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1、 2.2 向量的减法 学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算 知识点一 相反向量 思考 实数a的相反数为a，向量a与a的关系应叫作什么？梳理 与a_的向量，叫作a的相反向量，记作_(1)规定：零向量的相反向量仍是_(2)(a)a.(3)a(a)_.(4)若a与b互为相反向量，则a_，b_，ab_.知识点二 向量的减法 思考 1 根据向量的加法，如何求作ab?思考 2 向量减法的三角形法则是什么？梳理(1)定义：向量a加上_，叫作a与b的差，即ab_.求两个向量_的运算，叫作向量的减法(2)几何意义：在平面内任取一
2、点O，作OAa，OBb，则向量ab_，如图所示 (3)文字叙述：如果把向量a与b的起点放在O点，那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量BA就是ab.知识点三|a|b|，|ab|，|a|b|三者的关系 思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|b|，|ab|，|a|b|三者关系是怎样的？梳理 当向量a，b不共线时，作OAa，ABb，则abOB，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有|a|b|ab|b|，作法同上，如图(3)，此时|ab|a|b|.故对于任意向量a，b，总有|a|b|ab|a|b|.因为|ab|a(b)|，
3、所以|a|b|ab|a|b|，即|a|b|ab|a|b|.将两式结合起来即为|a|b|ab|a|b|.类型一 向量减法的几何作图 例 1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.引申探究 若本例条件不变，则abc如何作？反思与感悟 在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量 跟踪训练 1 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量ab，cd.类型二 向量减法法则的应用 例 2 化简下列式子：(1)NQPQNMMP；(2)(ABCD)(ACBD)反思与感悟
4、 向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点 跟踪训练 2 化简：(1)(BABC)(EDEC)；(2)(ACBOOA)(DCDOOB)类型三 向量减法几何意义的应用 例 3 已知|AB|6，|AD|9，求|ABAD|的取值范围 反思与感悟(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若ABa，ADb，则ACab，DBab.(2)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相反且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相同时，|ab|a|b|.(3)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相
5、同且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相反时，|ab|a|b|.跟踪训练 3 在四边形ABCD中，设ABa，ADb，且ACab，若|ab|ab|，则四边形ABCD的形状是()A梯形 B矩形 C菱形 D正方形 1.如图所示，在ABCD中，ABa，ADb，则用a，b表示 向量AC和BD分别是()Aab和ab Bab和ba Cab和ba Dba和ba 2化简OPQPPSSP的结果等于()A.QP B.OQ C.SP D.SQ 3若菱形ABCD的边长为 2，则|ABCBCD|_.4若向量a与b满足|a|5，|b|12，则|ab|的最小值为_，|ab|的最大值为_ 5.如图，在五边形ABCDE
6、中，若四边形ACDE是平行四边形，且ABa，ACb，AEc，试用a，b，c表示向量BD，BC，BE，CD及CE.1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，ABBA就可以把减法转化为加法即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如aba(b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆 3平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别为ABa，ADb，则两条对角线表示的向量为ACab，BDba，DBab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握 答案精析 问题导学 知识点一 思考 相反向量 梳理 长度相等、方向相反
7、 a(1)零向量(3)(a)a 0(4)b a 0 知识点二 思考 1 先作出b，再按三角形法则或平行四边形法则作出a(b)思考 2(1)两个向量a，b的始点移到同一点；(2)连接两个向量(a与b)的终点；(3)差向量ab的方向是指向被减向量的终点 这种求差向量ab的方法叫作向量减法的三角形法则概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”梳理(1)b的相反向量 a(b)差 (2)BA 知识点三 思考 它们之间的关系为|a|b|ab|a|b|.题型探究 例 1 解 方法一 如图，在平面内任取一点O，作OAa，ABb，则OBab，再作OCc，则CBabc.方法二 如图，在平面内任取一点O，作OAa
8、，ABb，则OBab，再作CBc，连接OC，则OCabc.引申探究 解 如图，在平面内任取一点O，作OAa，OBb，则BAab.再作CAc，则BCabc.跟踪训练 1 解 如图所示，在平面内任取一点O，作OAa，OBb，OCc，ODd.则abBA，cdDC.例 2 解(1)原式NPMNMPNPPNNPNP0.(2)原式ABCDACBD(ABAC)(DCDB)CBBC0.跟踪训练 2 解(1)(BABC)(EDEC)CACDDA.(2)(ACBOOA)(DCDOOB)ACBADC(DOOB)ACBADCDB BCDCDBBCCDDB BCCB0.例 3 解|AB|AD|ABAD|AB|AD|，且|AD|9，|AB|6，3|ABAD|15.当AD与AB同向时，|ABAD|3；当AD与AB反向时，|ABAD|15.|ABAD|的取值范围为3,15 跟踪训练 3 B 当堂训练 1B 2.B 3.2 4.7 17 5解 四边形ACDE是平行四边形，CDAEc，BCACABba，BEAEABca，CEAEACcb，BDBCCDbac.