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1、课时跟踪检测（十七）双曲线及其标准方程 一、基本能力达标 1 双曲线x225y2241 上的点P到一个焦点的距离为 11，则它到另一个焦点的距离为()A1 或 21 B14 或 36 C2 D21 解析：选 D 设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|11，根据双曲线的定义知|PF1|PF2|2a10，所以|PF2|1 或|PF2|21，而 1ca752，故舍去|PF2|1，所以点P到另一个焦点的距离为 21，故选 D.2已知双曲线过点P12，3 52和P24 73，4，则双曲线的标准方程为()A.x29y2161 B.y29x2161 C.x216y291 D.y216x291
2、解析：选 B 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)因为P12，3 52，P24 73，4 两点在双曲线上，所以 4m454n1，1129m16n1，解得 m116，n19，于是所求双曲线的标准方程为y29x2161.3k2 是方程x24ky2k21 表示双曲线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析：选 A k2方程x24ky2k21 表示双曲线，而方程x24ky2k21 表示双曲线(4k)(k2)0k4/k2.4设F1，F2是双曲线x23y21 的两个焦点，点P在双曲线上，当F1PF2的面积为 2 时，PF1 PF
3、2 的值为()A2 B3 C4 D6 解析：选 B 设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|2 314，SPF1F212|F1F2|y0|2，|y0|1.又x203y201，x203(y201)6.PF1 PF2(2x0，y0)(2x0，y0)x20y2043.5在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24y2121 上一点M的横坐标为 3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_ 解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为 4.答案：4 6已知双曲线C：x2a2y2b21 的焦距为 10，点P(2,1)在直线ybax上，则C
4、的方程为_ 解析：点P(2,1)在直线ybax上，则 12ba，a2b.双曲线的焦距为 10，则有a2b252，将代入上式可得b25，从而a220，故双曲线C的方程为x220y251.答案：x220y251 7已知双曲线C1：x2y241.求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，3)的双曲线C2的标准方程 解：双曲线C1的焦点坐标为(5，0)，(5，0)，设双曲线C2的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则 a2b25，16a23b21，解得 a24，b21.所以双曲线C2的标准方程为x24y21.8 若双曲线x2a2y2b21 的两个焦点为F1，F2，|F1F2|10，P为双曲线上
5、一点，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|，求此双曲线的方程 解：|F1F2|10，2c10，c5.又|PF1|PF2|2a，且|PF1|2|PF2|，|PF2|2a，|PF1|4a.在 RtPF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，4a216a2100.a25.则b2c2a220.故所求的双曲线方程为x25y2201.二、综合能力提升 1已知F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|2a，当a分别为 3 和 5 时，点P的轨迹分别为()A双曲线和一条直线 B双曲线和一条射线 C双曲线的一支和一条射线 D双曲线的一支和一条直线 解析：选 C 依题意，得|F1
6、F2|10.当a3 时，|PF1|PF2|2a60)，则y225132144125144，所以y2512，即|AF1|2512.又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24251231312.即所求距离分别为2512，31312.答案：2512，31312 5已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25 的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式 sin Bsin A12sin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程 解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x25y21.a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin A1
7、2sin C，由正弦定理得|CA|CB|12|AB|21)6设圆C与两圆(x 5)2y24，(x 5)2y24 中的一个内切，另一个外切(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M3 55，4 55，F(5，0)，且P为L上动点求|MP|FP|的最大值 解：(1)两圆的圆心分别为A(5，0)，B(5，0)，半径为 2，设圆C的半径为r.由题意得|CA|r2，|CB|r2 或|CA|r2，|CB|r2，两式相减得|CA|CB|4 或|CA|CB|4，即|CA|CB|4.则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中 2a4，c 5，b21，圆C的圆心轨迹L的方程为x24y21.(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|PF|MF|为|PM|FP|的最大值 又|MF|3 55 524 5522，|MP|FP|的最大值为2.