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1、-【因式分解】讲义 知识点 1：分解因式的定义 1、分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。例如：判断以下从左边到右边的变形是否为分解因式：8)3)(3(892xxxx)49)(49(4922yxyxyx 9)3)(3(2xxx)2(222yxxyxyxyyx 知识点 2：公因式 公因式：定义：我们把多项式各项都含有的一样因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式确实定：1符号:假设第一项为哪一项负号则先把负号提出来提出负号后括号里每一项都要变号 2系数：取系数的最大公约数；3字母：取字母或多项式的指数最低的；4所有这些因式的乘积即为公因式；
2、例如：1、的公因式是多项式 963ab-abyabx _ 2、多项式3223281624a b ca bab c分解因式时，应提取的公因式是 3、342)()()(nmmnynmx的公因式是_ 知识点 3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，则就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成 几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1、可以直接提公因式的类型：13442231269bababa=_ 211nnnaaa=_ 3542)()()(babaybax=_ 4不解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值-2
3、、式子的第一项为负号的类型：133222864yxyxyx=_ 243)(12)(8)(4nmnmnm=2假设被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解特别是用到平方差公式时 如：22188yx=1、多项式:abyabxab24186的一个因式是ab6,则另一个因式是 2、分解因式5(y*)310y(y*)3 3、公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的 因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。假设同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次 里面的字母的位置，如：）（）（）（）（1-x-yx-yx-y-x-y)(-
4、)(55656xyyx 例：(1)ba2+aab+bba 2 a+bc ab+c+ba+c bac 3a ababaab ba()()()32222 1、把多项式 m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于 2、多项式)3()3(3yxyx的分解因式结果 3、分解因式：1)()()(yxxynyxm)26(*y)43y(y*)5 知识点 4、公式法分解因式 公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，则就可以用来把*些多项式分解因式，这种分解因式的方法 叫做公式法。一、平方差公式分解因式法 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即 a2-b2=(a+b)(a-b)特点：a.是一
5、个二项式，每项都可以化成整式的平方.b.两项的符号相反.-例如：1、判断能否用平方差公式的类型 1以下多项式中不能用平方差公式分解的是 A、-a2+b2 B、-*2-y2 C、49*2y2-z2 D、16m4-25n2p2 2以下各式中，能用平方差分解因式的是 A22yx B22yx C22xyx D21y 2、直接用平方差的类型：22916yx 1252x14x 3、整体的类型：22)(nnm22)32()(yxyx 4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型 m34m=aa3 练习：将以下各式分解因式 22241xx100*281y2 9(ab)2(*y)2；二、完全平方式分解因式法 完全平
6、方公式：两个数的平方和，加上或减去这两数的乘积的 2 倍，等于这两个数的和或差的平方。即 a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2 特点：1多项式是三项式；2其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；3另一项为哪一项这两数或两式乘积的 2 倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进展因式分解 如：以下多项式能分解因式的是 Ayx 2 B22yx Cyyx22 D962 xx 2、关于求式子中的未知数的问题 如：1、假设多项式162kxx是完全平方式，则 k 的值为 2假设kxx692是关于*的完全平方式，则 k=3.假设49)3(22xmx是关于*的完
7、全平方式则 m=_ 3、直接用完全平方公式分解因式的类型 2816xx；224129xxyy；224xxyy；224493mmnn-4、整体用完全平方式的类型 (*2)212(*2)36；2)()(69baba 5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型 -4*3+16*2-16*；21a*2y2+2a*y+2a：2,1yxab，求xyababyabx63322的值 练习：分解因式 1442 xx2641622axxa34224168bbaa 449)(14)(2yxyx52)()(69baba 622312123xyyxx721222xx 知识点 5、十字相乘法分解因式 十字相乘法分解因式
8、：逆用整式的乘法公式：*+a*+b=abxbax)(2，用来把*些多项式分解因 式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。1、二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式)()(2bxaxabxbax进展分解。特点：1二次项系数是 1；2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和。例题讲解 1、分解因式：652 xx 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5 1 2 解：652 xx=32)32(2xx 1 3 =)3)(2(xx 12+13=5 用此方法进展分解
9、的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解 2、分解因式：672 xx 解：原式=)6)(1()6()1(2xx 1 -1 =)6)(1(xx 1 -6 -1+-6=-7 练习 分解因式(1)24142xx (2)36152aa (3)542 xx (4)22 xx (5)1522yy (6)24102xx 2、二次项系数不为 1 的二次三项式cbxax2 条件：121aaa 1a1c 221ccc 2a2c 31221cacab1221cacab 分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa 例题讲解 1、分解因式：101132xx 分析：1 -
10、2 3 -5 -6+-5=-11 解：101132xx=)53)(2(xx 分解因式：16752 xx22732 xx 3317102xx4101162yy 3、二次项系数为 1 的齐次多项式 例题讲解、分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进展分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)=-8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba 分解因式(1)2223yxyx (2)2286nmnm (3)226baba 4、二次项系数不为 1 的齐次多项式 例题讲解22672yxyx232
11、2 xyyx 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 -(-3y)+(-4y)=-7y (-1)+(-2)=-3 解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy 分解因式：1224715yxyx28622 axxa 如:分解因式：1072 xx3522 xx a2+6ab+5b2 *2+5*+6 *2-5*+6 *2-5*-6 练习题：*2+7*+12 *2-8*+12 *2-*-12 *2+4*-12 y2+23y+22 *2-8*-20 *2+9*y-36 y2 *2+5*-6 知识点 6、分组的方法分解因式 如：mmm205443144224xyx 练习题：1222449cbcba2124323xxx322962yyxx 444922yyx54222yxyxy 小结：因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用一提二公三叉四分这句话来概括。一提是指首先考虑提取公因式；二公即然后考虑运用公式两项用平方差公式或立方和、立方差公式，三项的用完全和平方、差平方公式；三叉就是二次三项式能否进展十字相乘法；四分是四项以上考虑分组分解法。