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1、 数 学 J 单元 计数原理 J1 基本计数原理 J2 排列、组合 12 J22015广东卷 某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)12 1560 解析 根据题意知写了A240 40 39 1560(条)18 J2、K2、K6、K42015湖南卷 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖每次抽奖都是从装有4 个红球、6 个白球的甲箱和装有5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球在摸出的2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1 次能获奖的概率；
2、(2)若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X 的分布列和数学期望 18 解：(1)记事件A1 从甲箱中摸出的1 个球是红球，A2 从乙箱中摸出的1 个球是红球，B1 顾客抽奖1 次获一等奖，B2 顾客抽奖1 次获二等奖，C 顾客抽奖1次能获奖 由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1 A1A2，B2 A1A2 A1A2，C B1 B2.因为P(A1)41025，P(A2)51012，所以 P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)251215，P(B2)P(A1A2 A1A2)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(A2)
3、P(A1)P(A2)P(A1)(1 P(A2)(1 P(A1)P(A2)25 112 1251212.故所求概率P(C)P(B1 B2)P(B1)P(B2)1512710.(2)顾客抽奖3 次可视为3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1 次获一等奖的概率为15，所以X B3，15.于是P(X 0)C0315045364125，P(X 1)C1315145248125，P(X 2)C2315245112125，P(X 3)C331534501125.故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 X 的数学期望为E(X)31535.6 J22015四
4、川卷 用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40 000 大的偶数共有()A 144 个 B 120 个 C 96 个 D 72 个 6 B 解析 由题意知，万位上排 4 时，有 2 A34个大于 40 000 的偶数，万位上排 5时，有 3 A34个，故共有 5 A34120(个)22 J2、J3、K2(1)已知n 为正整数，在(1 x)2n与(1 2x3)n展开式中x3项的系数相同，求 n 的值(2)设袋中共有7 个球，其中4 个红球，3 个白球从袋中随机取出3 个球，求取出的白球比红球多的概率 解：(1)(1 x)2n中 x3项的系数为C32n，(1 2x3)n中
5、 x3项的系数为2n.由 C32n 2n，得2n（2n 1）（2n 2）3 2 1 2n，解得n 2.(2)从袋中取出3 个球，总的取法有C37 35(种)；其中白球比红球多的取法有C33 C23 C14 13(种)因此取出的白球比红球多的概率为1335.J3 二项式定理 11 J32015安徽卷 x31x7的展开式中x5的系数是_(用数字填写答案)11 35 解析 Tr1 Cr7(x3)7r1xr Cr7 x214r，令21 4r 5，得r 4，因此x5的系数为 C47 35.9 J32015广东卷 在(x 1)4的展开式中，x 的系数为_ 9 6 解析()x 14展开式的通项Tr1 Cr4
6、(x)4r(1)r(0 r 4)，令4 r 2，得r 2，所以x 的系数是C24 6.3 J32015湖北卷 已知(1 x)n的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A 212 B 211 C 210 D 29 3 D 解析 因为展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，所以C3n C7n，解得n 10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n1 29.故选D.15 J32015全国卷(a x)(1 x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则 a _.15 3 解析(a x)(1 x)4的展开式中x 的奇数次幂项一部分来自第一个因式
7、取a，第二个因式取C14x 及C34x3；另一部分来自第一个因式取x，第二个因式取C04x0，C24x2及C44x4.所以系数之和为aC14 aC34 C04 C24 C44 8a 8 32，所以a 3.10 J32015全国卷(x2 x y)5的展开式中，x5y2的系数为()A 10 B 20 C 30 D 60 10 C 解析(x2 x)y5的通项Tr1 Cr5(x2 x)ry5r，由题意取r 3，得 T4 C35(x2 x)3y2 C35(x 1)3x3y2，记(x 1)3的通项Tr1 Cr3xr，由题意得r 2，所以x5y2的系数为C35 C23 30.9 J32015北京卷 在(2
8、x)5的展开式中，x3的系数为_(用数字作答)9 40 解析 展开式的通项Tr1 Cr525rxr，令r 3，得C35253 40.11 J32015福建卷(x 2)5的展开式中，x2的系数等于_(用数字作答)11 80 解析(x 2)5的展开式的通项为Tr1 Cr5x5r 2r(0 r 5，且r N)，令5 r 2，得r 3，所以x2的系数为C35 23 80.J4 单元综合 6 2015绵阳二诊 某人从W，X，Y，Z中选2 个不同的字母，从0，2，6，8中选3 个不同的数字编拟车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2 不能排在首位，字母Z 和数字2 不能相邻，那么满足要求的车牌号有
9、()A 198 个 B 180 个 C 216 个 D 234 个 6 A 解析 不选2 时，有 A33A24 72(种)选法；选 2，不选Z 时，有 C12C23A22A23 72(种)选法；选2 和 Z 时，若2 在数字的中间，有A23C12C13 36(种)选法，若2 在数字的第三位，有A23A13 18(种)选法根据分类计数原理，共有72 72 36 18 198(种)选法，故选A.42015衡水中学月考 若(x2 2)1x2 mx5的展开式中x2的系数是250,则实数m 的值为 ()A5 B 5 C5 D.5 4 C 解析 1x2 mx5的展开式的通项为Cr5x2(5r)(mx)r
10、Cr5(m)rx3r10，由3r10 2 得 r 4，系数为C45(m)4 5m4，所以2 5m4 250，得m 5.12 2015浙江重点中学协作体一模 设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5 次之内跳到D 点，则停止跳动；若5 次之内不能到达D 点，则跳完5 次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有_种 12 26 解析 青蛙不能跳1 次、2 次或4 次到达D 点，故青蛙的跳法只有下列两种：(1)青蛙跳3 次到达D 点，有ABCD，AFED 两种跳法；(2)青蛙一共跳5 次后停止，那么，前3 次的跳法一定不到达D，
11、只能到达B 或 F，则共有AFEF，ABAF，AFAF，ABCB，ABAB，AFAB 这 6 种跳法，随后两次跳法各有四种，比如由F 出发的有FEF，FED，FAF，FAB 共四种，因此共有6 4 24(种)跳法，故共有24 2 26(种)跳法 6 2015浙江重点中学协作体一模 将二项式x124xn的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x 的指数是整数的项共有()A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 6 A 解析 展开式的通项为Tr1 Crn12rx2n 3r4(r 0，1，2，n)，前三项的系数分别是1，n2，n（n 1）8.前三项的系数成等差数列，2n2 1n（n 1）8，n 8.当 n 8 时，Tr1 Cr812rx16 3r4(r 0，1，2，8)，故展开式中x 的指数是整数的项共有3 个