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1、学习好资料欢迎下载2013 中考数学压轴题正方形问题精选解析(二) 例 3 如图，在边长为6 的正方形ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形 DMNK ，恰好使得N、A、F 三点在一直线上，连接MF 交线段 AD 于点 P，连接 NP，设正方形BEFG 的边长为 x，正方形DMNK 的边长为y（1）求y关于 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）当 NPF 的面积为32 时，求 x 的值；（3）以 P 为圆心， AP 为半径的圆能否与以G 为圆心， GF 为半径的圆相切？如果能，请求出 x 的值， 如果不能， 请说明理由解析 ： （1）正方形BEFG、正方形 DMNK 、正方形AB
2、CD EF90O，AEMC，MCNKAENK， KNA EAF KNA EAF，NKEAKAEF，即yx6y6xyx6（0 x6）（2）由（ 1）知 NKAE， ANAF正方形 DMNK ， APNM，FPPMAFAN1FPPM， SMNPSNPF32S正方形DMNK2SMNP64 y8， x2（3）连接 PG，延长 FG 交 AD 于点 H，则 GHAD易知： APy2，AHx，PHy2x， HG6；PGAPGFy2x当两圆外切时在 RtGHP 中， PH2HG2PG2，即(y2x)262(y2x)2解得： x333（舍去）或x333 当两圆内切时在 RtGHP 中， PH2HG2PG2，即
3、(y2x)262(y2x)2方程无解所以，当x333 时，两圆相切例 4 已知：正方形ABCD 的边长为1，射线 AE 与射线 BC 交于点 E，射线 AF 与射线CD交于点 F， EAF45 ，连接 EF（1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段EF、 BE、DF 有怎样的数量关系？并证明 你的猜想；（2）设 BEx，DFy，当点 E 在线段 BC 上运动时（不包括点B、C） ，求y关于 x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点B） ，点 F 在射线 CD 上运动试判断以E 为圆心，以 BE 为半径的 E 和以 F 为圆心，以FD
4、 为半径的 F 之间的位置关系；N K G C E D F A B P M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习好资料欢迎下载（4）如图 2，当点 E 在 BC 的延长线上时，设AE 与 CD 交于点 G问： EGF 与 EFA 能否相似？若能相似，求出BE 的长，若不可能相似，请说明理由解析：（1）猜想： EFBEDF证明：将 ADF 绕点 A 顺时针旋转90 ，得 ABF，易知点F、B、E 在同一直线上（如.图 1）AFAFF AE13 239045 45 EAF又 AEAE， AFE AFEEFFEBEBFB
5、EDF（2）在 RtEFC 中， EC2FC2EF2EC1x，FC1y，EFxy( 1x)2( 1y)2( xy)2y1x1x（0 x1）（3）当点E 在点 B、C 之间时，由（1）知 EFBEDF ，故此时 E 与 F 外切；当点 E 在点 C 时， DF0， F 不存在 . 当点 E 在 BC 延长线上时，将ADF 绕点 A 顺时针旋转90 ，得 ABF（如图 2）则 AF AF， 12，BF DF， F AF90 FAEEAF 45又 AEAE， AF E AFEEFEFBEBFBEDF此时 E 与 F 内切综上所述，当点E 在线段 BC 上时， E 与 F 外切；当点E 在 BC 延长
6、线上时，E 与 F内切（4） EGF 与 EFA 能够相似，只要当EFGEAF45 即可此时 CECF 设 BEx，DFy，由（ 3）知 EFxy在 RtCFE 中， CE2CF2EF2( x1)2( 1y)2( xy)2yx1x1（x 1）由 CECF，得 x1 1y，即 x11x1x1化简得 x22x10，解得 x112（舍去），x212 A B D C E F 图 1 A B D C E F G 图 2 A B D C E F G 图 2 F1 2 A B D C E F 图 1 F1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
7、页，共 5 页学习好资料欢迎下载 EGF 与 EFA 能够相似，此时BE 的长为 12 例 5 已知：如图，在直角梯形ABCD 中， ADBC， B90 ，AD2，BC6，AB3E为 BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG，使正方形BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求 BE 的长；（2） 将 （1） 问中的正方形BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形BEFG，当点 E 与点 C 重合时停止平移 设平移的距离为t， 正方形 BEFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 BD，BM，DM 是否存在这样的
8、t，使 BDM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（ 2）问的平移过程中，设正方形BEFG 与 ADC 重叠部分的面积为S，请直接写出 S与 t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围解析： （1）如图，设正方形BEFG 的边长为x则 BEFGBG xAB3，BC6， AGABBG3xGFBE， AGF ABCAGABGFBC，即3x3x6解得 x 2，即 BE2 （2）存在满足条件的t，理由如下：如图，过D 作 DH BC 于点 H则 BHAD2，DH AB3 由题意得： BB HE t，HB| t2| ，EC4t在 RtBME 中， BM2B E2ME22
9、2( 212t)214t22t8EFAB， MEC ABCMEABECBC，即ME34t6， ME212t在 RtDHB中， BD2DH2BH232( t2)2t24t13 过 M 作 MNDH 于点 N则 MN HEt，NHME212tDNDHNH 3( 212t) 12t1 B A C D B A C D 备用图B A C D 图E F G B A C D 图E F G H BM N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习好资料欢迎下载在 RtDMN 中， DM2 DN2MN254t2t1 （）若 DBM90 ，
10、则 DM2 BM2BD2即54t2t1(14t22t8)( t24t13) ，解得 t207（）若 BMD90 ，则 BD2 BM2DM2即 t24t13(14t22t8)(54t2t1) ，解得 t1317，t2317 0t4， t317 （）若 BDM 90 ，则 BM2BD2DM2即14t22t8( t24t13 )(54t2t1) ，此方程无解综上所述，当t207或317时， B DM 是直角三角形（3）当 0t 43时， S14t2当43t2 时， S18t2t23当 2t103时， S38t22t53当103t4 时， S12t52提示：当点 F 落在 CD 上时，如图FE2，EC
11、4t，DH3，HC4 由 FEC DHC ，得FEECDHHC即24t34， t43当点 G 落在 AC 上时，点G 也在 DH 上（即 DH 与 AC 的交点）t2当点 G 落在 CD 上时，如图GB2，B C6t由 GBC DHC ，得G BBCDHHC即26t34， t103当点 E 与点 C 重合时， t 4 当 0 t43时，如图MF t，FN12tSSFMN12t12t14t2B A C D 图E F G BM N B A C D 图E F G BM N P Q B A C D 图E F G BH B A C D 图E F G BH 精选学习资料 - - - - - - - - -
12、 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习好资料欢迎下载当43t 2时，如图PFt43， FQ34PF34t1 SFPQ12( t43)(34t1) 38t2t23SSFMNSFPQ14t2(38t2t23) 18t2t23当 2 t103时，如图BM12BC12( 6t) 312tGM2( 312t) 12t1 S梯形GMNF12(12t112t)2t1 SS梯形GMNFSFPQ ( t1)(38t2t23)38t22t53当103t 4 时，如图PB34BC34( 6t) 9234tGP2(9234t) 34t52S梯形GPQF12(34t5234t1)232t72SS梯形GMNFS梯形GPQF( t1)(32t72) 12t52B A C D 图E F G BP Q M N B A C D 图E F G BP Q N M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页