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1、不等式（一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：abba (2)传递性：cacbba,(3)加法法则：cbcaba；dbcadcba,(同向可加)(4)乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：baabba110,(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式00022acbxaxcbxa
2、x或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0 二次函数 cbxaxy2（0a）的图象 cbxaxy2 cbxaxy2 cbxaxy2 一元二次方程 的根002acbxax 有两相异实根)(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221 无实根 的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R 的解集)0(02acbxax 21xxxx 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不
3、等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf xf xf x g xg xg xg x 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域
4、的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题：一
5、般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式2abab 1若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号.2如果 a,b 是正数，那么).(2号时取
6、当且仅当baabba 变形：有:a+bab2；ab22ba,当且仅当 a=b 时取等号.3如果 a,bR+,ab=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值P2;如果 a,bR+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值42S.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数）：（2）a、b、cR，
7、222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系 题型一：不等式的性质 1.对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0则若；baabba则若,0；baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是_ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小 3.比较 1+3logx与)10(2log2xxx
8、且的大小 4.若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 .（二）解不等式 题型三：解不等式 5.解不等式 6.解不等式2(1)(2)0 xx。7.解不等式25123xxx 8.不等式2120axbx的解集为x|-1x2，则a=_,b=_ 9.关于x的不等式0bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为 10.解关于 x 的不等式2(1)10axax 题型四：恒成立问题 11.关于 x 的不等式 a x+a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是_ 12.若不等式22210 xmxm 对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.1
9、3.已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。（三）基本不等式2abab 题型五：求最值 14.（直接用）求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 15.（配凑项与系数）（1）已知54x，求函数14245yxx的最大值。（2）当时，求(82)yxx的最大值。16.（耐克函数型）求2710(1)1xxyxx 的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af xxx的单调性。17.（用耐克函数单调性）求函数2254xyx的值域。18.（条件不等式）（1）若实数满足2ba，则ba33 的最小值是 .（2）已知0,0 xy
10、，且191xy，求xy的最小值。（3）已知 x，y 为正实数，且 x 2y 22 1，求 x 1y 2 的最大值.（4）已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y1ab 的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式 19.已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 20.正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 21.已知 a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc 题型七：均值定理实际应用问题：22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间
11、两条隔墙建筑单价为每米 248元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。（四）线性规划 题型八：目标函数求最值 23.满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk 3的最大值 24.已知实系数一元二次方程2(1)10 xa xab 的两个实根为1x、2x,并且102x,22x 则1ba的取值范围是 则222xyx的最小值是 25.已 知,x y满 足 约 束 条 件：26.已知变量230,330.10 xyx yxyy 满足约束条件若目标函数zaxy（其中 a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为
12、 。27.已知实数xy，满足121yyxxym，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于（）题型九：实际问题 28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过 350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？03440 xxyy复习不等式的基本知识参考答案 高中数学必修内容练习-不等式 1.；2.pq；3.当01x或43x 时，1+3logx2log 2x；当413x时，1+3logx2log 2x；当43x 时，1+3logx2log 2x 4.
13、1 ba 0lg,0lgba21Q（pbabalglg)lglg QababbaRlg21lg)2lg(RQP。5.6.|1x x 或2x ；7.(1,1)(2,3)）；8.不等式2120axbx的解集为x|-1x2，则a=_-6_,b=_6_ 9.),2()1,(）.10.解：当 a0 时，不等式的解集为1x x；2 分 当 a0时，a(xa1)(x1)0；当 a0时，原不等式等价于(xa1)(x1)0 不等式的解集为11x xxa或；.6分 当0a1时，1a1，不等式的解集为11xxa；.8分 当 a1时，a11，不等式的解集为11xxa；.10分 当 a1时，不等式的解为 .12分 11
14、._0 x4_ 12.12m ）13.,16m 14.解：（1）y3x 212x 2 23x 212x 2 6 值域为 6，+）（2）当 x0 时，yx1x 2x1x 2；当 x0 时，yx1x=（x1x）2x1x =2 值域为（，22，+）15.（1）解5,5404xx，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。（2）当，即 x2 时取等号 当 x2 时，(82)yxx的最大值为 8。16.解析一：当,即时,421)591yxx（当且仅当 x1 时取“”号）。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1
15、，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即 t=时,4259ytt（当 t=2 即 x1 时取“”号）。17.解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。18.（条件不等式）（1）解：ba33 和都是正数，ba33 632332baba 当ba33 时等号成立，由2ba及ba33 得1 ba即当1 ba时，ba33 的最小值是 6（2）解：190
16、,0,1xyxy，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy（3）解：x 1y 2 x 21y 22 2 x12 y 22 下面将 x，12 y 22 分别看成两个因式：x12 y 22 x 2(12 y 22 )22 x 2y 22 12 2 34 即 x 1y 2 2 x 12 y 22 34 2 （4）解：法一：a302bb1，ab302bb1 b2 b 230bb1 由 a0 得，0b15 令 tb+1，1t16，ab2t 234t31t 2（t16t）34t16t 2t16t 8 ab18 y 11
17、8 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b22 ab 30ab22 ab 令 u ab 则 u22 2 u300，5 2 u3 2 ab 32，ab18，y118 19.已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 20.正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 21.已知 a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc 证明：a、b、cR，1abc。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bcacababca
18、bc。当且仅当13abc时取等号。22.解：若设污水池长为 x 米，则宽为（米）23.水池外圈周壁长：（米）24.中间隔墙长：（米）25.池底面积：200（米2）26.目标函数：27.28.4 29.)21,3(30.1 31.),21(。32.5 33.解：设一盒內放入 x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为 z 元 34.则 x，y 必须满足，35.目标函数为 z15x10y 36.37.在可行区內的顶点附近zf(x，y)的最大值，38.所以，一盒内装 2 个豆沙月饼 8 个凤梨月饼或 4 个豆沙月饼 5 个凤梨月饼，可得最大利润110 元。39.绝对值不等式的解法：方法 1：利用绝对值性
19、质：cbaxccbax|cbaxcbaxcbax或|一般的：)()()()(|)(|xgxfxgxgxf)()()()()(|)(|xgxfxgxfxgxf或 特别地：xxfxf)(|)(|0)()(|)(|xfxfxf axfbbxfaabbxfa)()()0(|)(|或 练习 1：不等式2|2 xx的解集为_ 2、解不等式xx2|3|2 3、不等式5|2|1 x的解集是 4、不等式)(02|2Rxxx的解集是_ 方法 2：利用绝对值定义：)0(,)0(,|xxxxx将不等式同解变形为不等式组（即分类讨论思想）cbaxbaxacbaxbaxcbax)(00|或上面 5 题都可用此法 方法 3
20、：零点分区间法，（含有多个绝对值的不等式时可用此法）练习 1、解不等式3|1|1|xx 0212xx 方法 4：平方法：若不等式两边均为非负数，对其两边同时平方，再解不等式。（切记：若用平方法，则不等式两边必须都是非负数,只有这样，才能运用平方法。）22)()0(|cbaxccbax 0)()()()()()(|)(|)(|22xgxfxgxfxgxfxgxf 练习 1、不等式1|11|xx的解集为_ 2、不等式|2|xx的解集是 绝对值不等式性质定理的运用：|bababa，特别是用此定理求函数的最值。练习 1、不等式aaxx3|1|3|2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_ 2、若不等
21、式axx|3|2|，对于Rx均成立，那么实数a的取值范围是_ 含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0|abab|abab；ab、异号或有0|abab|abab.如设2()13f xxx，实数a满足|1xa，求证：|()()|2(|1)f xf aa 练习：1、已知31,11yxyx，求yx3的取值范围。2、已知cba，且0cba，求ac的取值范围。3、正数yx,满足12 yx，求yx11的最小值。4、设实数yx,满足1)1(22 yx，当0cyx时，求c的取值范围。5、已知函数2()(0)f xaxbx a满足1(1)2f，2(1)5f，求(3)f 取值范围。6、已知：a、b都是正数，且1ab，1aa，1bb，求的最小值 7、已知集合045|2xxxA与022|2aaxxxB，若AB，求a的取值范围。8、若关于x的方程0124aaxx有实数解，求实数a的取值范围。