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1、 小题提速练(四)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合Ax|ylg(x23x4)，By|y21x2，则AB()A(0，2 B(1，2 C2，4)D(4，0)解析：选 B.Ax|x23x40 x|x1 或x4，By|0y2，AB(1，2，故选 B.2已知复数z满足z(1i)21i(i 为虚数单位)，则|z|为()A.12 B22 C.2 D1 解析：选 B.解法一：因为复数z满足z(1i)21i，所以z1i（1i）21i2i1212i，所以|z|22，故选 B.解法二：因为复数z满足z(1i)21i，所以|z|1
2、i（1i）2|1i|1i|222，故选 B.3下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx3 Byln|x|Cycos x Dy2|x|解析：选 D.显然函数y2|x|是偶函数，当x0 时，y2|x|12|x|12x，函数y12x在区间(0，)上是减函数故选 D.4命题“x0，xx10”的否定是()Ax0，xx10 Bx0，0 x1 Cx0，xx10 Dx0，0 x1 解析：选 B.xx10，x0 或x1，xx10 的否定是 0 x1，命题的否定是x0，0 x1，故选 B.5某单位有老年人 27 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们的身体状况的某项指标，
3、需从他们中间抽取一个容量为 42 的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是()A7，11，18 B6，12，18 C6，13，17 D7，14，21 解析：选 D.因为该单位共有 275481162(人)，样本容量为 42，所以应当按42162727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是 7、14、21，选 D.6把边长为 1 的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，形成的三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.12 B22 C.24 D14 解析：选 D.由三棱锥CABD的正视图、俯视图得三棱锥CABD的侧视图
4、为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥CABD的侧视图的面积为14，故选D.7已知平面上的单位向量e1与e2的起点均为坐标原点O，它们的夹角为3.平面区域D由所有满足OPe1e2的点P组成，其中1，0，0，那么平面区域D的面积为()A.12 B 3 C.32 D34 解析：选 D.建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e1(1，0)，e212，32，设向量OP(x，y)，因为OPe1e2，所以x2，y32，即x3y3，2 3y3，因为1，0，0，所以3xy 3，3xy0，y0表示的平面区域D如图中阴影部分所示，所以平面区域D的面积为S1213234，故选 D.8函数f(x
5、)Asin(x)(A，是常数，A0，0，|2的部分图象如图所示，若方程f(x)a在4，2上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A.22，2 B22，2 C.62，2 D62，2 解析：选 B.由函数f(x)的部分图象可得，T471234，函数f(x)的最小正周期为，最小值为 2，所以A 2，22，所以f(x)2sin(2x)，将点712，2 的坐标代入得，sin761，因为|2，所以3，所以f(x)2sin2x3.若f(x)a在4，2上有两个不等的实根，即在4，2函数f(x)的图象与直线ya有两个不同的交点，结合图象(略)，得22a 2，故选 B.9设an是公比q1 的等比数列，若a2
6、016和a2 017是方程 4x28x30 的两根，则a2 018a2 019 ()A18 B10 C25 D9 解析：选 A.a2 016，a2 017是方程 4x28x30 的两根，a2 016a2 0172，a2 016a2 01734，即a2 016（1q）2，a22 016q34，解得a2 01612，q3或a2 01632，q13，q1，a2 01612，q3，a2 018a2 019a2 016(q2q3)18，故选 A.10在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x轴所围成的三角形的面积为()A
7、.24 B22 C.28 D216 解析：选 C.设双曲线C1的左顶点为A，则A22，0，双曲线的渐近线方程为y 2x，不妨设题中过点A的直线与渐近线y 2x平行，则该直线的方程为 y 2x22，即y 2x1.联立，得y 2x，y 2x1，解得x24，y12.所以该直线与另一条渐近线及x轴所围成的三角形的面积S12|OA|1212221228，故选 C.11在球O内任取一点P，则点P在球O的内接正四面体中的概率是()A.112 B312 C.2 39 D36 解析：选 C.设球O的半径为R，球O的内接正四面体的棱长为 2a，所以正四面体的高为2 33a，所以R263a22 3a3R2，即 3a
8、2R，所以正四面体的棱长为2 6R3，底面面积为122 6R3 2R2 33R2，高为4R3，所以正四面体的体积为8 327R3，又球O的体积为43R3，所以P点在球O的内接正四面体中的概率为2 39，故选 C.12设函数f(x)（a2）x，x2，12x1，x2，anf(n)(nN*)，若数列an是单调递减数列，则实数a的取值范围为()A(，2)B，74 C.，138 D138，2 解析：选 B.f(x)（a2）x，x2，12x1，x2，anf(n)（a2）n，n2，12，n1，数列an是单调递减数列，a20，122a4，解得a74，故选 B.二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共
9、20 分)13 若P(2，1)为 圆(x 1)2y2 25 的 弦AB的 中 点，则 直 线AB的 方 程 是_ 解析：记题中圆的圆心为O，则O(1，0)，因为P(2，1)是弦AB的中点，所以直线AB与直线OP垂直，易知直线OP的斜率为1，所以直线AB的斜率为 1，故直线AB的方程为y1x2，即xy30.答案：xy30 14某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：货物 体积(升/件)重量(千克/件)利润(元/件)甲 20 10 8 乙 10 20 10 运输限制 110 100 在最合理的安排下，获得的最大利润为_元 解析：设该货运员运送甲种货物x件，乙种
10、货物y件，获得的利润为z元，则由题意得 20 x10y110，10 x20y100，xN，yN，即2xy11，x2y10，xN，yN，z8x10y，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z8x10y经过点A(4，3)时，目标函数z8x10y取得最小值，zmin62，所以获得的最大利润为 62 元 答案：62 15已知 0 x32，则y2x932x的最小值为_ 解析：解法一：y2x932x5x6x（32x），设 5x6t，则xt65，0 x23，6t283，y5x6x（32x）25t2t239t162252t81t396t283，记f(t)t81t6t283，易知f(
11、t)在(6，9)上是减函数，在9，283上是增函数，当t9时函数f(t)t81t取得最小值，最小值为 18，当t9 时函数y252t81t39取得最小值，最小值为253.解法二：y42x932x132x(32x)42x932x131318x32x4（32x）2x 13132 18x32x4（32x）2x253(当且仅当18x32x4（32x）2x即x350，32时取等号)答案：253 16 已知函数f(x)aln x12x2(a0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有f（x1）f（x2）x1x22 恒成立，则a的取值范围是_ 解析：因为x1x2，所以f（x1）f（x2）x1x2表示函数f(x)图象上任意两点的连线的斜率，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有f（x1）f（x2）x1x22 恒成立，则f(x)xax2(a0)对任意正实数x恒成立，又xax2 a，所以 2 a2，所以a1.答案：a1