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1、-抛物线性质归纳、证明和应用-第 30 页抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例一、焦半径、焦点弦性质如图，是过抛物线 y22（p0）焦点F的弦，、是准线的垂线，垂足分别为D、C，M是的中点，N是的中点设点A(x1，y1)、点B
2、(x2，y2)，直线交y轴于点K(0，y3)，则：K(0，y3)CMDB(x2，y2)ROF( ，0)A(x1，y1)xyHGxqNQ y1y2p2； x1x2； ； | |x1x2p （q为的倾斜角）； S，S梯形. ； 、是抛物线的切线； 、分别是和的平分线； 、y轴三线共点，、y轴三线共点； A、O、C三点共线，B、O、D三点共线； 若| |：| |m：n，点A在第一象限，q为直线的倾斜角. 则 q ； 以为直径的圆与y轴相切，以为直径的圆与y轴相切；以为直径的圆与准线相切. 交抛物线于点Q，则，Q是的中点. y1y2p2； x1x2； | |x1x2p （q为的倾斜角）；S，S梯形.【
3、证明】设过焦点F(，0)的的直线方程为x，代入抛物线方程y22得 y22p20，因此CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)q图1 y1y2p2，y1y22.另由得在中，有| |2| | |，而| | y1 |，| | y2 |，| |p，且y1 y20y1y2p2. 又点A、B在抛物线上，有x1，x2，因此x1x2. ，在直线方程x中令x0，得y3，代入上式得【证法一】根据抛物线的定义，| | |x1，| | |x2， | | | |x1x2p又| | y2y1 | 2p(1m2)当m0时，m，有1m21（k为直线的斜率）CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOqA1B1
4、F图2当m0时，q90，1m21也满足1m2| |2p(1m2) .【证法二】如图2，过A、B引x轴的垂线1、1，垂足为A1、B1，那么| | | 1 | | q，| |同理，| | | | | .【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为r，则| |r1 ，| |r2 .| | | | .SSS| y1 | y1 |(| y1 | y1 |)y1y2p2，则y1、y2异号，因此，| y1 | y1 | y1y2 |S| y1y2 | .又| | q ，| | | |.S梯形(| | |)| |.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O，抛物线y22x与过焦点的直线交于A、B两点，则（
5、 ）A. B. C. 3D. 3【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y2p2，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y22（p0）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段的长为8，则p .【解】由性质得| |8，p4. 【证法一】由x1x2，且| |x1，| |x2. 【证法二】由| |r1 ，| |r2 . 【例3】（2000全国）过抛物线y2（a0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段与的长分别是p、q，则等于（ ）A. 2a B. a D. 【解】由y2得x2 y，（抛物线焦点到准线的距离为），由此得4a，故选C.CDB(x2，y2)R
6、A(x1，y1)xyOFENM图3 ，先证明：【证法一】延长交的延长线于E，如图3，则为等腰三角形，又M是的中点，即【证法二】取的中点N，连结，则| |(| | |)(| | |)| |，| | | |为直角三角形，为斜边，故.【证法三】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).，同理1，即.【证法四】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).CDBRAxyOF图41234M(x1，)，(x3，)(x1)(x2)x1x2(x1x2)()0，故.【证法五】由下面证得90，连结，则.又，故，如图412，同理34图5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)aaab
7、bb2318090接着证明：【证法一】如图5，由于| | |，故可设a，同理，设b，而1802(ab)180，即ab90，故90CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图6GHD1【证法二】取的中点M，即M(，)由前知，同理，90.【证法三】(p，y1)，(p，y2)，p2y1y20，故90.【证法四】由于| |2p2y1y2| | |，即，且90，而9090N1NMxyOF图7M1l90【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y22（P0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1，求证：11CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF
8、M图8D1 、是抛物线的切线【证法一】，的直线方程为yy1(x)与抛物线方程y22联立消去x得yy1()，整理得y22y1y0可见(2y1)240，故直线与抛物线y22相切，同理也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y22，两边对x求导，得2y2p，故抛物线y22在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切| yy1.又，k切，即是抛物线在点A处的切线，同理也是抛物线的切线.【证法三】过点A(x1，y1)的切线方程为y1yp(xx1)，把M(，)代入左边y11，右边p(x1)1，左边右边，可见，过点A的切线经过点M，即是抛物线的切线，同理也是抛物线的切线.CDB(x2，y2)RA(x1，
9、y1)xyOFENM图9 、分别是和的平分线【证法一】延长交的延长线于E，如图9，则，有，即平分，同理平分.【证法二】由图9可知只须证明直线的倾斜角a是直线的倾斜角b的2倍即可，即a2b. 且M(，)a.b. 2baa2b，即平分，同理平分. 、y轴三线共点，、y轴三线共点【证法一】如图10，设与相交于点G1，由以上证明知| | |，平分，故1也是边上的中线，G1是的中点.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图10GHD1设与y轴交于点D1，与y轴相交于点G2，易知，| 1 | |，1，故1G22| 2 | 2 |，则G2也是的中点.G1与G2重合（设为点G），则、y轴三线共点，同
10、理、y轴也三线共点.【证法二】的直线方程为yy1(x)，令x0得与y轴交于点G1(0，)，又的直线方程为y(x)，令x0得与y轴交于点G2(0，)、与y轴的相交同一点G(0，)，则、y轴三线共点，同理、y轴也三线共点H由以上证明还可以得四边形是矩形.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF图11 A、O、C三点共线，B、O、D三点共线【证法一】如图11，则A、O、C三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法二】设与x轴交于点O，又| | |，| | |，| | OF |，则O与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法三】设与x轴交于点O，| OF |【见证】O与O重
11、合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法四】(，y2)，(x1，y1)，y1x1 y2y1 y20，且都以O为端点A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.【推广】过定点P(m，0)的直线与抛物线y22（p0）相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：xm的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图：【例5】（2001年高考）设抛物线y22（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且x轴. 证明直线经过原点O.CB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF图12【证法一】因为抛物线y22（p0）的焦点为F(
12、，0)，所以经过点F的直线的方程可设为x；代入抛物线方程得y22p20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，y1y2p2因为x轴，且点C在准线x上，故C(，y2)，CDB(x2，y2)EA(x1，y1)xyOF图13N直线的斜率为 .直线经过原点O.【证法二】如图13，过A作l，D为垂足，则：连结与相交于点N，则，由抛物线的定义可知：| | |，| | | | |.即N是的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线经过原点O. 若| |：| |m：n，点A在第一象限，q为直线的倾斜角. 则 q；【证明】如图14，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作于E，
13、设| |，| |，则CDBRAxyOqEF图14l| | |，| | |，| | | |(mn)t在中， q.【例6】设经过抛物线y22的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B，且| |：| |3：1，则直线的倾斜角的大小为 .【答案】60或120. 以为直径的圆与y轴相切，以为直径的圆与y轴相切；以为直径的圆与准线相切.【说明】如图15，设E是的中点，CDBRAxyOF图15lMNE则E的坐标为(，)，则点E到y轴的距离为d| |故以为直径的圆与y轴相切，同理以为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15，设M是的中点，作准线l于N，则| |(| | |)(| | |)| |图16则圆心M到l的距离
14、| | |，故以为直径的圆与准线相切. 交抛物线于点Q，则Q是的中点.【证明】设A(，y1)，B(，y1)，则C(，y2)，D(，y1)，M(，)，N(，)，设的中点为Q，则Q (，) 点Q 在抛物线y22上，即Q是的中点.二、定点、定值、定直线问题（共9个结论）平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图17.图17FABxOTl【证明】如图17，设抛物线方程为y22（p0），直线x轴，点A的坐标为(x0，y0)，则过A点的切线方程为y0yp(xx0)，直线l的斜率为k0，设直线到l的角为a，则a，设直线的斜率为k1，则k1 ，设直线l到的角为b，则b.ab，又a、b0
15、，p)，则ab，也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点.图18FPMxOQNyM【例7】（2004年福建省质检）如图18，从点M(x0，2)发出的光线沿平行于抛物线y24x的轴的方向射向抛物线的点P，反射后经焦点F又射向直线l：x2y70上的点N，再反射后又设回点M，则x0 .【解】x 轴，点P在抛物线上，得P的坐标为(1，2)，经过F(1，0)点后反射在Q点，则Q的坐标为(1，2)，经Q反射后点N的坐标为(3，2)，设M关于l对称的点为M，依题意，Q、N、M 共线.故可设M (x1，2)，由此得 ，解得x06.【另解】若设Q关于直线l的对称点为Q，设Q (a，b
16、)，由于Q、Q关于直线l对称，由此得，解得则Q的坐标为(，)， 又M、N、Q 三点共线，即，x06.xyOA(，s)图19B(，t)C(x0，y0)若C(x0，y0)是抛物线y22（p0）上的任一点，过C引两条互相垂直的直线交抛物线于A、B，则直线过定点(2px0，y0).【证明】设A(，s)、B(，t)（s，t，y0互不相等）那么，由得 14p2(y0s)(y0t)4p2(st)y0 又直线的方程为，整理得，y 把代入得 yy0(x2px0)y0令x2px00，即x2px0，得yy0.故直线过定点(2px0，y0). 特别地，当C是抛物线的顶点时，定点P的坐标为(2p，0).【拓展】C(x0
17、，y0)是抛物线y22（p0）上的一定点，直线与抛物线相交于A、B两点（都异于C），若直线、的斜率、的乘积为定值m，那么，直线过定点(x0，y0).xyOA(，)图20B(，)MP【例8】（2000京皖春季高考）如图20，设点A和B为抛物线y24（p0）上原点以外的两个动点，已知，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线【解法一】点A，B在抛物线y24上，设A(，)，B(，)，、的斜率分别为、，.由，得1 直线方程为，y(x)，即()(y)4p(x) 由，得直线方程y 设点M(x，y)，则x，y满足、两式，将式两边同时乘以，并利用式整理得，2(x2y2)0 图21xyOA(，)B(，)MP由、两
18、式得(x2y2)0，由式知，16p2，所以x2y240因为A、B是原点以外的两点，所以x0所以点M的轨迹是以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点【解法二】由性质(2)易知经过定点P(4p，0)，由于，那么，M的轨迹以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点其轨迹方程为x2y240（x0）.抛物线y22（p0）的弦的中点D恰好在定直线l：xm（m0）上，则线段的垂直平分线过定点M(mp，0).图22【证明】如图22，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(m，y0)，那么得2p(x1x2)直线的斜率直线的斜率的直线方程为yy0(xm)令y0，得xmp直线的垂直平分线恒过
19、定点(mp，0).【例9】（2008湖南理科高考）若A、B是抛物线y24x上的不同两点，弦（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦是点P的一条“相关弦”.已知当x2时，点P(x，0)存在无穷多条“相关弦”给定x02证明：点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（略）【说明】应用性质，由已知得p2，由定点P(x0，0)得mpx0，故mx02“相关弦”的中点的横坐标为x02.设直线l与抛物线y22（p0）相交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么若直线l过抛物线对称轴的定点M(a，0)，则y1y22，x1x2a2；反之若y1y2k（定值），则直线l恒过定点N (，0)
20、.若直线l与y轴相交于点(0，y3)，则.【证明】设过点M(a，0)的直线方程为xa，代入抛物线方程y22得xyOA(x1，y1)图23B(x2，y2) y2220，因此y1y22，x1x2a2.设直线l方程为xb，代入抛物线方程y22得 y2220，即方程的根y1、y2是P、Q两点的纵坐标y1y22，又y1y2k.2k，即b，则直线l方程为x令y0，得x，则直线l恒过定点N(，0).由l的方程xa中，令x0得y3，y1y22 .N(x2，y2)M(x1，y1)xyOa图24b【例10】（北京2005年春季高考理科）如图24，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别为a和b（a0，b0），
21、且交抛物线y22（p0）于M(x1，y1)、N(x2，y2)两点.写出直线l的截距式方程；证明：.【解】直线l的截距式方程为1.由上面性质证明可得.过抛物线y22（p0）的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点，且与准线交于点M，设l，m，则lm0.B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF图25M【证法一】设过点F(，0)的直线方程为x，代入抛物线方程y22得 y22p20，因此y1y2p2，y1y22令x，得由l得(x1，y1)l (x1，y1)y1l y1，l1，同理，m1lm222220.B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF图26MA1B1【证法二】由已知l，m，得lm0则 过点A，B
22、分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有： 由得，即lm0.Oyx11lF图27【例11】（2007年福建理科高考）如图27，已知点F(1，0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且求动点P的轨迹C的方程；过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知l1，l2，求l1l2的值；【略解】动点P的轨迹C的方程为：y24x；l1l20.定长为l的弦的两个端点在抛物线y22上，M是 的中点，M到y轴的距离为d，那么，M的轨迹方程为：4(y2p2)(2y2)p2l2，且B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF图28M(x0，y0)当0l2p时，d的最小值为，
23、此时，y轴；当l2p时，d的最小值为，此时，弦过焦点F.【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点M的坐标为(x0，y0)，的直线方程为xb，代入抛物线方程y22得y2220. y1y22，y1y22.又的中点为M(x0，y0)，且点M在直线上，y0，x00b，m，bx00x0.| |2l2(x1x2)2(y1y2)2(1b2b)2(y1y2)2(1m2)(y1y2)2(1m2)(y1y2)24y1y2(1)48(1)48p(x0)整理得，4(p2)(20)p2l2. 故中点M的轨迹方程为：4(y2p2)(2y2)p2l2.由上可知dx，令ty2p2p2，即y2tp2，则dx（tp2
24、）.令，得t.当0l2p时，p2，d在t p2，)上是增函数，当tp2，即y0时，此时，m0，即y轴.当l2p时，p2，d2. 当且仅当，即tp2时取等号，故d的最小值为.BAxyOF图29MAMB【证法二】当l2p时，过A、B、M作准线x的垂线，垂足为A、B、M，则| |d(| | |)(| | |)| |l.上式当且仅当| | | |，即弦过抛物线的焦点M时取等号，则d的最小值为l.【说明】经过焦点F的最短弦是通经2p，因此当弦的长l2p时，不能用证法二证明d的最小值为.BAxyO图30CF【例12】长度为a的线段的两个端点在抛物线x22（a2p0）上运动，以的中点C为圆心作圆与抛物线的准
25、线相切，求圆C的最小半径.【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上，弦的中点C到y轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦经过焦点F时，点C到准线的距离为最小值. 如图30. 圆C的最小半径为r.过抛物线y22（p0）的对称轴上的定点M(m，0)（m0），作直线与抛物线相交于A，B两点点N是定直线l：xm上的任一点，则直线，的斜率成等差数列.ABNM(m，0)(m，n)xmOxy图31【证明】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(m，n)，由性质有y1y22，则直线、的斜率为， 又直线的斜率为.2直线，的斜率成等差数列.抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对
26、称轴重合. xyO图33【证明】设斜率为k（k为常数）的一组平行线与抛物线y22（p0）交于点、（i1，2，），弦的中点为，（即M1，M2，），且的直线方程为y（为直线在y轴上的截距），(x1，y1)，(x2，y2)，(，).联立方程组，消去x得y2y0y1y2，又是的中点，则M1，M2，在平行于x轴的直线y上.当直线与x轴垂直（即直线的斜率不存在时），易知M1，M2，在x轴上.xAy112MNBO图34【例13】（2009年陕西卷理20文21）已知抛物线C：y2x2，直线y2交C于A，B两点，M是线段的中点，过M作x轴的垂线交C于点N证明：抛物线C在点N处的切线与平行；【证明】如图34，设A
27、(x1，2)，B(x1，2)，把y2代入y2x2得2x220，由韦达定理得x1x2，x1x21，即N点的坐标为(，)设抛物线在点N处的切线l的方程为ym(x)，将y2x2代入上式得2x20，直线l与抛物线C相切，Dm28()0，解得mk，即l.【说明】其实，也就是与平行的弦，它们的中点在过中点且与对称轴（x轴）平行的直线上，它与C的交点N，此时的切点就是这些弦的缩点，故过N点的抛物线C的切线与平行.过定点P(x0，y0)作任一直线l与抛物线y22（p0）相交于A、B两点，过A、B两点作抛物线的切线l1、l2，设l1，l2相交于点Q，则点Q在定直线y0y00上.PABQOxy图35【证明】设A(
28、x1，y1)、B(x2，y2)，因为过点P与x轴平行的直线与抛物线只有一个交点，所以直线与x轴不平行，故可设的方程为xx0m(yy0).联立方程组，消去x得 y20x00y1y22p(0x0)又过A、B两点的抛物线的切线方程为 y1yp(xx1)和y2yp(xx2)，联立方程组解得0x0 p 由得m 代入得 y0x0，点Q在直线y0y00上.A2A1B1B2FOxy图36【例14】（2007年重庆文科高考题）如图36，对每个正整数 n，(，)是抛物线x24y上的点，过焦点F的直线交抛物线于另一点(，).试证：4（n1）；取2n，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点.试证：| 1 | 2
29、 | |2n2n11.【说明】本题第小题就是抛物线的焦点弦的性质y1y2=p2.第小题两条切线的交点就是上面抛物线的性质，即点必在直线y1上.yxBAOM2p图37【例15】（2008年山东理科高考）如图，设抛物线方程为x22（p0），M为 直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；略.【证明】由题意设A(x1，)，B(x2，)，x1x2，M(x0，2p)由x22得y，y所以，因此直线的方程为y2p(xx0)，直线的方程为y2p(xx0)，所以，2p(x1x0)，2p(x2x0)，得，x1x2x0，即2x0x1x2所以A，M，B三点的横
30、坐标成等差数列.过抛物线y22（p0）的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，线段的垂直平分线交x轴于点M，则2.【证明】设过焦点F(，0)的直线的方程为x（m0），且A(x1，y1)、B(x2，y2)，把x代入y22，得y22p2，即y22p20y1y22，y1y2p2x1x2m(y1y2)p22p，的中点N的坐标为(2，)的垂直平分线方程为ym(x2)令y0，得M的横坐标为x2| | |2pp(m21)，又| |x1x2p2p(m21).2【证法二】设A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，则C(，y1)、D(，y2)，则的中点E的坐标为(，)，由证
31、法一知y1y22，E(，)，所以m又，所以(m)1，又，所以又x轴，所以四边形为平行四边形| | |(| | |)| |所以2P是过抛物线y22（p0）上的一定点，过P作与x轴平行的直线m，过的直线为n，直线lx轴，l与m、n分别相交于A、B两点，则的中点M在点P处的切线.【证明】设P(，t)，则m的方程为yt，直线n（即）的方程为yx，设直线l的方程为xs（s），那么A的坐标为(s，t)，B的坐标为(s，)，的中点M的坐标为(t，)，即(t，)又过点P(，t)的抛物线的切线方程为p(x)y(x)当xs时，y(s)可见点M在点P处的切线n上.点P(a，0)（a0）是抛物线y22（p0）的对称轴
32、上的一点，过P的直线l与抛物线相交于两点A、B，A关于x轴的对称的点为A，又点Q(a，0)，那么A、B、Q三点共线.【证明】设直线l的方程为xa，A(x1，y1)，B(x2，y2)则A(x1，y1)，联立方程组，消去x得a0，那么y1 y22，又(x1a，y1)，(x2a，y2)，(x1a)y2(x2a)y1(a)y2(a)y1a(y1y2)a(y1y2)(y1y2)(a)(y1y2)(a)0Q、A、B三点共线.【例16】给出一个抛物线，根据其性质，用尺规作图求出该抛物线的对称轴、顶点和焦点.图a 图bA1B1和A2B2；A1B1和A2B2的中点M、N，过M、N作直线m；m，交抛物线于C、D；E；E作直线lm，交抛物线于点O.则直线l为抛物线的对称轴，O为抛物线的顶点，如图a.O作两条互相垂直的弦、；l相交于点G；O的四等分点F.则F为抛物线的焦点.，平行弦的中点共线，且与对称轴平行；2.垂直于对称轴的弦的中点在对称轴上，故l为抛物线的对称轴；得过顶点(2p，0)，故F为抛物线的焦点.