《专题八立体几何第二十三讲空间中点、直线、平面之间的位置关系5648.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题八立体几何第二十三讲空间中点、直线、平面之间的位置关系5648.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 专题八 立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系 2019 年 1.(2019 全国 III 文 8）如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD 平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 BBM EN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 DBM EN，且直线 BM，EN 是异面直线 2.（2019 全国 1 文 19）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中
2、点.（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离 3.（2019 全国 II 文 7）设 ，为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 1 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面 4.（2019 北京文 13）已知 l，m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 5.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E
3、6.（2019 全国 II 文 17）如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 E BB C C 的体积 1 1 7.(2019 全国 III 文 19）图 1 是由矩形 ADEB、RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.2 （1）证明图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的
4、四边形 ACGD 的面积.8.（2019 北京文 18）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点（）求证：BD平面 PAC；（）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由 9.（2019天津文 17）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，VPCD 为 等边三角形，平面 PAC 平面 PCD，PA CD，CD 2，AD 3，（）设G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH 平面 PAD；（）求证：PA 平面 PCD；（）求直线 AD 与平
5、面 PAC 所成角的正弦值.3 10.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E 11.（2019 浙 江 19）如 图，已 知 三 棱 柱 ABC A1B1C1，平 面 A ACC 平 面 1 1 ABC,ABC 90，BAC 30,A A AC AC,E,F 分别是 AC，A1B1 的中点.1 1（1）证明：EF BC；（2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.12.（2019 北京文 18）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD，底部 A
6、BCD 为菱 形，E 为 CD 的中点（）求证：BD平面 PAC；（）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由 4 13.（2019 全国 1 文 16）已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为_ 14.（2019 全国 1 文 19）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C
7、到平面 C1DE 的距离 15.（2019天津文 17）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，VPCD 为等边三角形，平面 PAC 平面 PCD，PA CD，CD 2，AD 3，（）设G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH 平面 PAD；5 （）求证：PA 平面 PCD；（）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值.16.（2019 浙江 8）设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不 含端点），记直线 PB 与直线 AC 所成角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成角为 ，二面角 P-AC-B 的平面角为 ，则 A
8、，B ，C ，D ，17.（2019 浙 江 19）如 图，已 知 三 棱 柱 ABC A1B1C1，平 面 A ACC 平 面 1 1 ABC,ABC 90，BAC 30,A A AC AC,E,F 分别是 AC，A1B1 的中点.1 1（1）证明：EF BC；（2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.2010-2018 年 一、选择题 1(2018 全国卷)在正方体 ABCD A B C D 中，E 为棱 CC 的中点，则异面直线 AE 与 1 1 1 1 1 CD 所成角的正切值为 6 A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 2(2018 浙江)已知平面，直线 m，n
9、 满足 m ，n ，则“m n”是“m ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3（2017 新课标）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 4（2017 新课标）在正方体 ABCD A B C D 中，E 为棱CD 的中点，则 1 1 1 1 A A E DC B 1 1 A E BD C 1 A E BC D 1 1 A E AC 1 5（2016 年全国 I 卷）平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A，平面 CB1D1，I 平面
10、ABCD=m，I 平面 ABB1 A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为 A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 3 6（2016 年浙江）已知互相垂直的平面，交于直线 l若直线 m，n 满足 m，n，则 Aml Bmn Cnl Dmn 7（2015 新课标 1）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，7 估
11、算出堆放的米约有 A14 斛 B 22 斛 C36斛 D66 斛 8（2015 新课标 2）已知 A、B 是球O 的球面上两点，AOB 90，C 为该球面上的动 点若三棱锥O ABC 体积的最大值为 36，则球O 的表面积为 A36 B64 C144 D 256 9（2015 广东）若直线l 和l 是异面直线，l 在平面 内，l 在平面 内，l 是平面 与平 1 2 1 2 面 的交线，则下列命题正确的是 Al 与l，l 都不相交 Bl 与l，l 都相交 1 2 1 2 Cl 至多与l，l 中的一条相交 Dl 至少与l，l 中的一条相交 1 2 1 2 10（2015 浙江）如图，已知 ABC
12、，D 是 AB 的中点，沿直线CD 将 ACD 翻折成 A CD，所成二面角 A CD B 的平面角为，则 11（2014 广东）若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足 1 2,2 3,3 4 l l l l l l，则 下面结论一定正确的是 A 1/4 l l Bl l C 1,4 l l 既不垂直也不平行 D 1,4 l l 的位置关系不确定 1 4 12（2014 浙江）设 m,n 是两条不同的直线，,是两个不同的平面 A若 m n，n/，则 m B若 m/，则 m 8 C若 m ,n ,n 则 m D若 m n，n ，则 m 13（2014 辽宁）已知 m，n 表示两条
13、不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A若 m/,n/,则 m/n B若 m ，n ，则 m n C若 m ，m n，则 n/D若 m/，m n，则 n 14（2014 浙江）如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练，已 知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄 准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小（仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角）。若 AB 15m，AC 25m，BCM 30 则 tan 的最大值 M P B C A A 30 5 B 30 10 C 4 3 9 D 5 3 9 15（2
14、014 四川）如图，在正方体 ABCD A B C D 中，点O 为线段 BD 的中点。设点 P 在 1 1 1 1 线段 CC 上，直线OP 与平面 1 A BD 所成的角为，则sin 的取值范围是 1 D1 C1 A1 B1 D C O A B 3 A,1 3 6 B,1 3 6 2 2 C,3 3 2 2 D ,1 3 16（2013 新课标 2）已 知 m,n 为异面直线，m 平面，n 平面 直线l 满足l m,l n，l ,l ，则 A 且l B 且l 9 C 与 相交，且交线垂直于l D 与 相交，且交线平行于l 17（2013 广东）设 m,n 是两条不同的直线,是两个不同的平面
15、，下列命题中正确的是 A若 ,m ,n ,则 m n B若/,m ,n ,则 m/n C若 m n,m ,n ,则 D若 m ,m/n,n/,则 18（2012 浙江）设l 是直线，,是两个不同的平面 A若l ，l ，则 B若l ，l ，则 C若 ，l ，则l D若 ,l ，则l 19（2012 浙江）已知矩形 ABCD，AB 1，BC 2 将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所 在的直线进行翻折，在翻折过程中，A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B存在某个位置，使得直线 AB 与直线CD 垂直 C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D对任意位置，三对直线“AC 与
16、 BD”，“AB 与CD”，“AD 与 BC”均不垂直 20（2011 浙江）下列命题中错误的是 A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，=l，那么l 平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 21（2010 山东）在空间，下列命题正确的是 A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个平面平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行 二、填空题 22(2018 全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面
17、所成角 10 为 30 ，若 SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为_ 三、解答题 23（2018 全国卷）如图，在三棱锥 P ABC 中，AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O 为 AC 的中点 P O C A M B(1)证明：PO 平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC 2MB，求点C 到平面 POM 的距离 24（2018 全国卷）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上 异于C，D 的点(1)证明：平面 AMD 平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由 M D C A B 25（20
18、18 北京）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD 平面 ABCD，PA PD，PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点 P F D E C A B 11 (1)求证：PE BC；(2)求证：平面 PAB 平面 PCD；(3)求证：EF 平面 PCD 26（2018 天津）如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC 平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB 2，AD 2 3，BAD 90o (1)求证：AD BC；(2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；(3)求直线CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 A M D B
19、C 27(2018 江苏)在平行六面体 ABCD A B C D 中，1 1 1 1 AA AB，1 AB B C 1 1 1 A1 D1 C 1 B1 A D C B 求证：(1)AB平面 A B C；1 1 (2)平面 ABB A 平面 1 1 A BC 1 28(2018 浙江)如图，已知多面体 ABCA B C，1 1 1 A A，B B，C C 均垂直于平面 ABC，1 1 1 ABC 120o，A A ，C C ，1 4 1 1 AB BC B B 1 2 12 A1 B1 C1 C A B (1)证明：AB 平面 1 A B C；1 1 1 (2)求直线 AC 与平面 1 ABB
20、 所成的角的正弦值 1 29（2017 新课标）如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，1 AB BC AD，BAD ABC 90o 2 P A D B C(1)证明：直线 BC 平面 PAD；(2)若 PCD的面积为 2 7，求四棱锥 P ABCD 的体积。30（2017 新课标）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD CD 13 D E C B A(1)证明：AC BD；(2)已知 ACD 是直角三角形，AB BD 若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 31（201
21、7 天津）如图，在四棱锥 P ABCD 中，AD 平面 PDC，ADBC，PD PB，AD ，BC 3，CD 4，PD 2 1（）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（）求证：PD 平面 PBC；（）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 32（2017 山东）由四棱柱 ABCD A B C D 截去三棱锥C B CD 后得到的几何体如图 1 1 1 1 1 1 1 所示，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A E 平 1 面 ABCD，（）证明：AO平面 1 B CD；1 1 （）设 M 是OD 的中点，证明：平面 A EM 平面
22、1 B CD 1 1 14 A1 D1 B1 B A O E C M D 33（2017 北京）如图，在三棱锥 P ABC 中，PA AB，PA BC，AB BC，PA AB BC 2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点（）求证：PA BD；（）求证：平面 BDE 平面 PAC；（）当 PA 平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD 的体积 34（2017 浙江）如图，已知四棱锥 P ABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角 形，BC AD，CD AD，PC AD 2DC 2CB，E 为 PD 的中点（）证明：CE 平面 PAB；（）求直线CE 与平面 PBC 所成角的
23、正弦值 P E A D B C 35（2017 江苏）如图，在三棱锥 A BCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD 15 求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC A E B D F C 36（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均 为 32cm，容器的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm，容器的两底面对角线 EG，E G 1 1 的长分别为 14cm 和 62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm 现有 一根玻璃棒l，其长度为 40cm（容器厚
24、度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱CC 上，求l 没入水中 1 部分的长度；（2）将l 放在容器中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG 上，求l 没入水中 1 部分的长度 37（2016 年山东）在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB.16 F E H B G A D C（I）已知 AB=BC，AE=EC.求证：ACFB；（II）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证：GH平面 ABC.38（2016 年天津）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED 平面 ABCD，EFAB，AB=2，BC=
25、EF=1，AE=6，DE=3，BAD=60，G 为 BC 的中点.()求证：FG平面 BED；()求证：平面 BED 平面 AED；()求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.F E G B C D A 39（2016 年全国 I 卷）如图，已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形，PA 6，顶 点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并 延长交 AB 于点G （I）证明：G 是 AB 的中点；（II）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积 17 40（2016 年全国
26、II 卷）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O，点 E、F 分别 在 AD，CD 上，AE CF，EF 交 BD 于点 H，将DEF 沿 EF 折到D EF 的位 置.()证明：AC HD；()若 5 AB AC AE OD ,求五棱锥 D ABCFE 体积 5,6,2 2 4 41（2016 年全国 III 卷）如图，四棱锥 P ABCD 中，PA 底面 ABCD，AD P BC，AB=AD AC 3，PA BC 4，M 为线段 AD 上一点，AM 2MD，N 为 PC 的中点（）证明 MN P 平面 PAB；（）求四面体 N BCM 的体积 P N A M D B C
27、42（2015 新课标 1）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BE 平面 ABCD 18 （）证明：平面 AEC 平面 BED；（）若 ABC 120o，AE EC，三棱锥 E ACD 的体积为 6 3 ，求该三棱锥的 侧面积 43（2015 新课标 2）如图，长方体 ABCD A B C D 中，AB 16，BC 10，AA ，1 8 1 1 1 1 点 E，F 分别在 A B，D C 上，1 1 1 1 A E D F 过点 E，F 的平面 与此长方体 1 1 4 的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（）求平面 把该长方体分
28、成的两部分体积的比值 44（2014 山东）如图，四棱锥 P ABCD 中，AP 平面 PCD，ADBC，1 AB BC AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点.2（）求证：AP平面 BEF；（）求证：BE 平面 PAC 19 45(2014 江苏)如图，在三棱锥 P ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点已知 PA ，PA 6,BC 8,DF 5.AC P D A C E F B 求证：（）直线 PA 平面 DEF；（）平面 BDE 平面 ABC 46（2014 新课标 2）如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，E 为 PD
29、的中点（）证明：PB 平面 AEC；（）设二面角 D AE C 为 60，AP=1，AD=3，求三棱锥 E ACD 的体积 47（2014 天津）如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BA BD 2，AD ,PA PD 5,E,F 分别是棱 AD,PC 的中点 2（）证明:EF 平面 PAB；（）若二面角 P AD B 为60o，（）证明：平面 PBC 平面 ABCD；（）求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值 20 48（2013 浙江）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA面 ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，ABC=120，G 为线段 PC
30、上的点 P G A B D C（）证明：BD面 APC；（）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 APC 所成的角的正切值；PG GC（）若 G 满足 PC面 BGD，求 的值 49（2013 辽宁）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上 的点（）求证：BC 平面 PAC；（）设Q 为 PA 的中点，G 为 AOC 的重心，求证：QG 平面 PBC 50（2012 江 苏）如图，在直三棱柱 ABC A B C 中，A B AC，D，E 分别是棱 BC，CC 上 1 1 1 1 1 1 1 1 的点（点D 不同于点 C），且 AD DE，F 为 B C 的中点
31、1 1 21 A1 C1 B1 F E A C D B 求证：（）平面 ADE 平面 BCC B；1 1 （）直线 A F 平面 ADE 1/51(2012 广东)如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，AB 平面 PAD，AB/CD,PD AD，E 是 PB 中点，F 是 DC 上的点，且 1 DF AB，PH 为 PAD 中 AD 边上的高 2 P E C D F H A B（）证明：PH 平面 ABCD；（）若 PH 1,AD 2,FC 1，求三棱锥 E BCF 的体积；（）证明：EF 平面 PAB 52（2011 江苏）如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AB=
32、AD，BAD=60，E、F 分别是 AP、AD 的中点 E D F A C B 求证：（）直线 EF平面 PCD；（）平面 BEF平面 PAD 22 53（2011 广东）如图，在椎体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且DAB=60，PA PD 2,PB=2，E，F 分别是 BC,PC 的中点 P F D A B E C（）证明：AD 平面 DEF；（）求二面角 P-AD-B 的余弦值 54（2010 天津）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA 平面 ABCD，BC AD，CD=1，AD=2 2，BAD CDA45 F E A B D C（）求异面直线CE 与 AF 所成角的余弦值；（）证明CD 平面 ABF；（）求二面角 B EF A 的正切值 55（2010 浙江）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2 BC，ABC=120 E 为线段 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE，使平面 A DE 平面 BCD，F 为 线段 A C 的中点 A F D C M A B E 23 （）求证：BF 平面 A DE；（）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值 24