《专题06平面向量-2020年高考数学(理)二轮专项复习43874.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题06平面向量-2020年高考数学(理)二轮专项复习43874.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 专题 06 平面向量 平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用 61 向量的概念与运算【知识要点】1向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量cba,AB 自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量(2)向量的模：向量的长度，记作：|,|aA
2、B 向量的夹角：两个非零向量 a，b，作baOBOA,，则(AOB 称为向量 a，b 的夹角，记作：a，b 零向量：模为 0，方向任意的向量，记作：0 单位向量：模为 1，方向任意的向量，与 a 共线的单位向量是：)0(|aaa(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量 相反向量：长度相等，方向相反的向量 向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量记作 ab 向量垂直；a，b)90时，向量 a 与 b 垂直，规定：0 与任意向量垂直 2向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则(2)减法：
3、三角形法则(3)数乘：记作：a 它的长度是：aa 它的方向：当0 时，a 与 a 同向 当0 时，a 与 a 反向 当0 时，a0(4)数量积：定义：ababcosa，b其物理背景是力在位移方向所做的功 运算律：1(交换律)abba 2(实数的结合律)(ab)(a)ba(b)3(分配律)(ab)cacbc 性质：设 a，b 是非零向量，则：ab0ab a 与 b 同向时，abab a 与 b 反向时，abab 特殊地：aaa2或aaa|夹角：|,cosbababa|ab|a|b|3向量的坐标运算 若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)加法：ab(x1x2，y1y2)(2
4、)减法：ab(x1x2，y1y2)(3)数乘：a(x1，y1)(4)数量积：abx1x2y1y2(5)若 a(x，y)，则22|yx a(6)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则222221212121|,cosyxyxyyxxbababa(7)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则221221)()(|yyxxAB(8)a 在 b 方向上的正射影的数量为22222121|,cos|yxyyxxbbabaa 4重要定理(1)平行向量基本定理：若 ab，则 ab，反之：若 ab，且 b0，则存在唯一的实数使得 ab(2)平面向量基本定理：如果 e1和 e2是平面内的两个不共线的向量，那
5、么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a2使 aa1e1a2e2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2)则：abx1y2x2y10，abx1x2y1y20(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则2121yyxxba【复习要求】1准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3 熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题【例题分析】例 1 向量
6、a、b、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有()个(1)(bc)a(ca)b 与 c 垂直，(2)若 acbc，则 ab，(3)(ab)ca(bc)，(4)abab A0 B1 C2 D3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此(b c)a(c a)b c(b c)(a c)(ca)(bc)0，所以 c(bc)a(ca)b 与 c 垂直；(2)假命题acbcab；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量 a 与向量 b 都是与向量 c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是 a、b 这两个向量不相等；(3)假命题(ab)ca(bc)，实际上(
7、ab)c 是与向量 c 方向相同或相反的一个向量，a(bc)是与 a 方向相同或相反的一个向量，向量 a、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题ababcosa，b，且 cosa，b1，所以 abab 解答：选 C【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质 例 2 已知向量 a(1，2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A)37,97(
8、B)97,37(C)97,37(D)37,97(【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解 解：不妨设 c(m，n)，则 ac(1m，2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)；又 c(ab)，则有 3mn0，则有37,97nm故选择 D【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用 此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法 例 3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(kOCOBkOA，且 A、B、C
9、 三点共线，求实数 k 的值(2)已知向量 a(1，1)，b(2，3)，若 ka2b 与 a 垂直，求实数 k 的值【分析】(1)向量 a 与 b(b0)共线存在实数 m 使 amb 当已知向量的坐标时，abx1y2x2y10(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题 ab0abx1x2y1y20 解：(1)10,(),5,4(),12,(kOCOBkOA,)5,4(),7,4(kCBkAB,A、B、C 三点共线，CBAB/，即(4k)(5)(4k)(7)0，解得：32k(2)由(ka2b)a，得(ka2b)aka22ba2k2(23)0，所以 k1【评析】向量 a 与 b(b
10、0)共线的充要条件是存在实数 m 使 amb；当已知向量的坐标时，abx1y2x2y10若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立 利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合 例 4 已知：a2，b5，a，b60，求：ab；(2 ab)b；2ab；2 ab 与 b 的夹角的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：ababcosa，bx1x2y1y2 aa
11、aaaa|2，若 a(x，y)，则22|yx a 222221212121|,cosyxyxyyxxbababa 解：a2，b5，a，b60，ababcosa，b5；(2ab)b2abbb102535；;6125201644)2(|2|222bbaababa 6161756135|)2()2(|2|)2(,2cos2bbabbabbabbabba【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式 例 5 已知向量 a(sin，cos2sin)，b(1，2)()若 ab，求 tan的值
12、；()若ab，0，求的值【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画 解：()因为 ab，所以 2sincos2sin，于是 4sincos，故41tan()由ab知，sin2(cos2sin)25，所以 12sin24sin25 从而2sin22(1cos2)4，即 sin2cos21，于是22)42sin(又由 0知，49424，所以4542，或4742 因此2，或43 例 6 设 a、b、c 是单位向量，且 ab0，则(ac)(bc)的最小值为()(A)2(B)22 (C)1(D)21【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口 解：a，b，c 是单
13、位向量，(ac)(bc)ab(ab)cc2 21,cos121cba 故选 D 例 7 在ABC，已知23|.|32BCACABACAB，求角 A，B，C 的大小【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题 解：设 BCa，ACb，ABc 由|32ACABACAB得bcAbc3cos2，所以23cosA 又 A(0，)，因此6A 由23|3BCACAB得23abc，于是43sin3sinsin2ABC 所以43)sin23cos21(sin,43)65sin(sinCCCCC，因此 02cos32sin,3sin32cossin22CCCCC，即0)32sin(C 由6A知650
14、C，所以3432,3C，从而 032C，或32C，即6C，或32C，故 6,32,6CBA，或32,6,6CBA【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要 练习 61 一、选择题 1平面向量 a，b 共线的充要条件是()Aa，b 方向相同 Ba，b 两向量中至少有一个为零向量 CR，ba D存在不全为零的实数1，2，1a2b0 2已知平面向量 a(1，3)，b(4，2)，ab 与 a 垂直，则是()A1 B1 C2 D2 3已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)
15、，B(1，2)，C(3，1)，且ADBC2，则顶点 D 的坐标为()A)27,2(B)21,2(C(3，2)D(1，3)4设ABC 的三个内角 A，B，C，向量)cos3,(cos),sin,sin3(ABBAnm，若mn1cos(AB)，则 C()A6 B3 C32 D65 二、填空题 5设 a(2k2，4)，b(8，k1)，若 a 与 b 共线，则 k 值为_ 6已知向量),3(),2,1(mOBOA，若ABOA，则 m_ 7已知 M(3，2)，N(5，1)，MNMP21，则P 点坐标为_ 8已知 a21，b22，(ab)a0，则 a 和 b 的夹角是_ 三、解答题 9已知向量 a(x3，
16、x23x4)与AB相等，其中 A(1，2)，B(3，2)，求实数 x 的值 10已知向量 a 与 b 同向，b(1，2)，ab10(1)求向量 a 的坐标；(2)若 c(2，1)，求(bc)a 11若向量 a 与 b 的夹角为 60，b4，(a2b)(a3b)72，求向量 a 的模 62 向量的应用【知识要点】1向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识；2以向量为载体考查三角函数的知识；3在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实
17、际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力 例 1 若ABCACABCBCAB，求证三角形 ABC 是正三角形，【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论 证明0)()(ACABBCCAABBCCABCBCAB，即BC与 BC 边上的中线垂直，所以 ABAC，同理 BCBA，可以得到该三角形是等边三角形；例 2 已知四边形 ABCD 中，若ABDADACDCDBCBCAB，判断四边形 ABCD 的形状【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究 解答 1 从几何意义上设kABDADAC
18、DCDBCBCAB 若 k0，则ABC，BCD，CDA，DAB 都是钝角，与四边形内角和为 360矛盾，舍；同理 k0 时，也不可能，故 k0，即四边形 ABCD 为矩形 解答 2 从运算上，0)()(DCABBCCDABBCCDBCBCAB 同理；0)()(DCABADABCDDAABDADACD 于是BCAD/，同理CDAB/，得到四边形 ABCD 是平行四边形；02)()(ABBCDCABBCCDABBCCDBCBCAB BCAB，四边形 ABCD 为矩形【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形
19、应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状 例 3 已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量)1,3(m，n(cosA，sinA)若 mn，且 acosBbcosAcsinC，求角 A，B 的大小【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到 A 角的三角方程，从而求出三角形的内角 A，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角 解：0sincos3AAnmnm，即3tanA，三角形内角;3A acosBbcosAcsinC，sinAcosBsinBcosAsin2C，即 sin(AB)sin2
20、C，sinC1，,2C 6B【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如221OBOAOMABAM、MBAM、等都说明 M 是AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表 达的信息 例 4 已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)(1)若0ACAB，求 c 的值；(2)若 c5，求 sinA 的值【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等
21、量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如利用数量积ACAB求出 cosA进而求 sinA；余弦定理正弦定理 解：(1)4,3(),4,3(cACAB 由0 ACAB可得3(c3)160 解得325c(2)法一当 c5 时，可得 AB5，52AC，BC5，ABC 为等腰三角形，过 B 作 BDAC 交 AC 于 D，可求得52BD故,552sinABBDA 法二.cos|),4,2(),4,3(ACABAACABACAB 552sin,0,55cos166cos525AAAA【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还
22、可以和解三角形的其他知识余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题 例 5 若等边ABC 的边长为32，平面内一点 M 满足CACBCM3261，则 MBMA_ 解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 C(0，0)，)3,3(),0,32(BA，利用向量坐标运算，求得)21,233(M，从而求得)25,23(),21,23(MBMA，运用数量积公式解得为2 另外，还可以通过向量的几何运算求解 解：),3265()6131()()(CACBCBCACMCBCMCAMBMA 660cos3232,32|CBCACBCA，得到.2MBMA【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式
23、运算，没有坐标时用向量的几 何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性 例 6 已知向量 a(cosa，sina)，b(cos，sin)，c(1，0)()求向量 bc 的长度的最大值；()设4，且 a(bc)，求 cos的值【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法 1：bc(cos1，sin)，则 bc2(cos1)2sin22(1cos)1cos1，0bc24，即 0bc2 当 cos1 时，有bc2，所以向量 bc 的长度的最大值为 2 解法 2：b1，c1，bcbc2 当
24、 cos1 时，有bc(2，0)，即bc2，bc 的长度的最大值为 2(2)解法 1：由已知可得 bc(cos1，sin)，a(bc)coscossinsincoscos()cos a(bc)，a(bc)0，即 cos()cos 由4，得4cos)4cos(，即).(424Zkk 42 k或2k，(kZ)，于是 cos0 或 cos1 解法 2：若4，则)22,22(a，又由 b(cos，sin)，c(1，0)得,22sin22cos22)sin,1(cos)22,22()(cba a(bc)，a(bc)0，即 cos(cos1)0 sin1cos，平方后 sin2(1cos)21cos2，化
25、简得 cos(cos1)0 解得 cos0 或 cos1，经检验，cos0 或 cos1 即为所求 例 7 已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角,3C求ABC 的面积【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题 证明：(1)mn，asinAbsinB，即RbbRaa22，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，ab，ABC 为等腰三角形 解(2)由题意可知 mp，mp0，即 a(b2)b(a2)0，ab
26、ab，由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去 ab1)33sin421sin21CabS 例 8 已知向量)2sin,2(cos),23sin,23(cosxxxxba，其中.2,0 x(1)求 ab 及ab；(2)若 f(x)ab2ab的最小值是23，求的值【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识 解：(1)xxxxx2cos2sin23sin2cos23cosba 2,0,cos22cos22)(|2xxxbaba 或2,0,cos22cos22)2sin23(sin)2cos23(cos|22xxx
27、xxxxba(2)f(x)ab2abcos2x4cosx2cos2x4cosx12(cosx)2221,1,0(cos2,0 xx 当0 时；f(x)的最小值是1，不可能是23，舍；当 01 时，f(x)的最小值是23122，解得;21 当1 时，f(x)的最小值是2341，解得185，舍；21【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备 练习 62 一、选择题 1若为 a，b，c 任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc)B(ab)cacbc Cm(ab)
28、mamb D(ab)ca(bc)2设)31,(cos),sin,23(ba，且 ab，则的值是()A)(,42Zkk B)(,42Zkk C)(,4Zkk D)(,4Zkk 3在ABC 中，baBCAB,，且 ab0，则ABC 的形状为()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 4已知：ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P，且ABPCPBPA，则点 P与ABC 的位置关系是()AP 在ABC 内部 BP 在ABC 外部 CP 在 AB 边上或其延长线上 DP 在 AC 边上 二、填空题 5若向量 a，b 满足a1，b2，且 a 与 b 的夹角为3，则ab_ 6已
29、知向量 a(cos，sin)，向量)1,3(b，则2ab的最大值是_ 7若)1,2(),3,1(xba，且(a2b)(2ab)，则 x_ 8已知向量)5,3(),6,4(OBOA，且OBACOAOC/,，则向量OC_ 三、解答题 9平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a(2，0)，b1，求a2b 10P 在 y 轴上，Q 在 x 轴的正半轴上，H(3，0)，M 在直线 PQ 上，PMPMHP,0 MQ23当点 P 在 y 轴移动时，求点 M 的轨迹 C 方程 11已知向量 a(sin，1)，22),cos,1(b(1)若 ab，求；(2)求ab的最大值 习题 6 一、选择题 1已知平面向量
30、a(1，2)，b(2，m)，且 ab，则 2 a3b()A(5，10)B(4，8)C(3，6)D(2，4)2给出下列五个命题：a2a2；ababa2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2；若 ab0，则 a0 或 b0；其中正确命题的序号是()A B C D 3函数 y2x1 的图象按向量 a 平移得到函数 y2x1的图象，则()Aa(1，1)Ba(1，1)Ca(1，1)Da(1，1)4若 a21，b22，(ab)a0，则 a 与 b 的夹角为()A30 B45 C60 D90 5已知在ABC 中，,OAOCOCOBOBOA则 O 为ABC 的()A内心 B外心 C重心 D垂心 二、填
31、空题 6已知 p(1，2)，q(1，3)，则 p 在 q 方向上的正射影长为_；7如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题：BCAFAC2 AFABAD22 ABADADAC)()(EFAFADEFAFAD 其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)8给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为 120如图所示，点 C 在以 O为圆心的圆弧AB上变动 若OByOAxOC，其中 x，yR，则xy的最大值是_ 9 已知向量a(2，4)，b(1，1)，若向量b(ab)，则实数的值_；若bbaaaac)(，则向量 a 与 c 的夹角为_；10已知a3，b4，ab2，则ab_ 三、解
32、答题 11已知).1,3(),3,1(ba(1)证明：ab；(2)若 kab 与 3akb 平行，求实数 k；(3)若 kab 与 kab 垂直，求实数 k 12设向量 a(cos23，cos67)，b(cos68，cos22)，uatb，(tR)(1)求 ab(2)求 u 的模的最小值 13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，.73tanC(1)求 cosC；(2)若25CACB，且 ab9，求 c 14 已知函数 f(x)kxb 的图象与 x，y 轴相交于点 A，B，jiji,(22 AB，分别是与 x，y 轴正半轴同方向的单位向量)函数 g(x)x2x6，(1)求 k
33、，b 的值；(2)当 x 满足 f(x)g(x)时，求函数)(1)(xfxg的最小值 15已知向量 a(x2，x1)，b(1x，t)，若 f(x)ab 在区间(1，1)上是增函数，求 t的取值范围 专题 06 平面向量参考答案 练习 61 一、选择题 1D 2A 3A 4C 二、填空题 53 或5 64 7)23,1(845 三、解答题 9由已知)0,2(ABa，所以043232xxx，得 x1 10(1)由已知设 a(，2)且0，ab410，2，所以 a(2，4)；(2)(bc)a(22)a0 116 练习 62 一、选择题 1D 2C 3C 4D 二、填空题 57 64 76 或 9 8)
34、214,72(三、解答题 932 由已知a2，a2b2a24ab4b24421cos60412 32|2|ba.10解答：设 M(x，y)，M 在直线 PQ 上,),0,32(),2,0(,23xQyPMQPM)2,(),2,3(,0yyxPMyHPPMHP 02323.yyx，即 y24x(除原点)11解：()若 ab，则 sincos0，由此得)22(1tan，所以;4()由 a(sin，1)，b(1，cos)得)cos(sin23)cos1()1(sin|22ba,)4sin(223 当1)4sin(时，ab取得最大值，即当4时，ab最大值为.12 习题 6 一、选择题 1B 2B 3A
35、 4B 5D 二、填空题 6210 7、82 93；90 1021 三、解答题 11(2)k3；(3)k1 12答案：(1)22ba，(2)22|minu 13解答：(1)73tanC，73cossinCC，又sin2Ccos2C1 解得81cosC tanC0，C 是锐角 81cosC(2)20,25cos,25abCabCACB 又ab9 a22abb281a2b241 c2a2b22abcosC36c6 14略解：(1)由已知得)0,(kbA，B(0，b)，则),(bkbAB，于是.2,2bkbk1，b2(2)由 f(x)g(x)，得 x2x2x6，即(x2)(x4)0，得2x4，521
36、225)(1)(2xxxxxxfxg 由于 x20，则3)(1)(xfxg，其中等号当且仅当 x21，即 x1 时成立)(1)(xfxg的最小值是3 15略解：解法1：依定义 f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，则f(x3x22xt 若 f(x)在(1，1)上是增函数，则在(1，1)上可设 f(x)0 f(x)0t3x22x，在区间(1，1)上恒成立，考虑函数 g(x)3x22x，由于 g(x)的图象是对称轴为31x，开口向上的抛物线，故要使 t3x22x 在区间(1，1)上恒成立tg(1)，即 t5 而当 t5 时，f(x)在(1，1)上满足 f(x)0，即 f(x)在(1，1)上是增函数故 t 的取值范围是 t5 解法 2：依定义 f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f(x)3x22xt 若 f(x)在(1，1)上是增函数，则在(1，1)上可设 f(x)0 f(x)的图象是开口向下的抛物线，当且仅当 f(1)t10，且 f(1)t50 时，f(x)在(1，1)上满足 f(x)0，即 f(x)在(1，1)上是增函数故 t 的取值范围是 t5