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1、不等式不等式（一）不等式与不等关系（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a(2)传递性：a b,b c a c(3)加法法则：a b a c bc；a b,c d a c b d(同向可加)(4)乘法法则：a b,c 0 ac bc；a b,c 0 ac bca b 0,c d 0 ac bd(同向同正可乘)(5)倒数法则：a b,ab 0(7)开方法则：a b 0 n11(6)乘方法则：a b 0 an bn(n N*且n 1)aba nb(n N*且n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3
2、、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax bx c 0或ax bx c 0a 0的解集：222设相应的一元二次方程ax bx c 0a 0的两根为x1、x2且 x1 x2，b 4ac，则不等式的解的2各种情况如下表：二次函数 0 0 0y ax2 bx cy ax2 bx cy ax2 bx cy ax2 bx c（a 0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根ax bxc 02a 0的根ax2bxc 0(a 0)的解集ax2bxc 0(a 0)的解集x1,x2(x1 x2)x1 x2 b2ax x x 或x x12b x x
3、2aRx x1 x x22 2、分式不等式的解法、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并并使每一个因式中最高次项的系数为正使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。f(x)0 f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0 g(x)0g(x)3 3、不等式的恒成立问题、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式fx A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmin A若不等式fx B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxm
4、ax B（三）线性规划（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0 时，常把原点原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件线性约束条件：在
5、上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数线性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数线性规划问题线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出
6、线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式（四）基本不等式ab ab21若 a,bR R,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号.2如果 a,b 是正数，那么a bab(当且仅当a b时取号).2 a b变形：有:a+b2 ab；ab,当且仅当 a=b 时取等号.23如果 a,bR+R+,ab=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值2 P;2S2如果 a,bR+R+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值.4注：（1）当两个正数的
7、积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”a2b2a bab 2(根据目标不等式左右的运算结构选用)；2211ab平方平均算术平均几何平均调和平均平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数）：4.常用不等式有：（1）（2）a、b、cR R，a2 b2 c2 ab bc ca（当且仅当a b c时，取等号）；（3）若a b 0,m 0，则bbm（糖水的浓度问题）。aam不等式主要题型讲解不等式主要题型讲解（一）（一）不等式与不等关系不等式与不等关系题型一：不等式的性质题型一：
8、不等式的性质1.对于实数a,b,c中，给出下列命题：若a b,则ac bc；若ac bc,则a b；若a b 0,则a ab b；若a b 0,则若a b 0,则22222211；abba；若a b 0,则a b；abab11若c a b 0,则；若a b,，则a 0,b 0。abc ac b其中正确的命题是_题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.设a 2，p a 21，q 2a 4a2，试比较p,q的大小a 23.比较 1+logx3与2logx2(x 0且x 1)的大小4.若a b 1,P lgalg
9、b,Q 1a b(lga lgb),R lg()，则P,Q,R的大小关系是 .22（二）（二）解不等式解不等式题型三：解不等式题型三：解不等式5.解不等式6.解不等式(x1)(x2)2 0。5 x7.解不等式2 1x 2x38.不等式ax2bx12 0的解集为x|-1x2，则a=_,b=_9.关于x的不等式axb 0的解集为(1,)，则关于x的不等式10.解关于 x 的不等式ax2(a 1)x1 0题型四：恒成立问题题型四：恒成立问题11.关于 x 的不等式 a x+a x+10恒成立，则 a 的取值范围是_ax b 0的解集为x 212.若不等式x22mx 2m1 0对0 x 1的所有实数x
10、都成立，求m的取值范围.13.已知x 0,y 0且191，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。xy（三）基本不等式（三）基本不等式ab ab2题型五：求最值题型五：求最值14.（直接用）求下列函数的值域11（1）y3x 2 2（2）yx2xx15.（配凑项与系数）（1）已知x（2）当时，求y x(82x)的最大值。5，求函数y 4x21的最大值。44x5x27x10(x 1)的值域。16.（耐克函数型）求y x1注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x17.（用耐克函数单调性）求函数y
11、18.（条件不等式）（1）若实数满足ab 2，则3a 3b的最小值是 .（2）已知x 0,y 0，且（3）已知 x，y 为正实数，且1（4）已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y的最小值.ab题型六：利用基本不等式证明不等式题型六：利用基本不等式证明不等式19.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2a的单调性。的单调性。xx25x 42的值域。191，求x y的最小值。xyx 2y 21，求 x 1y2的最大值.2 b2 c2 ab bc ca20.正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc21.已知 a、b、cR，且abc 1。求证：1 1 1
12、1118abc题型七：均值定理实际应用问题：题型七：均值定理实际应用问题：22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。（四）线性规划（四）线性规划题型八：目标函数求最值题型八：目标函数求最值2x y 3 023.满足不等式组7x y 8 0，求目标函数k 3x y的最大值x,y 02已知实系数一元二次方程x(1a)xab1 0的两个实根为x1、x2,并且0 x1 2,x2
13、2则24.b的取值范围是a1x 03x4y 4y 025.已 知x,y满 足 约 束 条 件：22x y 2x的最小值是则x2y3 026.已知变量x,y满足约束条件x3y 3 0.若目标函数z ax y（其中 a0）仅在点（3，0）处取y1 0得最大值，则 a 的取值范围为。y 1，27.已知实数x，y满足y 2x1，如果目标函数z x y的最小值为1，则实数m等于（）x y m题型九：实际问题题型九：实际问题28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过 350 元，问豆沙
14、月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习不等式的基本知识参考答案复习不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习高中数学必修内容练习-不等式不等式1.2.3.；p q；当0 x 1或x 2444时，1+logx32logx2；当1 x 时，1+logx32logx2；当x 时，1+logx33332logx4.a b 1lga 0,lgb 0Q 1（lgalgb)lgalgb p2a b1R lg()lgab lgab QRQP。225.6.7.8.9.x|x 1或x 2；(1,1)(2,3)）不等式ax2bx 12 0的解集为x|-1x2，则a=_-6_,b=_6_(,1
15、)(2,)）.10.解：当 a0 时，不等式的解集为x x 1；2 分当 a0 时，a(x11)(x1)0；当 a0时，原不等式等价于(x)(x1)0aa1；.6 分a不等式的解集为x x 1或x 当0a1时，111，不等式的解集为x 1 x；.8分aa11当 a1时，1，不等式的解集为x x 1；.10分aa当 a1时，不等式的解为 .12 分11._0 x4_12.13.m 1）2m,16122x 213x 2 2 6值域为 6，+）2x1x2；x1x=2x14.解：（1）y3x 21（2）当 x0 时，yx2x11当 x0 时，yx=（x）2xx值域为（，22，+）15.（1）解511x
16、,54x 0，y 4x2 54x3 23144x554x当且仅当54x 1，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax1。54x（2）当16.解析一：，即 x2 时取等号当 x2 时，y x(82x)的最大值为 8。当,即时,y 2（x1)45 9（当且仅当 x1 时取“”号）。x1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。(t 1)27(t 1）+10t25t 44y=t 5ttt4当,即 t=时,y 2 t59（当 t=2 即 x1 时取“”号）。t17.解：令2x24 t(t 2)，则y x 5x2 4 x241 t (t 2)tx24111
17、 0,t1，但t 解得t 1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt51因为y t 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。2t因t所以，所求函数的值域为5,。218.（条件不等式）（1）当3a解：3a和3b都是正数，3a 3b2 3a3b 2 3ab 6 3b时等号成立，由ab 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是 6解：（2）19 y9x19x 0,y 0,1，x y x y10 610 16xyxyxy当且仅当19y9x1，可得x 4,y 12时，x ymin16时，上式等号成立，又xyxy解：x 1y2x1y 22 2 x21y 22
18、2（3）下面将 x，1y 2分别看成两个因式：22x 2(1y 22y 21 )x 222223即 x 1y2 2 x224x1y 2221y 232242（4）302b302b2 b230b解：法一：a，abbb1b1b1由 a0 得，0b152t234t311616令 tb+1，1t16，ab2（t）34t2tttt168t ab18 y1当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。18法二：由已知得：30aba2b a2b22 ab 30ab22 ab令 u ab则 u 2 2 u300，5 2 u3 21 ab 32，ab18，y1819.已知2a,b,c为两两不相等的实数，求证：a
19、2 b2 c2 ab bc ca 1 1 11118abc。同理20.正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc21.已知 a、b、cR，且abc 1。求证：证明：a、b、cR，abc 1。11abc2 bc1aaaa12 ac1bb，12 ab。上述1cc三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 1 1 12 bc 2 ac 2 ab。当且仅当时取等号。a b c 111 83abcabc22.解：若设污水池长为 x 米，则宽为23.水池外圈周壁长：24.中间隔墙长：（米）（米）（米）25.池底面积：200（米2）26.目标函数：27.28.4(3,29.30.13
20、1.1)21(,)。232.533.解：设一盒內放入 x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为 z 元34.则 x，y 必须满足35.目标函数为 z15x10y，36.37.在可行区內的顶点附近 zf(x，y)的最大值，38.所以，一盒内装 2 个豆沙月饼 8 个凤梨月饼或 4 个豆沙月饼 5 个凤梨月饼，可得最大利润 110 元。39.绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法：方法 1：利用绝对值性质：|ax b|c c ax b c|ax b|c ax b c或ax b c一般的：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)特别地：|f(x)
21、|f(x)x|f(x)|f(x)f(x)0a|f(x)|b(b a 0)a f(x)b或b f(x)a练习 1：不等式|x2 x|2的解集为_2、解不等式|x23|2x3、不等式1|x 2|5的解集是4、不等式x2|x|2 0(xR)的解集是_方法方法 2 2：利用绝对值定义：利用绝对值定义：x,(x 0)将不等式同解变形为不等式组（即分类讨论思想）|x|x,(x 0)axb 0axb 0上面 5 题都可用此法|axb|c a或axb c(axb)c方法方法 3 3：零点分区间法，：零点分区间法，（含有多个绝对值的不等式时可用此法）练习 1、解不等式|x 1|x 1|32x1 x2 0方法方法
22、 4 4：平方法：平方法：若不等式两边均为非负数，对其两边同时平方，再解不等式。（切记：若用平方法，则不等式两边必须都是非负数,只有这样，才能运用平方法。）|ax b|c(c 0)(ax b)2 c2|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2 f(x)g(x)f(x)g(x)0练习 1、不等式|x 1|1的解集为_x 12、不等式|x 2|x|的解集是绝对值不等式性质定理的运用：绝对值不等式性质定理的运用：|a|b|a b|a|b|，特别是用此定理求函数的最值。，特别是用此定理求函数的最值。练习 1、不等式|x 3|x 1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_2、若不等式|x 2
23、|x 3|a，对于xR均成立，那么实数a的取值范围是_含绝对值不等式的性质含绝对值不等式的性质：a、b同号或有同号或有0|ab|a|b|a|b|a b|；a、b异号或有异号或有0|a b|a|b|a|b|a b|.如如设f(x)x x13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)2练习：练习：1、已知1 x y 1,1 x y 3，求3x y的取值范围。c2、已知a b c，且abc 0，求a的取值范围。113、正数x,y满足x2y 1，求xy的最小值。4、设实数x,y满足x(y 1)1，当x y c 0时，求c的取值范围。5、已知函数f(x)ax bx(a 0)满足1 f(1)2，2 f(1)5，求f(3)取值范围。6、已知：a、b都是正数，且ab 1，a27、已知集合A x|x 5x 4 0与B x|x 2axa2 0，若B A，求a的取值范围。22211，b，求的最小值ab28、若关于x的方程4 a2 a1 0有实数解，求实数a的取值范围。xx