kCA、kCB的乘积为定值 m，则，直线AB过定点(*02pm，y0).【例 8】2000 京皖春季高考如图 20，设点A和B为抛物线y24p*p0上原点以外的两个动点，OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线【解法一】点A，B在抛物线y24p*上，设A(y2A4p，yA)，B(y2B4p，yB)，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB kOAyA y2A4p 4pyA，kOA4pyB，kABy
27、ByA y2B4py2A4p 4pyAyB.由OAOB，得kOAkOB16p2yAyB1 直线AB方程为，yyA4pyAyB(*y2A4p)，即(yAyB)(yyA)4p(*y2A4p)*y O A(*A，yA)图 20 B(*B，yB)M P-由OMAB，得直线OM方程y yAyB 4p 设点M(*，y)，则*，y满足、两式，将式两边同时乘以*4p，并利用式 整理得，*4pyA2yyA(*2y2)0 由、两式得*4pyByA(*2y2)0，由式知，yAyB16p2，所以*2y24p*0 因为A、B是原点以外的两点，所以*0 所以点M的轨迹是以(2p，0)为圆心，以 2p为半径的圆，去掉坐标原
28、点【解法二】由性质(2)易知AB经过定点P(4p，0)，由于OMAB，则，M的轨迹以(2p，0)为圆心，以 2p为半径的圆，去掉坐标原点其轨迹方程为*2y24p*0*0.*抛物线y22p*p0的弦AB的中点D恰好在定直线l：*mm0上，则线段AB的垂直平分线过定点M(mp，0).【证明】如图 22，设A(*1，y1)，B(*2，y2)，D(m，y0)，则 y212p*1y222p*2 得y21y222p(*1*2)直线AB的斜率kABy1y2*1*22py1y2py0 直线DM的斜率kDM1kABy0p DM的直线方程为yy0y0p(*m)令y0，得*mp 直线AB的垂直平分线恒过定点(mp，
29、0).【例 9】2021 理科高考假设A、B是抛物线y24*上的不同两点，弦AB不平行于y轴的垂直平分线与*轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦.当*2 时，点P(*，0)存在无穷多条“相关弦给定*02 图 21*y O A(*A，yA)B(*B，yB)M P 图 22 -证明：点P(*0，0)的所有“相关弦的中点的横坐标一样；略【说明】应用性质，由得p2，由定点P(*0，0)得mp*0，故m*02“相关弦的中点的横坐标为*02.-*设直线l与抛物线y22p*p0相交于点A(*1，y1)、B(*2，y2)，则 假设直线l过抛物线对称轴的定点M(a，0)，则y1y22ap，*1*2a2；
30、反之 假设y1y2k定值，则直线l恒过定点N(k2p，0).假设直线l与y轴相交于点(0，y3)，则1y11y21y3.【证明】设过点M(a，0)的直线方程为*mya，代入抛物线方程y22p*得 y22pmy2pa0，因此 y1y22ap，*1*2y212py222p(y1y2)24p24a2p24p2a2.设直线l方程为*myb，代入抛物线方程y22p*得 y22pmy2pb0，即方程的根y1、y2是P、Q两点的纵坐标 y1y22pb，又y1y2k.2pbk，即bk2p，则直线l方程为*myk2p 令y0，得*k2p，则直线l恒过定点N(k2p，0).由l的方程*mya中，令*0 得y3am
31、，y1y22pm 1y11y2y1y2y1y22pm2apma1y3.【例 10】2005 年春季高考理科如图 24，O为坐标原点，直线l在*轴和y轴上的截距分别为a和ba0，b0，且交抛物线y22p*p0于M(*1，y1)、N(*2，y2)两点.写出直线l的截距式方程；证明：1y11y21b.【解】直线l的截距式方程为*ayb1.由上面性质证明可得1y11y21b.*y O A(*1，y1)图 23 B(*2，y2)N(*2，y2)M(*1，y1)*y O a 图 24 b -*过抛物线y22p*p0的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点，且与准线交于点M，设MA AF，MB BF，则0.【
32、证法一】设过点F(p2，0)的直线方程为*myp2，代入抛物线方程y22p*得 y22pmyp20，因此y1y2p2，y1y22pm 令*p2，得yMpm 由MAAF得(*1p2，y1pm)(p2*1，y1)y1pm y1，1pmy1，同理，1pmy2 2pmy1pmy22p(y1y2)my1 y22p2pmm(p2)220.【证法二】由MA AF，MB BF，得0 则|MA|MB|AF|BF|过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有：|MA|MB|AA1|BB1|AF|BF|由得|AF|BF|AF|BF|，即0.【例 11】2007 年理科高考如图 27，点F(1，0)，直线
33、l：*1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ 求动点P的轨迹C的方程；过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，MA1AF，MB2BF，求12的值；【略解】动点P的轨迹C的方程为：y24*；120.B(*2，y2)A(*1，y1)*y O F 图 25 M B(*2，y2)A(*1，y1)*y O F 图 26 M A1 B1 O y*1 1 l F 图 27-*定长为l的弦AB的两个端点在抛物线y22p*上，M是AB 的中点，M到y轴的距离为d，则，M的轨迹方程为：4(y2p2)(2p*y2)p2l2，且 当 0l2p时，d的最小值为l28p，此时，
34、ABy轴；当l2p时，d的最小值为lp2，此时，弦AB过焦点F.【解】设A(*1，y1)，B(*2，y2)，弦AB的中点M的坐标为(*0，y0)，AB的直线方程为*myb，代入抛物线方程y22p*得y22pmy2pb0.y1y22pm，y1y22pb.又AB的中点为M(*0，y0)，且点M在直线AB上，y0y1y22pm，*0my0b，my0p，b*0my0*0y20p.|AB|2l2(*1*2)2(y1y2)2(my1bmy2b)2(y1y2)2(1m2)(y1y2)2(1m2)(y1y2)24y1y2(1y20p2)4y208pb(1y20p2)4y208p(*0y20p)整理得，4(y2
35、0p2)(2p*0y20)p2l2.故中点M的轨迹方程为：4(y2p2)(2p*y2)p2l2.由上可知d*pl28(y2p2)y22p，令ty2p2p2，即y2tp2，则 d*pl28ttp22ppl28tt2pp2tp2.令pl28tt2p，得tpl2.当 0l2p时，p2pl2，d在t p2，)上是增函数，当tp2，即y0 时，dminpl28p2p22pp2l28p，此时，m0，即ABy轴.当l2p时，p2pl2，dpl28tt2pp22pttpl282p2lp2.当且仅当pl28tt2p，即tpl2p2时取等号，故d的最小值为lp2.【证法二】当l2p时，过A、B、M作准线*p2的垂
36、线，垂足为A、B、M，则 B A*y O F 29 M A M B B(*2，y2)A(*1，y1)*y O F 图 28 M(*0，y0)-|MM|dp212(|AA|BB|)12(|AF|BF|)12|AB|12l.上式当且仅当|AF|BF|AB|，即弦AB过抛物线的焦点M时取等号，则d的最小值为12lp2lp2.【说明】经过焦点F的最短弦是通经 2p，因此当弦AB的长l2p时，不能用证法二证明d的最小值为l28p.【例 12】长度为a的线段AB的两个端点在抛物线*22pya2p0 上运动，以AB的中点C为圆心作圆与抛物线的准线相切，求圆C的最小半径.【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个
37、端点在抛物线上，弦的中点C到y轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦AB经过焦点F时，点C到准线的距离为最小值.如图30.圆C的最小半径为ra2.*过抛物线y22p*p0的对称轴上的定点M(m，0)m0，作直线AB与抛物线相交于A，B两点点N是定直线l：*m上的任一点，则直线AN，MN，BN的斜率成等差数列.【证明】设A(*1，y1)，B(*2，y2)，N(m，n)，由性质有y1y22pm，则直线AN、BN的斜率为kANy1n*1m，kBNy2n*2m kANkBNy1n y212pm y2n y222pm 2p(y1n)y212pm2p(y2n)y222pm 2p(y1n)y21y1y22
38、p(y1n)y22y1y2 2py2(y1n)y1(y2n)y1y2(y1y2)2pn(y1y2)y1y2(y1y2)2pny1y22pn2pmnm B A*y O 图 30 C F A B N M(m，0)(m，n)*m O*y 图 31-又直线MN的斜率为kMNn0mmn2m.kANkBN2kMN 直线AN，MN，BN的斜率成等差数列.*抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合.【证明】设斜率为kk为常数的一组平行线与抛物线y22p*p0交于点Ai、Bii1，2，弦AiBi的中点为Mi，即M1，M2，Mn，且AiBi的直线方程为yk*bibi为直线AiBi在y轴上
39、的截距，Ai(*1，y1)，Bi(*2，y2)，Mi(*i，yi).联立方程组y22p*yk*bi，消去*得k2py2ybi0 y1y22pk，又Mi是AiBi的中点 yiy1y22pk，则M1，M2，Mn在平行于*轴的直线ypk上.当直线AiBi与*轴垂直即直线AiBi的斜率不存在时，易知M1，M2，Mn在*轴上.【例 13】2021 年卷理 20 文 21抛物线C：y2*2，直线yk*2 交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作*轴的垂线交C于点N 证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；【证明】如图 34，设A(*1，2*21)，B(*1，2*22)，把yk*2 代入y2*2得 2*
40、2k*20，由韦达定理得*1*2k2，*1*21，*N*M*1*22k4，即 N 点的坐标为(k4，k28)设抛物线在点N处的切线l的方程为yk28m(*k4)，将y2*2代入上式得 2*2m*mk4k280，直线l与抛物线C相切，m28(mk4k28)0，Ai Bi Mi*y O 图 33*A y 1 1 2 M N B O 图 34 -解得mk，即lAB.【说明】其实，也就是与AB平行的弦，它们的中点在过AB中点且与对称轴*轴平行的直线上，它与C的交点N，此时的切点就是这些弦的缩点，故过N点的抛物线C的切线与AB平行.*过定点P(*0，y0)作任一直线l与抛物线y22p*p0相交于A、B两
41、点，过A、B两点作抛物线的切线l1、l2，设l1，l2相交于点Q，则点Q在定直线p*y0yp*00 上.【证明】设A(*1，y1)、B(*2，y2)，因为过点P与*轴平行的直线与抛物线只有一个交点，所以直线AB与*轴不平行，故可设AB的方程为*0m(yy0).联立方程组y22p*0m(yy0)，消去*得 12py2mymy0*00 y1y22p(my0*0)又过A、B两点的抛物线的切线方程为 y1yp(*1)和y2yp(*2)，联立方程组y1yp(*1)y2yp(*2)解得*Q*1y2*2y1y1y2 y212py2y222py1 y1y2y1y22pmy0*0 yQp*1*2y1y2pm 由
42、得myQp 代入得*QyQp y0*0，点Q在直线p*y0yp*00 上.【例 14】2007 年文科高考题如图 36，对每个正整数 n，An(*n，yn)是抛物线*24y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn，tn).试证：*nsn4n1；取*n2n，并记为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证：|FC1|FC2|F|2n2n11.【说明】此题第小题就是抛物线的焦点弦的性质y1y2=p2.第小题两条切线的交点就是上面抛物线的性质，即点必在直线y1 上.【例 15】2021 年理科高考如图，设抛物线方程为*22py P A B Q O*y 图 35 An A2 A
43、1 Bn B1 B2 F O *y 图 36 y*B A O 2 37-p0，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；略.【证明】由题意设A(*1，*212p)，B(*2，*222p)，*1*2，M(*0，2p)由*22py得y*22p，y*p 所以，kMA*1p，kMB*2p，因此直线MA的方程为y2p*1p(*0)，直线MB的方程为y2p*2p(*0)，所以，*212p2p*1p(*1*0)，*222p2p*2p(*2*0)，得，(*1*2)(*1*2)2p(*1*2)(*1*2)p*0(*1*2)p*1*22*1*2*0，即
44、 2*0*1*2 所以A，M，B三点的横坐标成等差数列.*过抛物线y22p*p0的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交*轴于点M，则|AB|FM|2.【证明】设过焦点F(p2，0)的直线AB的方程为*myp2 m0，且A(*1，y1)、B(*2，y2)，把*myp2代入y22p*，得y22pmyp2，即y22pmyp20 y1y22pm，y1y2p2*1*2m(y1y2)p2pm2p，yxMNBOFA-AB的中点N的坐标为(pm2p2，pm)AB的垂直平分线方程为ypmm(*pm2p2)令y0，得M的横坐标为*pm23p2|FM|*Mp2|pm2pp(m21)，又|AB
45、|*1*2p2p(m21).|AB|FM|2p(m21)p(m21)2【证法二】设A(*1，y1)、B(*2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，则C(p2，y1)、D(p2，y2)，则CD的中点E的坐标为(p2，y1y22)，由证法一知y1y22pm，E(p2，pm)，所以kEFpm p2p2 m 又kAB1m，所以kABkEF(m)1m1 EFAB，又MNAB，所以EFMN 又EN*轴，所以四边形EFMN为平行四边形|FM|EN|12(|AC|BD|)12|AB|所以|AB|FM|2*P是过抛物线y22p*p0上的一定点，过P作与*轴平行的直线m，过OP的直线为n，直线l*
46、轴，l与m、n分别相交于A、B两点，则AB的中点M在点P处的切线.yxEDCMNBOFA-【证明】设P(t22p，t)，则m的方程为yt，直线n即OP的方程为y2pt*，设直线l的方程为*sst22p，则 A的坐标为(s，t)，B 的坐标为(s，2pst)，AB的中点M的坐标为(t，t2pst2)，即(t，2pst22t)又过点P(t22p，t)的抛物线的切线方程为ytp(*t22p)ypt(*t22p)当*Ms时，ypt(st22p)pstt22pst22tyM 可见点M在点P处的切线n上.*点P(a，0)a0是抛物线y22p*p0的对称轴上的一点，过P的直线l与抛物线相交于两点A、B，A关
47、于*轴的对称的点为A，又点Q(a，0)，则A、B、Q三点共线.【证明】设直线l的方程为*mya，A(*1，y1)，B(*2，y2)则A(*1，y1)，联立方程组 y22p*mya，消去*得 y22pmya0，则y1 y22pa，又QA(*1a，y1)，QB(*2a，y2)，(*1a)y2(*2a)y1(y212pa)y2(y222pa)y1 y21y22py22y12pa(y1y2)y1y2(y1y2)2pa(y1y2)(y1y2)(y1y22pa)(y1y2)(2pa2pa)0 lnm yxMABOFP yOxQPBAA-QAQB Q、A、B三点共线.【例 16】给出一个抛物线，根据其性质，
48、用尺规作图求出该抛物线的对称轴、顶点和焦点.图 a 图 b【作法】1.任意作两条平行弦A1B1和A2B2；2.分别取A1B1和A2B2的中点M、N，过M、N作直线m；3.作直线CDm，交抛物线于C、D；4.取CD的中点E；5.过E作直线lm，交抛物线于点O.则直线l为抛物线的对称轴，O为抛物线的顶点，如图a.6.过顶点O作两条互相垂直的弦OP、OQ；7.设PQ与对称轴l相交于点G；8.取OG的靠近O的四等分点F.则F为抛物线的焦点.【说明】1.根据性质，平行弦的中点共线，且与对称轴平行；2.垂直于对称轴的弦CD的中点在对称轴上，故l为抛物线的对称轴；3.根据性质得PQ过顶点(2p，0)，故F为抛物线的焦点.