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1、河北省承德市兴隆县青松岭镇中学 2020 年高三数学文期末试卷含解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.已知，则=（）A B C D 参考答案：C 略 2.如图，函数的大致图象是（）参考答案：C 3.“”是“”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 参考答案：A 4.定义运算，则函数的图象是下图中（）A.B C D 参考答案：D 5.已知全集为 R，集合，则A?RB=()Ax|x0 Bx|2x4 Cx|0 x2 或 x4 Dx|0 x2 或x4 参考答案：C【考点】其他不
2、等式的解法；交、并、补集的混合运算 【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】利用指数函数的性质可求得集合 A，通过解一元二次不等式可求得集合 B，从而可求得 ACRB【解答】解：1=，x0，A=x|x0；又 x26x+80?（x2）（x4）0，2x4 B=x|2x4，?RB=x|x2 或 x4，A?RB=x|0 x2 或 x4，故选 C【点评】本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题 6.设 f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数 a，b，a+b0 是 f（a）+f（b）0 的（）A充分必要条件 B充分而非必要条件 C必要而非充分条件 D既非充分也
3、非必要条件 参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数【分析】由 f（x）=x3+log2（x+）=x3+log2=x3log2（x+）=f（x），知 f（x）是奇函数所以 f（x）在 R 上是增函数，a+b0 可得 af（a）+f（b）0 成立；若 f（a）+f（b）0 则 f（a）f（b）=f（b）由函数是增函数知 a+b0 成立 a+b=0 是 f（a）+f（b）=0 的充要条件【解答】解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为 R f（x）=x3+log2（x+）=x3+log2=x3log2（x+）=f（x）f（x）是奇函数 f（x
4、）在（0，+）上是增函数 f（x）在 R 上是增函数 a+b0 可得 ab f（a）f（b）=f（b）f（a）+f（b）0 成立 若 f（a）+f（b）0 则 f（a）f（b）=f（b）由函数是增函数知 ab a+b0 成立 a+b0 是 f（a）+f（b）0 的充要条件 7.命题，则为（）A B C D 参考答案：C 略 8.已知函数，则下列结论正确的是（）.参考答案：C 9.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A.B.C.D.参考答案：D【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案 A没有幂函数图像，答案 B.中，中，不符合，答案 C中，中，不符合，答案 D中，
5、中，符合，故选 D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.10.设全集椭圆上有两个动点、，则的最小值为 A.6 B.C.9 D.参考答案：A 设P点坐标为，则，所以，因为，所以的最小值为。所以，所以的最小值为 6.二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.若实数 x，y满足则的最大值为_.参考答案：10【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】根据题意画出可行域，如图所示：由图可知目标函数经过点时，取得最大值 10 故答案为：10.【点睛】本题考查简单
6、的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.12.如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第行的第 2个数为_.参考答案：13.在代数式的展开式中，一次项的系数是_（用数字作答）参考答案：21 14.已 知 函 数是上 的 偶 函 数，是上 的 奇 函 数，则的值为_ 参考答案：因为，所以，即，因为是上 的 偶 函 数，所 以，即，所 以，即 函 数的 周 期 是4，所 以。因为，所以。所以。15.底面半径为5cm、高为10cm的圆柱的体积为 cm3.参考答案：16.函数，的零点个数是 参考答案：【知识点】函数零点个数.B9【答案解析】2 解析：当 x0 时，由 f（x）=0 得 x2-2
7、=0，解得 x=?或 x=（舍去），当 x0 时，由 f（x）=0 得 2x-6+lnx=0，即 lnx=6-2x，作出函数 y=lnx 和 y=6-2x 在同一坐标系图象，由图象可知两个函数只有 1 个零点，故函数 f（x）的零点个数为 2,故答案为：2【思路点拨】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论 17.如图，已知球是棱长为 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 参考答案：三、解答题：本大题共 5 小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.（本小题满分 12 分）已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）设的内角、的对边分别为、，且，求的值 参考答案：解：
8、（），则的最小正周期是.（6分）（），则，由正弦定理，得，由余弦定理，得，由解得（12分）19.如图 4，在边长为 1 的等边三角形中，分别是边上的点，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图 5所示的三棱锥，其中(1)证明：/平面；(2)证明：平面；(3)当时，求三棱锥的体积 参考答案：（1）在等边三角形中，,在折叠后的三棱锥中 也成立，,平面，平面，平面；（2）在等边三角形中，是的中点，所以，.在三棱锥中，；（3）由（1）可知，结合（2）可得.这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.20.（14 分）已知函数 f（x）=（ax2+x+a）ex（1
9、）若函数 y=f（x）在点（0，f（0）处的切线与直线 3xy+1=0 平行，求 a 的值；（2）当 x时，f（x）e4恒成立，求实数 a 的取值范围 参考答案：【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】：（1）求出导数，求得切线斜率，由两直线平行的条件即可得到 a；（2）当 x时，f（x）e4恒成立，即有当 x时，f（x）mine4求出导数，讨论当 a0 时，当 a0 时，当 a1，当1a0 时，当1a0 时，运用单调性，求出 f（x）最小值即可得到 解：（1）函数 f（x）=（ax2+x+a）ex 导数 f（x）=（2ax+1）ex+
10、（ax2+x+a）ex=ex（1+a+x+2ax+ax2），则在点（0，f（0）处的切线斜率为 f（0）=1+a，f（0）=a，由于切线与直线 3xy+1=0 平行，则有 1+a=3，a=2；（2）当 x时，f（x）e4恒成立，即有 当 x时，f（x）mine4 由于 f（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x+a）ex=ex（1+a+x+2ax+ax2）=（x+1）（ax+1+a）ex，当 a0 时，x，f（x）0 恒成立，f（x）在递增，f（x）min=f（0）=ae4；当 a0 时，f（x）=a（x+1）（x+1+）?ex，当 a1，1 0，01+1，1（1+）0，x，f（x）0 恒成立
11、，f（x）递减，f（x）min=f（4）=（17a+4）?e4e4，17a+41，a，与 a1 矛盾，当1a0 时，1，1+0，（1+）0，f（x）在递增，或存在极大值，f（x）min在 f（0）和 f（4）中产生，则需 f（0）=ae4，且 f（4）=（17a+4）?e4e4，且1a0，推出 a?，综上，ae4【点评】：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的思想方法，是该题的难点所在，此题属中档题 21.(本小题满分 13 分)已知函数，（）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数、的值；（）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证
12、：点唯一；（）若，且曲线与总存在公切线，求正实数 的最小值 参考答案：解：（），曲线与在公共点处有相同的切线，解得，3 分（）设，则由题设有 又在点有共同的切线 代入得 5分 设，则，在上单调递增，所以 0 最多只有 个实根，从而，结合（）可知，满足题设的点只能是 7分（）当，时，曲线在点处的切线方程为，即 由，得 曲线与总存在公切线，关于的方程，即 总有解 9分 若，则，而，显然不成立，所以 10分 从而，方程可化为 令，则 当时，；当时，即 在上单调递减，在上单调递增在的最小值为，所以，要使方程有解，只须，即 12 分 22.某港口有一个泊位，现统计了某月 100 艘轮船在该泊位停靠的时间
13、（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足 1 小时按 1 小时计时，以此类推，统计结果如表：停靠时间 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 轮船数量 12 12 17 20 15 13 8 3（）设该月 100 艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时，求的值；（）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率 参考答案：（）4；（）试题分析：（）根据平均值的定义求解即可；（）设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，然后根据题意列出满足的条件不等式组，从而根据几何概型概率问题求解 试题解析：（）（）设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，则 若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则，所以必须等待的概率为 答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为 考点：1、平均值；2、几何概型