《2011年高考湖南卷文科数学试题及答案2246.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考湖南卷文科数学试题及答案2246.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、3 3 2 正视图 侧视图 俯视图 图 1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（湖南卷）参考公式（1）柱体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高 （2）球的体积公式343VR，其中R为球的半径 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集 U=MN=1,2,3,4,5,MCuN=2,4,则 N=A1,2,3 B 1,3,5 C 1,4,5 D 2,3,4 2若,a bR，i为虚数单位，且()ai ibi则 A1a，1b B1,1ab C1,1ab D1,1ab 3“1x”是“1x”的 A充分不必要条
2、件 B必要不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分又不必要条件 4设图 1 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A942 B3618 C9122 D9182 5通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由22()()()()()n adbcKad cdac bd 算得，22110(40302020)7.860506050K 附表：2()p Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是 A有 99%以上的
3、把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”6设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320 xy，则 a 的值为 A4 B3 C2 D1 7曲线sin1sincos2xyxx在点 M（4，0）处的切线的斜路为 A 12 B 12 C 22 D 22 8已知函数2()1,()43xf xeg xxx，若有()()f ag b，则 b 的取值范围为 A 22,22 B 22,22 C 1,3 D 1,3 二
4、、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在 9、10 两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）9在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为2cos,3sinxy（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C2的方程为cossin10，则 C1与 C2的交点个数为 10已知某试验范围为10，90，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以是 （二）必做题（1116 题）11若执行如图 2 所示的框图，输入1
5、1x，2342,4,8xxx则输出的数等于 12已知 f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则 f（2）=_ 13设向量 a，b 满足|a|=25，b=（2，1），且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_ 14设1,m 在约束条件1yxymxxy下，目标函数5zxy的最大值为 4，则m的值为 15已知圆22:12,C xy直线:4325.lxy （1）圆C的圆心到直线l的距离为 （2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于 2 的概率为 16给定*kN，设函数*:fNN满足：对于任意大于k的正整数n，()f nnk （1）设1k，则其中一个函数f在1n 处的函数值为 ；（
6、2）设4k，且当4n 时，2()3f n，则不同的函数f的个数为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 c sinA=acosC （I）求角 C 的大小；（II）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角 A、B 的大小.18（本小题满分 12 分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量 X（单位：毫米）有关，据统计，当 X=70 时，Y=460；X 每增加 10，Y 增加 5已
7、知近 20 年 X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.（）完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 420 220 （）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率 19（本小题满分 12 分）如图 3，在圆锥PO中，已知2,POO的直径2,ABCABDAC
8、点 在上,且 CAB=30为 的中点 （）证明：AC 平面POD;（）求直线 OC和平面PAC所成角的正弦值.20（本小题满分 13 分）某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第 2 年到第 6 年，每年初M的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初M的价值为上年初的 75%（）求第n年初M的价值na的表达式；（）设12.nnaaaAn，若nA大于 80 万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第 9 年初对M更新 21（本小题满分 13 分）已知平面内一动点P到点(1,0)F的距离与点P到y轴的距离的差等于 1
9、（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l，设1l与轨迹C相交于点,A B，2l与轨迹C相交于点,D E，求,AD EB 的最小值.22（本小题满分 13 分）设函数1()ln()f xxax aRx.（）讨论函数()f x的单调性.（）若()f x有两个极值点12,x x，记过点11(,(),A xf x22(,()B xf x的直线斜率为k.问：是否存在a，使得2ka？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学试题卷（文史类）参考答案 一、选择题(共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分)1、(
10、2011湖南)设全集 U=MN=1，2，3，4，5，MCuN=2，4，则 N=()A、1，2，3 B、1，3，5 C、1，4，5 D、2，3，4 考点：交、并、补集的混合运算。分析：利用集合间的故选，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合 N 解答：解：全集 U=MN=1，2，3，4，5，MCuN=2，4，集合 M，N 对应的韦恩图为 所以 N=1，3，5 故选 B 点评：本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具考查数形结合的数学思想方法 2、(2011湖南)若 a，bR，i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i 则()A、a=1，b=1 B、a=1，b=1 C、a=1，b=1 D、
11、a=1，b=1 考点：复数相等的充要条件。专题：计算题。分析：根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到 a，b 的值 解答：解：(a+i)i=b+i，ai1=b+i，a=1，b=1，故选 C 点评：本题考查复数的乘法运算，考查复数相等的条件，是一个基础题，这种题目一般出现在试卷的前几个题目中 3、(2011湖南)“x1”是“|x|1”的()A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件 考点：充要条件。分析：解绝对值不等式，进而判断“x1”“|x|1”与“|x|1”“x1”的真假，再根据充要条
12、件的定义即可得到答案 解答：解：当“x1”时，“|x|1”成立 即“x1”“|x|1”为真命题 而当“|x|1”时，x1 或 x1，即“x1”不一定成立 即“|x|1”“x1”为假命题“x1”是“|x|1”的充分不必要条件 故选 A 点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“x1”“|x|1”与“|x|1”“x1”的真假，是解答本题的关键 4、(2011湖南)设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A、9+42 B、36+18 C、9122 D、9182 考点：由三视图求面积、体积。专题：计算题。分析：由三视图可知，下面是一个底面边长是 3 的正方形且高是 2 的一
13、个四棱柱，上面是一个球，球的直径是 3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加 解答：解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是 3 的正方形且高是 2 的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是 3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积 332=18，球的体积是3439()322，几何体的体积是 18+92，故选 D 点评：本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题 5、(2011湖南)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女
14、总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由22()()()()()n ad bckad cdac bd算得，22110(40 30 2020)7.860 50 60 50k 附表：p(k2k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是()A、有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B、有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C、在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D、在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别五关”考
15、点：独立性检验的应用。专题：计算题。分析：根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”解答：解：由题意知本题所给的观测值，22110(40 30 2020)7.860 50 60 50k 7.86.635，这个结论有 0.01=1%的机会说错，即有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选 A 点评：本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题 6、(2011湖南)设双曲线2221
16、(0)9xyaa的渐近线方程为 3x2y=0，则 a 的值为()A、4 B、3 C、2 D、1 考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：先求出双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程，再求 a 的值 解答：解：2221(0)9xyaa的渐近线为 y=3xa，y=3xa与 3x2y=0 重合，a=2 故选 C 点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用 7、(2011湖南)曲线sin1sincos2xyxx在点 M(4，0)处的切线的斜率为()A、12 B、12 C、22 D、22 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：计算题。分析：先求出导函数，然后根据导数的几何
17、意义求出函数 f(x)在 x=4处的导数，从而求出切线的斜率 解答：解：sin1sincos2xyxx y=2cos(sincos)(cossin)sin(sincos)xxxxxxxx=21(sincos)xx y|x=4=21(sincos)xx|x=4=12 故选 B 点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题 8、(2011湖南)已知函数 f(x)=ex1，g(x)=x2+4x3，若有 f(a)=g(b)，则 b 的取值范围为()A、22 22，B、(22，2+2 C、1，3 D、(1，3)考点：函数的零点与方程根的关系。专题：计算题。分析：利用
18、 f(a)=g(b)，整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可 解答：解：f(a)=g(b)，ea1=b2+4b3 b2+4b2=ea0 即 b24b+20，求得 22b2+2 故选 B 点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系 二、填空题(共 8 小题，每小题 5 分，满分 35 分)9、(2011湖南)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为23xcosysin(为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，曲线 C2的方程为 p(cos sin)+1=0，则 C1与 C2的交点个数为 2 考点：简单曲线的极
19、坐标方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程。专题：计算题。分析：先根据同角三角函数的关系消去参数 可求出曲线 C1的普通方程，然后利用极坐标公式2=x2+y2，x=cos，y=sin 进行化简即可求出曲线 C2普通方程，最后利用直角坐标方程判断 C1与 C2的交点个数即可 解答：解：由曲线 C2的方程为 p(cos sin)+1=0，xy+1=0即 y=x+1；将曲线 C1的参数方程化为普通方程为22143xy 消去 y 整理得：7x2+8x8=0 0，此方程有两个不同的实根，故 C1与 C2的交点个数为 2 故答案为 2 点评：本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程，求直线与椭圆的交
20、点个数，考查运算求解能力及转化的思想，属于基础题 10、(2011湖南)【选做】已知某试验范围为10，90，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以是 40 或 60(只写出其中一个也正确)考点：分数法的最优性。分析：由题知试验范围为10，90，区间长度为 80，故可把该区间等分成 8 段，利用分数法选取试点进行计算 解答：解：由已知试验范围为10，90，可得区间长度为 80，将其等分 8 段，利用分数法选取试点：x1=10+58(9010)=60，x2=10+9060=40，由对称性可知，第二次试点可以是 40 或 60 故答案为：40 或 60 点评：本题考查的是分数法的简单应用一
21、般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn1)(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn1)，而小于(Fn+11)11、(2011湖南)若执行如图所示的框图，输入 x1=1，x2=2，x3=4，x4=8 则输出的数等于154 考点：循环结构。专题：计算题；阅读型。分析：先根据流程图分析出该算法的功能，然后求出所求即可 解答：解：该算法的功能是求出四个数的平均数 故输出的数=12484=154 故答案为：154 点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学
22、模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模 12、(2011湖南)已知 f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9，g(2)=3，则 f(2)=6 考点：函数奇偶性的性质。专题：计算题。分析：将等式中的 x 用 2 代替；利用奇函数的定义及 g(2)=3，求出 f(2)的值 解答：解：g(2)=f(2)+9 f(x)为奇函数 f(2)=f(2)g(2)=f(2)+9 g(2)=3 所以 f(2)=6 故答案为 6 点评：本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意 x 都有 f(x)=f(x)13、(2011湖南)设向量a，b满足|a|=25，b=(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为
23、(4，2)考点：平面向量共线(平行)的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。专题：计算题。分析：要求向量a的坐标，我们可以高设出向量a的坐标，然后根据a与b的方向相反，及|a|=25，我们构造方程，解方程得到向量a的坐标 解答：解：设a=(x，y)a与b的方向相反，故a=b=(2，)(0)又|a|=25，则 x2+y2=20 52=20 解得=2 则设a=(4，2)故答案为(4，2)点评：本题考察的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示，平面向量模的计算，其中根据a与b的方向相反，给出向量a的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键 14、(2011湖南)设 m1，在约束条件1yxym
24、xxy下，目标函数 z=x+5y 的最大值为 4，则 m的值为 3 考点：简单线性规划的应用。专题：计算题；数形结合。分析：根据 m1，我们可以判断直线 y=mx 的倾斜角位于区间(4，2)上，由此我们不难判断出满足约束条件1yxymxxy的平面区域的形状，再根据目标函数 Z=X+5y 在直线 y=mx与直线 x+y=1 交点处取得最大值，由此构造出关于 m 的方程，解方程即可求出 m 的取值范围 解答：解：满足约束条件1yxymxxy的平面区域如下图所示：当 x=11m，y=1mm时，目标函数 z=x+5y 取最大值为 4，即1541mm；解得 m=3 故答案为 3 点评：本题考查的知识点是
25、简单线性规划的应用，其中判断出目标函数 Z=X+my 在1()11mmm，点取得最大值，并由此构造出关于 m 的方程是解答本题的关键 15、(2011湖南)已知圆 C：x2+y2=12，直线 l：4x+3y=25(1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 5；(2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为16 考点：点到直线的距离公式；几何概型；直线与圆的位置关系。专题：计算题。分析：(1)根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离(2)本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根
26、据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是 60，根据几何概型概率公式得到结果 解答：解：(1)由题意知圆 x2+y2=12 的圆心是(0，0)，圆心到直线的距离是 d=222534=5，(2)由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线 l 的距离小于 2，过圆心做一条直线交直线 l 与一点，根据上一问可知圆心到直线的距离是 5，在这条垂直于直线 l 的半径上找到圆心的距离为 3 的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是 60 根据几何概型的概率公式得到 P=6036
27、0=16 故答案为：5；16 点评：本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大 16、(2011湖南)给定 kN*，设函数 f：N*N*满足：对于任意大于 k 的正整数 n：f(n)=nk(1)设 k=1，则其中一个函数 f(x)在 n=1 处的函数值为 a(a 为正整数)；(2)设 k=4，且当 n4 时，2f(n)3，则不同的函数 f 的个数为 16 考点：函数的概念及其构成要素；分步乘法计数原理。专题：计算题；探究型。分析：题中隐含了对于小于或等于 K 的正整数 n，其函数值也应该是一个正整数，但是对应法则由题意而定(1)n=k=
28、1，题中给出的条件“大于 k 的正整数 n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f(1)的值是一个常数(正整数)；(2)k=4，且 n4，与条件“大于 k 的正整数 n”不适合，故 f(n)的值在 2、3 中任选其一，再由乘法原理可得不同函数的个数 解答：解：(1)n=1，k=1 且 f(1)为正整数 f(1)=a(a 为正整数)即 f(x)在 n=1 处的函数值为 a(a 为正整数)(2)n4，k=4f(n)为正整数且 2f(n)3 f(1)=2 或 3 且 f(2)=2 或 3 且 f(3)=2 或 3 且 f(4)=2 或 3 根据分步计数原理，可得共 24=16 个不同的函数 故答案为
29、(1)a(a 为正整数)(2)16 点评：本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的概念是本题的难点 三、解答题(共 6 小题，满分 75 分)17、(2011湖南)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csinA=acosC (1)求角 C 的大小；(2)求3sinAcos(B+4)的最大值，并求取得最大值时角 A、B 的大小 考点：三角函数的恒等变换及化简求值。专题：计算题。分析：(1)利用正弦定理化简 csinA=acosC求出 tanC=1，得到 C=4(2)B=34A，化简3sinAcos(B+4)=2sin(A+6)因为 0
30、A34，推出116612A 求出 2sin(A+6)取得最大值 2得到 A=3，B=512 解答：解：(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC，因为 0A，所以 sinA0从而 sinC=cosC，又 cosC0，所以 tanC=1，C=4(2)有(1)知，B=34A，于是3sincos()3sincos()4ABAA=3sinA+cosA=2sin(A+6)因为 0A34，所以116612A 从而当 A+62，即 A=3时 2sin(A+6)取得最大值 2 综上所述，3sinA cos(B+4)的最大值为 2，此时 A=3，B=512 点评：本题是中档题，考查三角形的有关知识，
31、正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型 18、(2011湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位：毫米)有关，据统计，当 X=70 时，Y=460；X 每增加 10，Y 增加 5已知近 20 年 X 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160()完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 420 220()假定今年六月份的降
32、雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率 考点：频率分布表；互斥事件的概率加法公式。专题：应用题；综合题。分析：(I)从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频率分布图 (II)将发电量转化为降雨量，利用频率分布表，求出发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率 解答：解：(I)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200毫米的有 3 个，故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 (II)P(“发电量
33、低于 490 万千瓦时“)=P(Y490 或 Y530)=P(X130 或210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=132320202010 故今年六月份该水利发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为：310 点评：本题考查频率公式：频率=频数样本容量；考查将问题等价转化的能力 19、(2011湖南)如图，在圆锥 PO 中，已知 PO=2，OD 的直径 AB=2，点 C 在AB上，且CAB=30，D 为 AC 的中点()证明：AC平面 POD；()求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值 考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法。
34、专题：计算题；证明题。分析：(I)由已知易得 ACOD，ACPO，根据直线与平面垂直的判定定理可证(II)由(I)可证面 POD平面 PAC，由平面垂直的性质考虑在平面 POD 中过 O 作 OHPD 于H，则 OH平面 PAC，OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角，在 RtOHC 中，求解即可 解答：解(I)因为 OA=OC，D 是 AC 的中点，所以 ACOD 又 PO底面O，AC底面O 所以 ACPO，而 OD，PO 是平面内的两条相交直线 所以 AC平面 POD(II)由(I)知，AC平面 POD，又 AC平面 PAC 所以平面 POD平面 PAC 在平面 POD 中，过 O
35、 作 OHPD 于 H，则 OH平面 PAC 连接 CH，则 CH 是 OC 在平面上的射影，所以OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角 在 RtODA 中，OD=OAsin30=12 在 RtPOD 中，OH=2212223124PO ODPOOD 在 RtOHC 中，2sin3OHOCHOC 故直线 OC 和平面 PAC 所成的角的正弦值为23 点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力 20、(2011湖南)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少 从第 2
36、 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75%()求第 n 年初 M 的价值 an的表达式；()设12aaanAnn，若An 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对M 更新证明：须在第 9 年初对 M 更新 考点：分段函数的应用；数列与函数的综合。专题：综合题。分析：(I)通过对 n 的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第 n 年初 M 的价值 an的表达式；(II)利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求出 An，判断出其两段的单调性，求出两段的最
37、小值，与 80 比较，判断出须在第 9 年初对 M 更新 解答：解：(I)当 n6 时，数列an是首项为 120，公差为10 的等差数列 an=12010(n1)=13010n 当 n6 时，数列an是以 a6为首项，公比为34的等比数列，又 a6=70 所以6370()4nna 因此，第 n 年初，M 的价值 an的表达式为6130 10(6)370()(7)4nnn nan(II)设 Sn表示数列an的前 n 项和，由等差、等比数列的求和公式得 当 1n6 时，Sn=120n5n(n1)，An=1205(n1)=1255n 当 n7 时，由于 S6=570 故 Sn=S6+(a7+a8+a
38、n)=6357070 4 1()4n=663780 210()34780 210()4nnnAn 因为an是递减数列，所以An是递减数列，又283780 210()474828064A 393780 210()7947680996A 所以须在第 9 年初对 M 更新 点评：本题考查等差数列的通项公式，前 n 项和公式、考查等比数列的通项公式及前 n 项和公式、考查分段函数的问题要分到研究 21、(2011湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1，0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1()求动点 P 的轨迹 C 的方程；()过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设 l1
39、与轨迹 C 相交于点 A，B，l2与轨迹 C 相交于点 D，E，求AD EB ，的最小值 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；抛物线的定义。专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想；方程思想。分析：()设动点 P 的坐标为(x，y)，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点 P 的轨迹 C 的方程；()设出直线 l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去 y，得到关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线 l2的方程与抛物线的交点坐标，代入AD EB 利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值 解答：解：()设动
40、点 P 的坐标为(x，y)，由题意得22(1)1xyx，化简得 y2=2x+2|x|当 x0 时，y2=4x；当 x0 时，y=0，所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4(x0)和 y=0(x0)()由题意知，直线 l1的斜率存在且不为零，设为 k，则 l1的的方程为 y=k(x1)由2(1)4yk xyx，得 k2x2(2k2+4)x+k2=0 设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1+x2=2+24k，x1x2=1 l1l2，直线 l2的斜率为1k 设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得 x3+x4=2+4k2，x3x4=1 故AD EB =()(
41、)AFFDEFFB=AFEFAFFBFD EFFD FB =AF FBFD EF =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+x3+x4+1 1+2+24k+1+1+2+4k2+1=8+4(k2+21k)8+42=16，当且仅当 k2=21k，即 k=1 时，AD EB 的最小值为 16 点评：此题是个难题考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力 22、(2011湖南)设函数1()()f xxaInx aRx ()讨论函数 f(x)的单调性()若 f(x)有两个极值点
42、x1，x2，记过点 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线斜率为 k问：是否存在 a，使得 k=2a？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件。专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论。分析：()求导，令导数等于零，解方程，跟据 f(x)f(x)随 x 的变化情况即可求出函数的单调区间；()假设存在 a，使得 k=2a，根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为 k，根据(I)函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题 解答：解：(I)f(x)定义域为(0，+)，f(x)=1+22211axaxxxx，令 g(x)=x2ax+1，=a2
43、4，当2a2 时，0，f(x)0，故 f(x)在(0，+)上单调递增，当 a2 时，0，g(x)=0 的两根都小于零，在(0，+)上，f(x)0，故 f(x)在(0，+)上单调递增，当 a2 时，0，g(x)=0 的两根为 x1=242aa，x2=242aa，当 0 xx1时，f(x)0；当 x1xx2时，f(x)0；当 xx2时，f(x)0；故 f(x)分别在(0，x1)，(x2，+)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减()由(I)知，a2 因为 f(x1)f(x2)=(x1x2)+1212xxx xa(lnx1lnx2)，所以 k=1212()()f xf xx x=1+121x xa1
44、212lnlnxxxx，又由(I)知，x1x2=1于是 k=2a1212lnlnxxxx，若存在 a，使得 k=2a，则1212lnlnxxxx=1，即 lnx1lnx2=x1x2，亦即222212ln0(1)xxxx(*)再由(I)知，函数1()2h ttIntt 在(0，+)上单调递增，而 x21，所以22212xInxx 112ln1=0，这与(*)式矛盾，故不存在 a，使得 k=2a 点评：此题是个难题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程 f(x)=0 有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题(II)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力