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1、 专题八 立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系 答案部分 2019 年 2019 年 1.解析 如图所示，联结 BE，BD.因为点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD 平面 ABCD，M 是 线段 ED 的中点，所以 BM 平面 BDE，EN 平面 BDE，因为 BM 是BDE 中 DE 边 上的中线，EN 是BDE 中 BD 边上的中线，直线 BM，EN 是相交直 3 5 线，设 DE a，则 BD 2a，BE a2 a2 a，2 4 4 所以 6 3 1 BM a，EN a2 a2 a，2 4 4 所以 BM EN 故选 B 2.解析（1）
2、连结 1,ME B C，且 B1C,ME.因为 M，E 分别为 BB BC 的中点，所以 1 1 1 ME B C.又因为 N 为 ND A D.A D 的中点，所以 1 1 1 2 2 由题设知 A1B1=DC，可 得 BC AD，故 ME=ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，1=1 MNED.又 MN 平面 C DE，所以 MN平面C DE.1 1（2）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H.由已知可得 DE BC，DE C C，所以 DE平面C CE，故 DECH.1 1 从而 CH平面C DE，故 CH 的长即为 C 到平面C DE 的距离，1 1 4 17 由已知可得 CE=1
3、，C1C=4，所以C1E 17，故 CH .17 从而点 C 到平面C DE 的距离为 1 4 17 17 .1 3.解析：对于 A，内有无数条直线与 平行，则 与 相交或 ，排除；对于 B，内有两条相交直线与 平行，则 ；对于 C，平行于同一条直线，则 与 相交或 ，排除；对于 D，垂直于同一平面，则 与 相交或 ，排除 故选 B 4.解析 若 m/，过 m 作平面 I m，则 m/m ，又l ，则l m，又 m，m 同在 内，所以l m，即 .5.证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABA1B1，所以 A1B1ED.又
4、因为 ED平面 DEC1，A1B1 平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1.（2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1平面 ABC.又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE.因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E.2 6.解：（1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE 平面 ABB1A1，故 B C BE.1 1 又 BE EC，所以 BE平面 1 EB C.1 1（2）由（1）知BEB1=90
5、.由题设知 RtABERtA1B1E，所以 1 1 45 AEB A EB ，故 AE=AB=3，AA AE .1 2 6 作 EF BB，垂足为 F，则 EF平面 1 BB C C，且 EF AB 3.1 1 所以，四棱锥 E BB C C 的体积 1 3 6 3 18 V .1 1 3 F 7.解析（1）由已知得 AD PBE，CG PBE，所以 AD PCG，故 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面 由已知得 AB BE，AB BC，故 AB 平面 BCGE 又因为 AB 平面ABC，所以平面 ABC 平面 BCGE（2）取CG 的中点 M，联结 EM，DM.因为 A
6、BDE，AB 平面 BCGE，所以 DE 平面 BCGE，故 DE CG.由已知，四边形 BCGE 是菱形，且 EBC 60 得 EM CG，故CG 平面 DEM.因此 DM CG.在 Rt DEM 中，DE 1，EM 3，故 DM 2.所以四边形 ACGD 的面积为 4.3 8.解析（）因为 PA 平面 ABCD，且 BD 平面 ABCD，所以 PA BD 又因为底面 ABCD为菱形，所以 BD AC 又 PA 平面 PAC，AC 平面 PAC，PAI AC A，所以 BD 平面 PAC（）因为 PA平面 ABCD，AE 平面 ABCD，所以 PAAE 因为底面 ABCD为菱形，ABC=60
7、，且 E为 CD的中点，所以 AECD 又 AB/CD，所以 ABAE 又 PA 平面 PAB，AB 平面 PAB，PAI AB A，所以 AE平面 PAB 又 AE 平面 PAE，所以平面 PAB平面 PAE （）棱 PB 上存在点 F，且 F 为 PB 的中点，使得 CF平面 PAE 取 F为 PB的中点，取 G 为 PA 的中点，连结 CF，FG，EG 因为G，F 分别为 PA，PB 的中点，则 FGAB，且FG=1 2 AB 因为底面 ABCD为菱形，且 E为 CD的中点，所以 CEAB，且CE=1 2 AB 所以 FGCE，且 FG=CE 4 所以四边形 CEGF 为平行四边形，所以
8、 CFEG 因为 CF 平面 PAE，EG 平面 PAE，所以 CF平面 PAE 9.解析（）连接 BD，易知 AC I BD H，BH DH.又由 BG PG，故GH PD，又因为GH 平面 PAD，PD 平面 PAD，所以GH 平面 PAD.（）取棱 PC 的中点 N，连接 DN.依题意，得 DN PC，又因为平面 PAC 平面 PCD，平面 PAC I 平面 PCD PC，所以 DN 平面 PAC，又 PA 平面 PAC，故 DN PA.又已知 PA CD，CD I DN D，所以 PA 平面 PCD.（）连接 AN，由（）中 DN 平面 PAC，可知 DAN 为直线 AD 与平面 PA
9、C 所 成的角，因为PCD 为等边三角形，CD 2且 N 为 PC 的中点，所以 DN 3.又 DN AN，故在 RtAND 中，sin DN 3 DAN .AD 3 所以，直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 3 .10.证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABA1B1，所以 A1B1ED.又因为 ED平面 DEC1，A1B1 平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1.（2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1平面 ABC.又因为
10、 BE平面 ABC，所以 CC1BE.因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E.11.（I）连接 A1E，因为 A1A=A1C，E 是 AC 的中点，所以 A1EAC.5 又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E 平面 A1ACC1，平面 A1ACC1 平面 ABC=AC，所以，A1E平面 ABC，则 A1EBC.又因为 A1FAB，ABC=90，故 BCA1F.所以 BC平面 A1EF.因此 EFBC.（）取 BC 中点 G，连接 EG，GF，则 EGFA1是平行四边形 由于 A1E
11、平面 ABC，故 AE1EG，所以平行四边形 EGFA1为矩形 由（I）得 BC平面 EGFA1，则平面 A1BC平面 EGFA1，所以 EF 在平面 A1BC 上的射影在直线 A1G 上.连接 A1G 交 EF 于 O，则EOG 是直线 EF 与平面 A1BC 所成的角（或其补角）.不妨设 AC=4，则在 RtA1EG 中，A1E=2 3，EG=3.由于 O 为 A1G 的中点，故 1 15 AG EO OG ，2 2 EO2 OG2 EG2 3 所以 cos EOG 2EO OG 5 因此，直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值是 3 5 12.解析（）因为 PA 平面 ABCD，且
12、 BD 平面 ABCD，所以 PA BD 又因为底面 ABCD为菱形，所以 BD AC 又 PA 平面 PAC，AC 平面 PAC，PAI AC A，所以 BD 平面 PAC 6 （）因为 PA平面 ABCD，AE 平面 ABCD，所以 PAAE 因为底面 ABCD为菱形，ABC=60，且 E为 CD的中点，所以 AECD 又 AB/CD，所以 ABAE 又 PA 平面 PAB，AB 平面 PAB，PAI AB A，所以 AE平面 PAB 又 AE 平面 PAE，所以平面 PAB平面 PAE （）棱 PB 上存在点 F，且 F 为 PB 的中点，使得 CF平面 PAE 取 F为 PB的中点，取
13、 G 为 PA 的中点，连结 CF，FG，EG 因为G，F 分别为 PA，PB 的中点，则 FGAB，且FG=1 2 AB 因为底面 ABCD为菱形，且 E为 CD的中点，所以 CEAB，且CE=1 2 AB 所以 FGCE，且 FG=CE 所以四边形 CEGF 为平行四边形，所以 CFEG 因为 CF 平面 PAE，EG 平面 PAE，所以 CF平面 PAE 13.过点 P 作 PO平面 ABC 交平面 ABC 于点 O，过点 P 作 PDAC 交 AC 于点 D，作 PEBC 交 BC 于点 E，联结 OD，OC，OE，则 AC 平面 POD,BC 平面 POE,所以 AC OD,BC O
14、E,又 ACB 90,7 故四边形ODCE 为矩形.有所做辅助线可知 PD PE 3，所以 2 CD CE 2 3 1，2 所以矩形ODCE 为边长是 1 的正方形，则OC 2.在 RtPCO 中，PC 2,OC 2，所以 PO 2.PO 即为点 P 到平面 ABC 的距离，即所求距离为 2.14.解析（1）连结 1,ME B C，且 B C ME.因为 M，E 分别为 1,BB BC 的中点，所以 1 1 1 ME B C.又因为 N 为 ND A D.A D 的中点，所以 1 1 1 2 2 由题设知 A1B1=DC，可 得 BC AD，故 ME=ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，
15、1=1 MNED.又 MN 平面 C DE，所以 MN平面C DE.1 1（2）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H.由已知可得 DE BC，DE C C，所以 DE平面C CE，故 DECH.1 1 从而 CH平面C DE，故 CH 的长即为 C 到平面C DE 的距离，1 1 4 17 由已知可得 CE=1，C1C=4，所以C1E 17，故CH .17 从而点 C 到平面C DE 的距离为 1 4 17 17 .8 15.解析（）连接 BD，易知 AC I BD H，BH DH.又由 BG PG，故GH PD，又因为GH 平面 PAD，PD 平面 PAD，所以GH 平面 PAD.（）取棱
16、 PC 的中点 N，连接 DN.依题意，得 DN PC，又因为平面 PAC 平面 PCD，平面 PAC I 平面 PCD PC，所以 DN 平面 PAC，又 PA 平面 PAC，故 DN PA.又已知 PA CD，CD I DN D，所以 PA 平面 PCD.（）连接 AN，由（）中 DN 平面 PAC，可知 DAN 为直线 AD 与平面 PAC 所 成的角，因为PCD 为等边三角形，CD 2且 N 为 PC 的中点，所以 DN 3.又 DN AN，故在 RtAND 中，sin DN 3 DAN .AD 3 所以，直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 3 .16.解析：解法一：如图
17、 G 为 AC 的中点，V 在底面的射影为 O，则 P 在底面上的射影 D 在线段 AO 上，作 DE AC 于 E，易得 PEVG，过 P 作 PFAC 于 F，过 D 作 DHAC，交 BG 于 H，则 BPF，PBD，PED，PF EG DH BD 则 cos cos ，可得 ；PB PB PB PB PD PD tan tan ，可得 .ED BD 解法二：由最小值定理可得 ，记V AC B 的平面角为 (显然 )，由最大角定理可得 ；解法三 特殊图形法：设三棱锥V ABC 为棱长为 2 的正四面体，P 为 VA 的中点，9 1 ，可得sin 33 3 2 2 易得 cos ，sin
18、3 6 6 6 6 2 2 2 3 3 ，sin ，3 3 3 3 2 故选 B 17.（I）连接 A1E，因为 A1A=A1C，E 是 AC 的中点，所以 A1EAC.又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E 平面 A1ACC1，平面 A1ACC1 平面 ABC=AC，所以，A1E平面 ABC，则 A1EBC.又因为 A1FAB，ABC=90，故 BCA1F.所以 BC平面 A1EF.因此 EFBC.（）取 BC 中点 G，连接 EG，GF，则 EGFA1是平行四边形 由于 A1E平面 ABC，故 AE1EG，所以平行四边形 EGFA1为矩形 由（I）得 BC平面 EGFA1，则平面 A1B
19、C平面 EGFA1，所以 EF 在平面 A1BC 上的射影在直线 A1G 上.连接 A1G 交 EF 于 O，则EOG 是直线 EF 与平面 A1BC 所成的角（或其补角）.不妨设 AC=4，则在 RtA1EG 中，A1E=2 3，EG=3.由于 O 为 A1G 的中点，故 1 15 AG EO OG ，2 2 EO2 OG2 EG2 3 所以 cos EOG 2EO OG 5 因此，直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值是 3 5 10 2010-2018 年 1C【解析】如图，连接 BE，因为 ABCD，所以异面直线 AE 与 CD 所成角等于相交 直线 AE 与 AB 所成的角，即
20、EAB 不妨设正方体的棱长为 2，则CE 1，BC 2，由 勾股定理得 BE 5，又由 AB 平面 BCC B，可得 AB BE，1 1 所以 tan BE 5 EAB ，故选 C AB 2 D1 C 1 A1 B1 E D C A B 2A【解析】若 m ，n ，m n，由线面平行的判定定理知 m 若 m ，m ，n ，不一定推出 m n，直线 m 与 n 可能异面，故“m n”是“m ”的充分不必要条件故选 A 3A【解析】由正方体的线线关系，易知 B、C、D 中 ABMQ，所以 AB 平面 MNQ，只有 A 不满足选 A 4C【解析】如图，连结 A D，易知 1 AD 平面 1 A DE
21、，所以 1 AD A E，又 1 1 BC AD，1 1 所以 BC 平面 1 A DE，故 1 A E BC，选 C 1 1 D E C A B D1 C1 A1 B1 5A【解析】因为过点 A 的平面 与平面 CB D 平行，平面 ABCD 平面 1 1 A B C D，所 1 1 1 1 以 m B D BD，又 1 1 A B 平面CB D，所以 n 1 1 1 A B，则 BD 与 1 A B 所成的角为所求 1 11 角，所以 m，n 所成角的正弦值为 3 2 ，选 A 6 C【解析】选项 A，只有当 m 或 m 时，m l；选项 B，只有当 m 时 mn；选项 C，由于l ，所以
22、 n l；选项 D，只有当 m 或 m 时，m n，故选 C 7 B【解 析】由 r l 1 r 得 圆 锥 底 面 的 半 径 16 16 2 8 ，所 以 米 堆 的 体 积 4 3 V r h ，所以堆放的米有 320 1.62 22 1 1 1 256 320 5 斛 2 4 3 4 9 9 9 1 8C【解析】三棱锥 V V S h，其中 h 为点C 到平面OAB 的距离，而 O ABC C OAB OAB 3 底面三角形OAB 时直角三角形，顶点C 到平面OAB 的最大距离是球的半径，1 故 V V S h=O ABC C OAB OAB 3 1 1 3 ，其中 R 为球O 的半径
23、，R 36 3 2 所以 R 6，所以球O 的表面积 S 4 R2 144 9D【解析】若直线l 和l 是异面直线，l 在平面 内，l 在平面 内，l 是平面 与平面 1 2 1 2 的交线，则l 至少与l，l 中的一条相交，故选 A 1 2 10B【解析】解法一 设ADC ，AB 2，则由题意知 AD BD A D 1 在空间图形中，连结 A B，设 A B=t 2 2 2 12 12 2 2 2 A D DB A B t t 在 A DB 中，cos A DB 2A D DB 2 1 1 2 过 A作 A N DC，过 B 作 BM DC，垂足分别为 N、M 过 N 作 NP/MB，使四边
24、形 BPNM 为平行四边形，则 NP DC，连结 A P,BP，则 A NP就是二面角 A CD B 的平面角，所以A NP 在 RtA ND 中，DN A Dcos A DC cos ，A N A Dsin A DC sin 同理，BM PN sin ，DM cos ，故 BP MN 2 cos 显然 BP 平面 A NP，故 BP A P 在 RtA BP 中，A P2 A B BP2 t2 (2cos)2 t2 4 cos2 在 A NP 中，cos cos A NP 2 2 2 A N NP A P 2A N NP 12 sin sin (t 4 cos)2 2 2 2 =2 sin
25、2 2 2 cos t 2 t cos 2 2 2 2 2 sin 2 sin sin 2 2 2 1 cos 2 cos A DB ，sin sin 2 2 1 cos 2 所以 cos cos A DB cos A DB cos A DB sin sin 2 2 1 sin cos cos 2 2 2 cos A DB (1 cos A DB)0，sin2 sin2 sin2 所以 cos cos A DB（当=时取等号），2 因为，A DB 0,，而 y cos x 在0,上为递减函数，所以 A DB，故选 B 解法二 若CA CB，则当 时，A CB ，排除 D；当 0 时，A CB
26、0，A DB ，排除 A、C，故选 B 0 11D【解析】利用正方体模型可以看出，l 与l 的位置关系不确定选 D 1 4 12C【解析】选项 A,B,D 中 m 均可能与平面 平行、垂直、斜交或在平面 内，故选C 13B【解析】对于选项 A，若 m/,n/,，则 m 与 n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项 B 正确；对于选项 C，若 m ，m n，则 n 或 n/，C 错误；对于选 项 D，若 m/，m n，则 n/或 n 或 n 与 相交，D 错误故选 B 14D【解析】作 PH BC，垂足为 H，设 PH x，则CH 3x，由余弦定理 AH 625 3x2 40 3，PH 1
27、1 tan tan PAH (0)，AH x 625 40 3 3 x x 2 故当 1 4 3 时，tan 取得最大值，最大值为 5 3 x 125 9 15 B【解析】直线OP 与平面 A BD 所成的角为 的取值范围是 ，AOA C OA 1 1 2 1 1 13 6 6 3 2 2 6 sin AOA ，sin C OA 2 ，sin 1 由于 1 1 1 3 3 3 3 3 2 所以sin 的取值范围是 6,1 3 16D【解析】作正方形模型，为后平面，为左侧面 m l l n 可知 D 正确 17D【解析】A 中 m,n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中 m,n 还可能为异面；
28、C 中 m 应与 中两条相交直线垂直时结论才成立，选 D 18B【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的，l ，l ，则 如选项 A：l ，l 时，或 ；选项 C：若 ，l ，l 或l ；选项 D：若 ,l ，l 或l 19B【解析】过点 A 作 AE BD，若存在某个位置，使得 AC BD，则 BD 面 ACE，从而有 BD CE，计算可得 BD 与CE 不垂直，则 A 不正确；当翻折到 AC CD 时，因 为 BC CD，所以CD 面 ABC，从而可得 AB CD；若 AD BC，因为 BC CD，所以 BC 面 ACD，从而可得 BC AC，而 AB 1 2 BC，所以这样的位置不存 在
29、，故 C 不正确；同理，D 也不正确，故选 B 20D【解析】对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的某些直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其余选项易知均是正确的 21D【解析】两平行直线的平行投影不一定重合，故 A 错；由空间直线与平面的位置关系 及线面垂直与平行的判定与性质定理可知 B、C 均错误，故选 D 228 【解析】由题意画出图形，如图，14 S A O C B 设 AC 是底面圆O 的直径，连接 SO，则 SO 是圆锥的高，设圆锥的母线长为l，则由 SA SB，SAB 的面积为 8，得 1 2 8 l ，得l 4，在 Rt ASO 中，2 由题
30、意知 SAO 30o，所以 SO 1 l 2，3 2 3 AO l 2 2 故该圆锥的体积 1 2 1(2 3)2 2 8 V AO SO 3 3 23【解析】(1)因为 AP CP AC 4，O 为 AC 的中点，所以OP AC，且OP 2 3 连结OB 因为 2 AB BC AC，所以 ABC 为等腰直角三角形，2 1 且OB AC，OB AC 2 2 由 OP2 OB2 PB2 知，OP OB 由OP OB，OP AC 知 PO 平面 ABC P A B O H M C(2)作CH OM，垂足为 H 又由(1)可得OP CH，所以CH 平面 POM 故CH 的长为点C 到平面 POM 的
31、距离 OC AC，2 4 2 CM BC ，ACB 45o 1 由题设可知 2 2 3 3 15 2 5 所以 OM ，CH 3 OC MC sin ACB 4 5 OM 5 所以点C 到平面 POM 的距离为 4 5 5 24【解析】(1)由题设知，平面CMD 平面 ABCD，交线为CD 因为 BC CD，BC 平面 ABCD，所以 BC 平面CMD，故 BC DM 因为 M 为CD 上异于C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM CM 又 BC I CM=C，所以 DM 平面 BMC 而 DM 平面 AMD，故平面 AMD 平面 BMC (2)当 P 为 AM 的中点时，MC 平面 PB
32、D 证明如下：连结 AC 交 BD 于O 因为 ABCD 为矩形，所以O 为 AC 中点 连结OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MC OP MC 平面 PBD，OP 平面 PBD，所以 MC 平面 PBD 25【解析】(1)PA PD，且 E 为 AD 的中点，PE AD 底面 ABCD 为矩形，BCAD，PE BC (2)底面 ABCD 为矩形，AB AD 平面 PAD 平面 ABCD，AB 平面 PAD AB PD 又 PA PD，PD 平面 PAB，平面 PAB 平面 PCD(3)如图，取 PC 中点G，连接 FG,GD 16 P A G F E D C B F,G 分别为 PB 和
33、 PC 的中点，FGBC，且 四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，1 FG BC 2 1 EDBC,DE BC，2 E DFG，且 ED FG，四边形 EFGD 为平行四边形，EFGD 又 EF 平面 PCD，GD 平面 PCD，EF平面 PCD 26【解析】(1)由平面 ABC 平面 ABD，平面 ABC 平面 ABD=AB，AD AB，可 得 AD 平面 ABC，故 AD BC (2)取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND 又因为 M 为棱 AB 的中点，故 MN BC 所 以 DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成的角 A M D N B C 在 Rt DA
34、M 中，AM 1，故 DM AD2 AM 2=13 因为 AD 平面 ABC，故 AD AC 在 Rt DAN 中，AN 1，故 DN AD2 AN2=13 1 MN 13 2 在等腰三角形 DMN 中，MN 1，可得 cos DMN DM 26 17 所以，异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 13 26 (3)连接CM 因为 ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，故CM AB，CM 又因为平面 ABC 平面 ABD，而CM 平面 ABC，3 故CM 平面 ABD 所以，CDM 为直线CD 与平面 ABD 所成的角 在 Rt CAD 中，CD AC2 AD2 4 在 Rt CM
35、D 中，sin CM 3 CDM CD 4 所以，直线CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 3 4 27【证明】(1)在平行六面体 ABCD A B C D 中，AB 1 1 1 1 A B 1 1 因为 AB 平面 A B C，1 1 A B 平面 1 1 A B C，1 1 所以 AB 平面 A B C 1 1 A1 D1 C 1 B1 A D C B(2)在平行六面体 ABCD A B C D 中，四边形 1 1 1 1 ABB A 为平行四边形 1 1 又因为 AA AB，所以四边形 1 ABB A 为菱形，1 1 因此 AB 1 A B 1 又因为 AB 1 B C，BC 1 1
36、B C，1 1 所以 AB BC 1 又因为 A B I BC=B，1 A B 平面 1 A BC，BC 平面 1 A BC，1 所以 AB 平面 1 A BC 1 因为 AB 平面 1 ABB A，1 1 18 所以平面 ABB A 平面 1 1 A BC 1 28【解析】(1)由 AB 2，AA1 4，B B1 2，AA AB，1 BB AB 得 1 AB A B ，1 1 1 2 2 所以 2 2 2 A B AB AA 1 1 1 1 故 AB A B 1 1 1 由 BC 2，BB1 2，CC1 1，BB BC，CC BC 得 1 1 B C ，1 1 5 由 AB BC 2，ABC
37、 120o 得 AC 2 3，由 CC AC，得 1 AC1 13，所以 AB2 B C2 AC2，故 1 1 1 1 AB B C 1 1 1 因此 AB 平面 1 A B C 1 1 1(2)如图，过点C 作 C D A B，交直线 1 1 1 1 A B 于点 D，连结 AD 1 1 A1 B1 C1 D C A B 由 AB 平面 1 A B C 得平面 1 1 1 A B C 平面 1 1 1 ABB，1 C D A B 得C D 平面 由 1 1 1 1 ABB，1 C AD 是 所以 1 AC 与平面 1 ABB 所成的角 1 由 B C ，1 1 5 A1B1 2 2，AC 1
38、 1 21 6 得 cos C A B ，sin 1 1 1 7 1 C A B ，1 1 1 7 19 C D 39 所以 C1D 3，故 1 sin C AD 1 AC 13 1 因此，直线 AC 与平面 1 ABB 所成的角的正弦值是 1 39 13 29【解析】（1）在平面 ABCD 内，因为 BAD ABC 90o，所以 BC AD，又 BC 平面 PAD，AD 平面 PAD，故 BC 平面 PAD （2）取 AD 的中点 M，连结 PM，CM 由 1 AB BC AD 及 BC AD，2 ABC 90o 得四边形 ABCM 正方形，则CM AD P B A C M D N 因为侧面
39、 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD I 平面 ABCD=AD，所以 PM AD，PM 底面 ABCD 因为CM 底面 ABCD，所以 PM CM 设 BC x，则CM x，CD 2x，PM 3x，PC PD 2x 取CD 的中点 N，连结 PN，则 PN CD，所以 14 PN x 2 因为 PCD的面积为 2 7，所以 1 2 14 2 7 x x ，解得 x 2（舍去），x 2 于 2 2 是 AB BC 2，AD 4，PM 2 3 所以四棱锥 P ABCD 的体积 1 2(2 4)2 3 4 3 V 3 2 30【解析】（1）取 AC 的中点O 连结 DO，BO.
40、因为 AD CD，所以 AC DO 又由于 ABC 是正三角形，所以 AC BO.从而 AC 平面 DOB，故 AC BD.20 D E C O B A（2）连结 EO 由（1）及题设知 ADC 90o，所以 DO AO 在 Rt AOB 中，BO2 AO2 AB2 又 AB BD，所以 BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB 90o.由题设知 AEC 为直角三角形，所以 1 EO AC 2 又 ABC 是正三角形，且 AB BD，所以 1 EO BD 2 1 故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的，四面体 2 1 ABC
41、E 的体积为四面体 ABCD 的体积的，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比 2 为 1:1 31【解析】（）如图，由已知 AD/BC，故 DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的 角因为 AD平面 PDC，所 以 ADPD 在 RtPDA 中，由已知，得 AP AD2 PD2 5，AD 5 故 cos DAP AP 5 所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 5 5 21 （）证明：因为 AD平面 PDC，直线 PD 平面 PDC，所以 ADPD又因为 BC/AD，所以 PDBC，又 PDPB，所以 PD平面 PBC（）过点 D 作 AB 的平行线交 BC
42、 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角 因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 由于 AD/BC，DF/AB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BCBF=2又 ADDC，故 BC DC，在 Rt DCF 中，可 得 DF CD2 CF2 2 5,在 Rt DPF 中，可 得 PD 5 sin DFP DF 5 所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 5 32【解析】（）取 B1D1 中点O1,连接CO1，A1O1，A1 D1 B1 O1
43、 A E O B C M D 由于 ABCD A1B1C1D1 为四棱柱,所以 AO OC，1 1 AO OC，1 1 因此四边形 A OCO 为平行四边形,1 1 22 所以 AOO C,1 1 O C 面 又 1 B CD,1 1 AO 平面 B CD,1 1 1 所以 AO平面 1 B CD,1 1（）AC BD E，M 分别为 AD 和OD 的中点，EM BD，又 A E 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，1 所以 A E BD，1 B D BD，所以 1 1 EM B D，1 1 A E B D，1 1 1 又 A E，EM 平面 1 A EM 1,A E I EM E，1 所以
44、 B D 平面 1 1 A1EM,又 B D 平面 1 1 B CD,1 1 所以平面 A EM 平面 1 B CD 1 1 33【解析】（）因为 PA AB，PA BC，所以 PA 平面 ABC，又因为 BD 平面 ABC，所以 PA BD （）因为 AB BC，D 为 AC 中点，所以 BD AC，由（）知，PA BD，所以 BD 平面 PAC 所以平面 BDE 平面 PAC （）因为 PA平面 BDE，平面 PAC I 平面 BDE DE，所以 PADE 因为 D 为 AC 的中点，所以 1 DE PA ，BD DC 2 1 2 23 由（）知，PA 平面 ABC，所以 DE 平面 AB
45、C 所以三棱锥 E BCD 的体积 1 1 1 V S DE BD DC DE DBC 3 6 3 34【解析】（）如图，设 PA 中点为 F，连结 EF，FB P F H Q E A D N B M C 因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EFAD 且 1 EF AD，2 又因为 BCAD，1 BC AD，所以 2 EFBC 且 EF=BC，即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF，因此 CE平面 PAB（）分别取 BC，AD 的中点为 M，N连结 PN 交 EF 于点 Q，连结 MQ 因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点，在平行四边
46、形 BCEF 中，MQCE 由 PAD 为等腰直角三角形得 PNAD 由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD 所以 AD平面 PBN，由 BCAD 得 BC平面 PBN，那么，平面 PBC平面 PBN 过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连结 MH MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角 设 CD=1 24 在 PCD中，由 PC=2，CD=1，PD=得 CE=，1 在PBN 中，由 PN=BN=1，PB=得 QH ，4 在 Rt MQH 中，1 QH ，MQ=，4 所以 2 sin QMH ，8 所以，直线 CE 与平面 PB
47、C 所成角的正弦值是 2 8 35【解析】证明：（1）在平面 ABD 内，因为 AB AD，EF AD，所以 EF AB.又因为 EF 平面 ABC，AB 平面 ABC，所以 EF 平面 ABC.（2）因为平面 ABD 平面 BCD，平面 ABD I 平面 BCD=BD，BC 平面 BCD，BC BD，所以 BC 平面 ABD.因为 AD 平面 ABD，所以 BC AD.又 AB AD，BC I AB B，AB 平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 AD 平面 ABC，又因为 AC 平面 ABC，所以 AD AC 36【解析】（1）由正棱柱的定义，CC 平面 ABCD，1 所以平面 A AC
48、C 平面 ABCD，CC AC 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在 CC 上点 M 处 1 因为 AC 10 7，AM 40 所以 MN 402 (10 7)2 30，从而sin 3 MAC 4 记 AM 与水平的交点为 P，过 1 P 作 1 PQ AC，Q 为垂足，1 1 1 则 PQ 平面 ABCD，故 1 1 PQ ，1 1 12 25 PQ 从而 AP 1 1 1 16 sin MAC 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为 16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)（2）如图，O，O1 是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1 平面 EFGH，所以
49、平面 E1EGG1平面 EFGH，O O1 EG.同理，平面 E1EGG1平面 E1F1G1H1，OO1 E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1 上点 N 处.过G 作GK E1G1，K 为垂足，则GK=OO1=32.因为 EG=14，E1G1=62，62 14 所以 KG1=24，从而 2 2 2 2 GG1 KG1 GK 24 32 40.2 4.设EGG1 ,ENG ,则 sin sin(KGG)cos KGG 1 1 2 5 3 cos .因为，所以 2 5 在ENG 中，由正弦定理可得 40 14 ，解得sin 7 .sin sin 25 因为 0 ，所以 cos 24 .2 25 于
50、是sinNEG sin()sin()sin cos cos sin 4 24 3 7 3 ().5 25 5 25 5 记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2 作 P2Q2 EG，Q 为垂足，则 2 PQ 平面 EFGH，故 2 2 26 PQ=12，从而 2 2 P Q EP=2 2 20.2 sinNEG 答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为 20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)37【解析】（）证明：因 EF/BD，所以 EF 与 BD 确定一个平面，连接 DE，因为 AE EC,E 为 AC 的中点，所以 DE AC；同理可得 BD AC，又因为