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1、 考点二十二 动点与抛物线问题 典型例题：（如图，已知抛物线2(1)33(0)ya xa经过点 A(2，0)，抛物线的顶点为 D，过 0 作射线 OMAD过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C，B 在 x 轴正半轴上，连结 BC(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点 P 从点 0 出发，以每秒 l 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为t(s)问：当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若 OC=OB，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 l 个长度单位和 2个长度单位的速度沿 OC 和
2、B0 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为 t(s)，连接 PQ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时 PQ 的长 解：（1）抛物线2(1)33(0)ya xa经过点(2 0)A ，309333aa 1 分 二次函数的解析式为：232383333yxx 3 分（2）D为抛物线的顶点(1 33)D，过D作DNOB于N，则33DN，2233(33)660ANADDAO，4 分 OMAD 当ADOP时，四边形DAOP是平行四边形 66(s)OPt 5 分 当DPOM时，四边形DAOP是直角梯形 过O作OHAD于H，2AO，则1AH x y
3、M C D P Q O A B N E H （如果没求出60DAO可由RtRtOHADNA求1AH）55(s)OPDHt 6 分 当PDOA时，四边形DAOP是等腰梯形 26244(s)OPADAHt 综上所述：当6t、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形 7 分（3）由（2）及已知，60COBOCOBOCB，是等边三角形 则6262(03)OBOCADOPtBQtOQtt，过P作PEOQ于E，则32PEt 8 分 113633(62)222BCPQStt=233633228t 9 分 当32t 时，BCPQS的面积最小值为6338 10分 此时3339333324444
4、OQOPOEQEPE，=，222233933442PQPEQE 11 分 名题精练 1.（2009河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PEAB交AC于点E 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?连接EQ在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形?请直接写出
5、相应的t值.2 已知二次函数cbxaxy2的图象经过点 A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点 P 从 B 点出发以每秒 0.1 个单位的速度沿线段 BC 向 C 点运动，点 Q 从 O 点出发以相同的速度沿线段 OA 向 A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 当 t 为何值时，四边形 ABPQ 为等腰梯形；设 PQ 与对称轴的交点为 M，过 M 点作 x 轴的平行线交 AB 于点 N，设四边形 ANPQ的面积为 S，求面积 S 关于时间 t 的函数解析式，并指出 t 的取值范围；当 t 为何值时，S
6、 有 最大值或最小值 3如图，二次函数2yaxbxc（0a）的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C连结A CB CAC、，、两点的坐标分别为(3 0)A ，、(03)C，且当4x 和2x 时二次函数的函数值y相等（1）求实数abc，的值；x y O A B C P Q M N 第 23 题图 （2）若点MN、同时从B点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将B M N沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B
7、NQ，为项点的三角形与ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 考点二十二 答案 1 解.(1)点A的坐标为（4，8）1 将 A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b y O x C N B P M A 解 得a=-12,b=4 抛物线的解析式为：y=-12x2+4x 3 分（2）在 RtAPE和 RtABC中，tanPAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48 PE=12AP=12tPB=8-t 点的坐标为（4+12t，8-t）.点 G 的纵坐标为：-12（4+12t）2+4(4+12t）=-18t2+8.5
8、 分 EG=-18t2+8-(8-t)=-18t2+t.-180，当t=4 时，线段EG最长为 2.7 分 共有三个时刻.8 分 t1=163，t2=4013，t3=8525 11 分 2.解：(1)二次函数cbxaxy2的图象经过点 C(0，-3)，c=-3 将点 A(3，0)，B(2，-3)代入cbxaxy2得.32433390baba，解得：a=1，b=-2 322xxy-2 分 配方得：412）（xy，所以对称轴为 x=1-3 分(2)由题意可知：BP=OQ=0.1t 点 B，点 C 的纵坐标相等，BC OA 过点 B，点 P 作 BD OA，PE OA，垂足分别为 D，E 要使四边形
9、 ABPQ 为等腰梯形，只需 PQ=AB x y O A B C P Q D E G M N F 即 QE=AD=1 又 QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1 解得 t=5 即 t=5 秒时，四边形 ABPQ 为等腰梯形-6 分 设对称轴与 BC，x 轴的交点分别为 F，G 对称轴 x=1 是线段 BC 的垂直平分线，BF=CF=OG=1 又 BP=OQ，PF=QG 又 PMF=QMG，MFP MGQ MF=MG 点 M 为 FG 的中点 -8 分 S=BPNABPQS-S四边形，=BPNABFGS-S四边形 由ABFGS四边形FGAGBF)(21=29
10、tFGBPSBPN4032121 S=t40329-10 分 又 BC=2，OA=3，点 P 运动到点 C 时停止运动，需要 20 秒 0t20 当 t=20 秒时，面积 S 有最小值 3-11 分 3、（1）由题意，得930164423.abcabcabcc，y O x C N B P M A 解之得332333.abc ，3 分（2）由（1）得3332332xxy，当 y=0 时，3x 或 1 B（1，0），A（3，0），C（0，3）OA=3，OB=1，OC=3.易求得 AC=23，24BCAB，ABC为 Rt，且ACB=90，A=30，B=60 又由BMBNPNPM知四边形PMBN为菱形
11、，PNAB，CBCNABPN，即224tt 34t 5 分 过 P 作 PEAB 于 E，在 RtPEM 中，PME=B=60，PM=34 332233460sinPMPE 3260tanPEME 又31OBBMOM 故，2(13)3P ，7 分（3）由（1）、（2）知抛物线3332332xxy的对称轴为直线1x ，且ACB=90 若BQN=90，BN 的中点到对称轴的距离大于 1，而13221BM，以 BN 为直径的圆不与对称轴相交，BQN90，B C A N O x y M P E Q 即此时不存在符合条件的 Q点 若BNQ=90，当NBQ=60，则 Q、E 重合，此时90BNQ；当NBQ=30，则 Q、P 重合，此时90BNQ 即此时不存在符合条件的 Q 点 若QBN=90时，延长 NM 交对称轴于点 Q，此时，Q 为 P 关于 x 轴的对称点 Q（1，332）为所求 10 分