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1、2020 年山东省临沂市圣翔学校高二数学文下学期期末试题含解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.每道数学选择题都有 4 个选择支，其中只有 1 个选择支是正确的某次考试共有 12 道选择题，如果每题都选择第一个选择支，则结果是 ()A恰有 3 道题选对 B选对的题数与 3 无一定大小关系 C至多选对 3 道题 D至少选对 3 道题 参考答案：B 2.从1，2，3，4，5中随机选取一个数为 a，从1，2，3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是（）A B C D 参考答案：D【考点】等可能事件的概率【分析
2、】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有53 种结果，而满足条件的事件是 a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3 共有 3 种结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有 53 种结果，而满足条件的事件是 a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3 共有 3 种结果，由古典概型公式得到 P=，故选 D 3.平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是 （）A三棱柱 B三棱台 C三棱锥 D正方体 参考答案：C 4.已知ABC 的周长为 9，且，则 cosC 的值为()A B C D 参考答案：A 5.设 m，n 是两
3、条不同的直线，、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则来 参考答案：B 6.算法的有穷性是指（）A 算法必须包含输出 B算法中每个操作步骤都是可执行的 C 算法的步骤必须有限 D以上说法均不正确 参考答案：C 7.已知是等比数列，则 参考答案：C 8.下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是（）Aan=2n B C Dan=log2n 参考答案：C【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列定义求解【解答】解：在 A 中，an=2n，=，不是常数，故 A 不成立；在 B 中，=，不是常数，故 B 不成立；在 C 中，an=2n，=，是常数，故 C
4、成立；在 D 中，an=log2n，=，不是常数，故 D 不成立 故选：C 9.若复数的积为纯虚数，则实数 a等于 （）A3 B5 C6 D7 参考答案：A 略 10.已知函数，若，则 a 的值是（）A B C D 参考答案：C 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是_ 参考答案：略 12.双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为 e，则的最小值为 参考答案：【考点】双曲线的简单性质；基本不等式【分析】根据条件，确定几何量之间的关系，再利用基本不等式，即可得到结论【解答】解：由题意，b=，c=2a=（当且仅当 a=时取等
5、号）当 a=时，的最小值为 故答案为：【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查基本不等式的运用，属于中档题 13.函数在上的最大值是 .参考答案：12 14.已知且则 参考答案：15.已知等比数列各项均为正数,前项和为，若，则_.参考答案：31 略 16.高安二中高中年级早上 7 点早读，假设该校学生小 x 与小 y 在早上 6：306：50 之间到校且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小 x 比小 y 至少早 5 分钟到校的概率为 参考答案：【考点】几何概型【专题】应用题；整体思想；定义法；概率与统计【分析】设小 x 到校的时间为 x，小 y 到校的时间为 y（x，y）可以看成平面中的
6、点试验的全部结果所构成的区域为=（x，y|0 x20，0y20是一个矩形区域，则小 x比小 y 至少早 5 分钟到校事件 A=（x，y）|yx5作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可【解答】解：设小 x 到校的时间为 x，小 y 到校的时间为 y（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为=（x，y|0 x20，0y20是一个矩形区域，对应的面积 S=2020=400，则小 x 比小 y 至少早 5 分钟到校事件 A=x|yx5作出符合题意的图象，则符合题意的区域为ADE，联立得，即 D（15，20），联立得，即 E（0，5），则 SADE=1515=几何概率模型可
7、知小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为=故答案为：啊啊【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键 17.设椭圆的左、右焦点分别是 F1，F2，如果在椭圆上存在一点 p，使F1PF2为钝角，则椭圆离心率的取值范围是 参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】由F1PF2为钝角，得到?0 有解，转化为 c2x02+y02有解，求出 x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围【解答】解：设 P（x0，y0），则|x0|a，又F1PF2为钝角，当且仅当?0 有解，即 c2x02+y02有解，即 c2（x02+y
8、02）min 又 y02=b2x02，x02+y02=b2+x02b2，a2），即（x02+y02）min=b2 故 c2b2，c2a2c2，即 e，又 0e1，e1 故答案为：三、解答题：本大题共 5 小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.已知数列，其前 n项和为 Sn；（1）计算 S1，S2，S3，S4；（2）猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.参考答案：（1）；（2），证明见解析【分析】（1）根据已知条件，计算出的值；（2）由（1）猜想，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明.【详解】（1）计算，（2）猜想.证明：当时，左边，右边，猜想成立.假设猜想成立
9、.即成立，那么当时，而，故当时，猜想也成立.由可知，对于，猜想都成立.【点睛】本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题.19.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求 a的取值范围.参考答案：（1）当时，即 ，故不等式的解集为 .5分（2）当时成立，等价于当时成立 若，则当时，不合题意舍去；若，的解集为，所以，故 综上，的取值范围为.10分 20.（本小题满分 14 分）选修 4-5：不等式选讲(1)已知函数，若不等式对任意且恒成立，求 x 的取值范围 (2)对于 xR，不等式|x1|+|x2|2+2+2恒成立，试求+2+3的最大值。参考答案：
10、（1）不等式对任意且恒成立转化为对任意且恒成立。2 分 因为 所以 4 分 所以解不等式：，或，或 6 分 得 7 分(2)|1|+|2|=|1|+|2|1+2|=1,9 分 当且仅当（1）（2x）0 取等号，故2+2+21.10 分 由柯西不等式(+2+3)2(12+22+32)(2+2+2)14.12 分 由 ,即取，时等号成立.故(+2+3)max=.14 分 21.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G 四点共面；（2）平面 EFA1平面 BCHG 参考答案：考点：平面与平面平行的判定 专题：空间位
11、置关系与距离 分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明 GHB1C1，从而可得 GHBC，即可证明 B，C，H，G 四点共面；（2）证明平面 EFA1中有两条直线 A1E、EF 分别与平面 BCHG 中的两条直线 BG、BC 平行，即可得到平面 EFA1平面 BCHG 解答：证明：（1）G、H 分别为 A1B1，A1C1中点，GHB1C1，三棱柱 ABCA1B1C1中，BCB1C1，GHBC B、C、H、G 四点共面；（2）E、F 分别为 AB、AC 中点，EFBC EFBCB1C1GH 又E、G 分别为三棱柱侧面平行四边形 AA1B1B 对边 AB、A1B1中点，四边形 A1EBG 为平行四边形，A1EBG 平面 EFA1中有两条直线 A1E、EF 分别与平面 BCHG 中的两条直线 BG、BC 平行 平面 EFA1平面 BCHG 点评：本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 22.已知函数（）（1）若在处取得极大值，求实数的取值范围；（2）若，且过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值.参考答案：（）由题 由得（）所以 因为过点且与曲线相切的直线有且仅有两条，令切点是，则切线方程为 由切线过点，所以有 整理得 所以 ,即为所求