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1、 1 2013 中考数学压轴题正方形问题精选解析(一)例 1 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）当点P从O向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）图 1 图 2 解析（1）因为PC/DB，所以1CPPMMCBDDMMB因此PMDM，CPBD 2m所以AD 4m于是
2、得到点D的坐标为(2，4m)（2）在APD中，22(4)ADm，224APm，222(2)44(2)PDPMm 当APAD时，2(4)m24m解得32m（如图3）当PAPD时，24m 244(2)m 解得43m（如图4）或4m（不合题意，舍去）当DADP时，2(4)m244(2)m解得23m（如图5）或2m（不合题意，舍去）综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23 图 3 图 4 图 5（3）点H所经过的路径长为54 考点伸展 第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图3，当APAD时，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以12PCMBCMBA因此
3、12PC，32m 如图4，当PAPD时，P在AD的垂直平分线上所以DA 2PO因此42mm解 2 得43m 第（2）题的思路是这样的：如图6，在RtOHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，COH 45，CGH 90 图 6 图 7 例 2 如图1，已知一次函数yx 7 与正比例函数43yx 的图象交于点A，且与x轴交于点B （1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴 动点P从点O出发，以每秒1 个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发
4、，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q 当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒 当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 图 1 解析（1）解方程组7,4,3yxyx 得3,4.xy 所以点A的坐标是(3，4)令70yx ，得7x 所以点B的坐标是(7，0)（2）如图2，当P在OC上运动时，0t 4由8APRACPPORCORASSSS梯形，得1113+7)44(4)(7)8222tttt（整理，得28120tt
5、 解得t 2 或t 6（舍去）如图3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6 因此，当t 2 时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8 图 2 图 3 图 4 3 我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t 4 如图1，在AOB中，B 45，AOB 45，OB 7，4 2AB，所以OBAB因此OABAOBB 如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴 因此AQP 45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的 情况 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR 2CA 6所以BR 1，t 1 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t 7 在APQ中，3cos5A为定值，7APt，5520333AQOAOQOAORt 如图5，当APAQ时，解方程520733tt，得418t 如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP 2(OROP)解方程72(7)(4)ttt，得5t 如7，当PAPQ时，那 么12cosAQAAP 因 此2c o sA QA PA 解 方 程52032(7)335tt，得22643t 综上所述，t 1 或418或 5 或22643时，APQ是等腰三角形 图 5 图 6 图 7 考点伸展 当P在CA上，QPQA时，也可以用2cosAPAQA来求解