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1、用图形分离法学习“三线八角”（长沙市二十九中 董辉初）图形分离法就是面对一个比较复杂的图形时，从解题需要的角度出发，在保持图形中各元素（点、线、角等）相对位置不变的情况下，提取出原图的一部分来进行分析问题的解题方法。分离出来的图形，与原图相比，肯定要简单些，少了许多来自于一些不相干的图形元素的干扰，比较容易找到解题的突破口。图形简化了，难题就不难了，看着简化图形，结合基本知识，诸多问题便可迎刃而解了。如图 1，直线 AB、CD 与 EF 相交（也可以说两条直线 AB、CD 被第三条直线 EF 所截），形成了 8 个小于平角的角，我们通常将这样的几何模型简称为“三线八角”。这 8 个角中，有些角
2、是有公共顶点的，如1 与3,5 与8 等，本文所探讨的是另一类角，如1 与5，3 与5,4 与5 等，这几对角没有公共的顶点，但都存在一边共线，也就是说每一个角都有一条边在直线 EF 上，这是人教版七年级数学第 5.1.3 节的教学内容，即“同位角、内错角、同旁内角”，这是本章知识的重点，也是难点，对这一知识掌握的好与坏将直线影响到后续知识的学习。实践证明，“图形分离法”在这里就能大显身手，使教与学的活动收到了事半功倍的效果。在讲授“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念时，为了能让学生比较直观地识别出这三种角，我就将图 1 分离出图 2 这些比较简单的图形。再由图形的象形特征，指出这 8 个分
3、离图形中有三类，分A B C D E F 4 3 1 2 8 7 5 6 图 1 别是“F 型”、“Z 型”、“U 型”，分别对应于同位角、内错角、同旁内角。这样一来，学生自然就容易掌握了。在学完“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念后，为了使学生加深理解，必然要进行一系列的练习。纵观所有的练习题，不外乎以下三类：（1）指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角；（2）指出图中某一个角的所有同位角、内错角和同旁内角；（3）指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。下面就分这三类，分别介绍如何利用“图形分离法”来求解。类型一：指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角。【例 1】如图 3，1
4、与6 是直线_与直线_被直线_所截而形成的_角。这类题目相对来讲，是最简单的了。要得出正确答案，只要找到1 与6 的边，将图形分离出来，便会一目了然了。如图 4，不难看出，这是属于“Z 型”，于是，就可以得出答案：1 与6是直线 AC 与直线 EB（或 EF）被直线 AB（或 AD）所截而形成的内错角。类型二：指出图中某一个角的所有同位角、内错角和同旁内角。B D E F 1 5 图 2 8 4 D B C A E 6 2 F C A 7 3（F 型）（Z 型）（U 型）3 5 4 6 3 5 4 6 A D C B C A B D 图 3 M N A B E C F D 1 4 5 2 3
5、9 6 7 8 10 11 图 4 A E B C 1 6【例 2】如图 3，指出1 的所有同位角、内错角和同旁内角。分析我们知道，“三线八角”中的同位角、内错角和同旁内角都有一个共同特征，那就是有一边共线，即每一对角都有两条边与截线在同一直线上。因此，1 的两条边 AD 与 AC 都可能是“三线八角”中的截线，所以在解这道题时，要分两种情况考虑，一是把 AD看成截线，二是把 AC 看成截线，相应的另一边则是被截线之一，再分别画出分离图形。如果把 AD 看成截线，则是直线 AC、EF 被直线 AD 所截（这时，以点 C 为顶点的角就不用管了），分离图形如图 5，不难看出，1 与8 是同位角，1
6、与6是内错角，1与2是同旁内角。如果把 AC 看成截线，则是直线 AD、EF被直线 AC 所截（这时，以点 B 为顶点的角就不用管了），分离图形如图 6，不难看出，1 与9 是内错角，1 与3 是同旁内角。综上所述，就可以得到以下解答：解1 的同位角有：8 1 的内错角有：6、9 1 的同旁内角有：2、3 类型三：指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。【例 3】如图 3，指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。分析解答这类题目的关键是找准截线，而且图中的每一条线图 5 A B E C F D 1 2 6 7 8 图 6 A B E C F D 1 3 9（直线、身线或线段）都有可能成为截线，
7、这要具体问题具体分析。一条线能否成为截线，就要看能否找到另两条线与这条线相交，并且有两个交点，如果能找到，则可以看成截线，否则，就不能看成截线。如图 3 中的直线 MN，与 AD、AC 都相交，但只有一个交点 A，这时，EF 就不是截线了。图 3 中共有 4 条线，只有 AD、AC、EF 可以看成截线，即 MN、EF被 AD 所截（图 7）；AC、EF 被 AD 所截（图 8）；MN、EF 被 AC 所截（图9）；AD、EF 被 AC 所截（图 10）；AD、AC 被 EF 所截（图 11），分别画出分离图形如下：以上各图中的同位角、内错角和同旁内角如下表所示：图 7 图 8 图 9 图 10
8、 图 11 同位角 5 与7 10 与8 1 与8 无 无 2 与9 6 与3 图 7 M N A B E F D 5 2 6 7 8 10 图 9 M N A E C F 4 3 9 11 图 8 A B E C F D 1 2 6 7 8 图 10 A B E C F D 1 3 9 图 11 A B E C F D 2 3 9 6 7 8 内错角 5 与2 10 与6 1 与6 3 与4 11与9 1 与9 8 与3 同旁内角 5 与6 10 与2 1 与2 11与34 与9 1 与3 2 与3 综上所述，就可以得到以下解答：解同位角有：5 与7、10 与8、1 与8、2 与9、6 与3；内错角有：5 与2、10 与6、1 与6、3 与4、11 与9、1 与9、8 与3；同旁内角有：5 与6、10 与2、1 与2、11 与3、4 与9、1 与3、2 与3。“图形分离法”增强了学生对图形的认知力，消除了学生对几何题的恐惧感，能大大提高分析问题与解决问题的速度。一个难题之所以难，是因为做题者缺少解题思路，没有方法可依，一旦有了思路可循，难题自然也就不攻自破了，而“图形分离法”显然是解决部分几何难题的高手。学生有了这个武器后，再来解决象“三线八角”这样的问题可谓是如虎添翼，胜券在握了。2009-2-15