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1、 1 2020 高考数学选填题专项测试 02（数列）（文理通用）第 I 卷（选择题)一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2020广东高三期末）记nS为等差数列na的前n项和，若23a，59a，则6S为（）A36 B32 C28 D24【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出【详解】16256256()6()3()22aaaaSaa36.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力 2（2020陕西高三）设数列an是正项等比数列,Sn为其前 n 项和,已知 a2
2、a4=1,S3=7,则公比 q=()A13 B3 C12 D2【答案】C【解析】【分析】结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解.【详解】由 a2a4=1，S3=7，可知公比 q1，则241311171a qaqq，联立方程可得，q=12或 a=13(舍)，【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3（2020福建高三模拟）已知等差数列 na 的前n项和为nS，公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，则10S的值为（）A110 B90 C90 D110【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的定义得2739aa a，结合公差可求出首项，从而可得答案【
3、详解】7a是3a与9a的等比中项，2739aa a，又数列 na的公差为2，2111(12)(4)(16)aaa，解得120a，20(1)(2)222nann，2 1101010()5(202)1102aaS，故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和，考查等比中项的应用，属于基础题 4（2020定远县育才学校高三）在等比数列 na中，182naa，3281na a，且前n项和121nS，则此数列的项数n等于（）A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质得出181na a，结合182naa，得出1a和na的值，并设等比数列 na的公比为q，由11211nnaa qSq
4、，求出q的值，然后利用等比数列的通项公式可求出n的值.【详解】设等比数列 na的公比为q，由等比数列的性质可得：13281nna aa a，又182naa，1a和na是方程282810 xx的两根，解方程得1x 或81x.若等比数列 na递增，则11a，81na，121nS，11 8112111naa qqqq，解得3q，1811 3n，解得5n；若等比数列 na递减，则181a，1na，121nS，18112111naa qqqq，解得13q，118113n，解得5n.则此数列的项数n等于5，选：B.【点睛】本题考查等比数列项数的计算，涉及等比数列性质和等比数列前n项和的计算，解题的关键就是
5、求出等比数列的公比，考查运算求解能力，属于中等题.5（2020四川高三月考）已知等差数列na满足1592aaa，则28cos()aa（）A12 B32 C12 D32【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质求得28aa的值，由此求得28cos()aa的值.【详解】由于等差数列na满足15955232,3aaaaa，所以 3 28cos()aa541cos 2coscoscos3332a .【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查诱导公式，属于基础题.6（2020山西高三开学考试）已知数列 na的通项公式为370.9nnan，则数列 na的最大项是（）A5a B6a C7a D8a【答案】
6、C【解析】【分析】先讨论出数列 na的单调性，根据单调性得出答案.【详解】由1310913710nnanan，解得203n，又*nN，所以6n.于是127aaa，当7n时，11nnaa，故78aa，因此最大项为7a.故选：C【点睛】本题考查求数列的最大项和数列的单调性，属于中档题.7（2020山西高三月考）公差不为零的等差数列 na中，367,a a a成等比数列，则46aa（）A72 B73 C213 D137【答案】B【解析】【分析】设 na的公差为()d d 0，根据367,a a a成等比数列，可得2637aa a，化简求得1ad，的关系再求解.【详解】设 na的公差为()d d 0，
7、由367,a a a成等比数列，可得2637aa a，即2111(5)(2)(6)adad ad，即1213ad，故4613+6713103addadd.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.8.（2020福建高三月考）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，且1310aa，972S.数列 nb的首项为 3，且13n nb b，则210020a b（）A3 B13 C3 D13 4【答案】D【解析】【分析】由等差数列可得132195122210993672aaaadSaad,解得141ad,即可求得10a,再由13n nb b 可得数列 n
8、b是周期数列,求得2020b,即可求解.【详解】由题,因为132195122210993672aaaadSaad,所以141ad,即413nann,所以1013a,又13b,且13n nb b,则21b ,33b,所以数列 nb是周期为2的数列,则202021bb,所以20201013a b,故答案为:13【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,考查数列的周期性的应用,考查运算能力.9.（2020四川省泸县第二中学高三）设等比数列na的前n项和为nS.若637SS，则4332aaaa（）A2 B2 C1 或2 D3【答案】A【解析】【分析】先根据637SS 求出等比数列 na的公比q，然后化
9、简4332aaaa可得结果【详解】设等比数列 na的公比为q当1q 时，637SS 不成立当1q 时，由637SS 得61317(1)(1)11aaqqqq，整理得317q，即38q ，解得2q 所以43333222(1)2(1)qqaaaaqaaaa 【点睛】利用公式求等比数列的前n项和时，在公比q不确定的情况下，一定要注意对公比取值的分类讨论，即解题时分为1q 和1q 两种情况求解，考查计算能力，属于基础题 10.（2020江苏高三开学考试）已知等差数列 na的前 n 项和为 Sn，若366,8SS，则9S _.A42 B24 C 42 D24【答案】C【解析】5【分析】由3S，63SS，
10、96SS成等差数列，代入366,8SS 可得9S的值.【详解】由等差数列的性质可得：3S，63SS，96SS成等差数列，可得：633962()SSSSS，代入366,8SS，可得：942S 。【点睛】本题主要考查等差数列前 n 项和的性质，相对不难.11.（2020江苏高三月考）等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S10=4S5=100,则 an的通项公式为（）A21nan B2nan C 1nan D21nan【答案】D【解析】【分析】先通过解方程组得到 a1=1,d=2,即得等差数列的通项.【详解】设公差为 d,由 S10=4S5=100,可得1110 91010025 45252ad
11、ad,解得 a1=1,d=2,故 an=2n1,【点睛】本题主要考查等差数列的前 n 项和基本量的计算，考查等差数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12.（2020海南中学高三月考）已知等差数列 na的首项及公差均为正数，令2020nnnbaa*,2020nnN，当kb是数列 nb的最大项时，k（）A1100 B1001 C1011 D1010【答案】D【解析】【分析】设nax，2020 nay，根据基本不等式222222222()22xyxyxyxyxyxy和等差数列的性质202010102nnaaa得222020202010101010()22 24nnnnn
12、baaaaaa，由此可得解.【详解】设nax，2020 nay，根据基本不等式222222222()22xyxyxyxyxyxy，又由等差数列 na的首项及公差均为正数，得202010102nnaaa，所以222020202010101010()22 24nnnnnbaaaaaa，当且仅当 6 2020nnaa时，nb取得最大值，此时1010n，所以1010k。【点睛】本题考查等差数列的基本性质和 基本不等式及其应用，关键在于运用换元法，简化已知式与基本不等式建立联系，属于中档题.第 II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。13
13、（2020广东高三月考）设等差数列 na的前n项和为nS，且1352S,则489aaa_【答案】12【解析】分析：设等差数列an的公差为 d，由 S13=52，可得 13a1+13 122d=52，化简再利用通项公式代入 a4+a8+a9，即可得出 详解：设等差数列an的公差为 d，S13=52，13a1+13 122d=52，化为：a1+6d=4 则 a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=34=12故填 12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前 n 项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.14.（2020广东高三月考）nS是公差为 2 的等差数列 na的前
14、 n 项和，若数列1nS 也是等差数列，则1a _.【答案】1或 3【解析】【分析】可由特殊值求出1a，再验证对所有正整数n，都有数列1nS 是等差数列【详解】由题意211(1)2(1)2nn nSnanan，数列1nS 是等差数列 2132111SSS ，1112 23137aaa，解得11a 或13a，11a 时，21211nSnnn，13a 时，21211nSnnn，均为n的一次函数，数列1nS 是等差数列，故答案为：1或 3.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列的证明，如果数列的通项公式是n的一次函数，则数列一定是等差数列 7 15（2020陕西高三）已知数列an的前
15、n 项和 Sn=n(n+1)+2,其中*nN,则 an=_.【答案】4,12,2nnn 【解析】【分析】当 n=1 时，S1=a1=4，当 n2 时，由题意，得 Sn=n(n+1)+2，Sn1=(n1)n+2，相减即可得出.【详解】当 n=1 时，S1=a1=4，当 n2 时，由 Sn=n(n+1)+2，得 Sn1=(n1)n+2，得 an=2n，其中 n2，所以数列an的通项公式 an=4,12,2nnn.答案为：4,12,2nnn.【点睛】本题主要考查了数列递推关系等差数列的通项公式，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.16（2020北京八十中高三开学考试）数列na满足：*112
16、(1,)nnnaaannN，给出下述命题：若数列na满足：21aa，则*1(1,)nnaannN成立；存在常数c，使得*()nac nN成立；若*(,)pqmnp q m nN其中，则pqmnaaaa；存在常数d，使得*1(1)()naandnN都成立 上述命题正确的是_（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】对；因为21aa，所以210aa，由已知11nnnnaaaa，所以11210nnnnaaaaaa，即1nnaa，正确，对；假设存在在常数c，使得nac，则有12nnnaaca，所以11nnaa应有最大值，错，对，因为pqmn，22pqmn，所以假设pqmnaaaa，则应有22p qm
17、naa，即原数列应为递增数列，错，对，不妨设11a，1nnnaa，则(1)12nn na，若存在常数d，使得1(1)naand，应有112naandn，显然成立，正确，所以正确命题的序号为 56 57 8 58 59 60（2020广东佛山一中高三期中（文）设等比数列 na满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2an的最大值为 【答案】64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q，由1324105aaaa得，2121(1)10(1)5aqa qq，解得1812aq.所以2(1)171 2(1)22212118()22n nnnnnnna aaa q，于是当3n 或4时，12na aa
18、取得最大值6264.考点：等比数列及其应用 61 62 63 八十中高三开学考试）若数列 na满足：*1111,2nnaaanN，则nS _.【答案】21n【解析】【分析】由112nnaa得 na是一个等比数列，结合已知及等比的前n项和公式，即可求解.【详解】1*12,12nnnnaaaanN，na是一个公比为2q，首项11a 的等比数列.1(1)1(1 2)2111 2nnnnaqSq【点睛】本题考查等比数列的定义，等比数列的前n项和，属于基础题.9 65 67（2020河南高三月考（文）设nS为正项等比数列 na的前n项和，若24S，420S，则na _【答案】123n【解析】【分析】记数列 na的公比为q，根据等比数列公式计算得到答案.【详解】记数列 na的公比为q，显然1q，则424221151SqqSq，解得2q ；而0na，故2q，故212134Saaa，解得143a，故1142233nnna.故答案为：123n【点睛】本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.68 69