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1、三角形 ABC 中三边平方之间的关系 三角形 ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,若角 C=90,根据勾股定理则 a+b=c,若三角形 ABC 不是直角三角形,请类化勾股定理，证明 a+b与 c的关系。解：若ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2c2（1 分）若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有 a2+b2c2（2 分）当ABC 是锐角三角形时，证明：过点 A 作 ADBC，垂足为 D，设 CD 为 x，则有 BD=a-x（3 分）根据勾股定理，得 b2-x2=AD2=c2-（a-x）2 即 b2-x2=c2-a2+2ax-x2 a2+b2=c2+2ax（5 分）a0，x0，2ax0
2、 a2+b2c2（6 分）当ABC 是钝角三角形时，证明：过 B 作 BDAC，交 AC 的延长线于 D 设 CD 为 x，则有 BD2=a2-x2（7 分）根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2 即 a2+b2+2bx=c2（9 分）b0，x0，2bx0，a2+b2c2 解：当ABC 为锐角三角形时，做 BC 边上的高 ADBC 于 D，ADC=ADB=90。设 CD为 x，BD 为 a-x。在 RtACD 和 RtABD 中，ADC=ADB=90。由勾股定理得：AD=b-x=c-（a-x），b-x=c-a+2ax-x，a+b-2ax=c。2ax0，a+bc 当ABC 为钝角三角形时
3、，做 BC 边上的高 ADBC 的延长线于 D，D=90。设 CD 为 y，BD 为 a+y。在 RtACD 和 RtABD 中，D=90，由勾股定理得：AD=b-y=c-（a+y），b-y=c-a-2ay+y，a+b+2ay=c，2ay0，a+b 解：若ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2c2 若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有 a2+b2c2 当ABC 是锐角三角形时，证明：过点 A 作 ADBC，垂足为 D，设 CD 为 x，则有 BD=ax 根据勾股定理，得 b2x2=AD2=c2（ax）2 即 b2x2=c2a2+2axx2 a2+b2=c2+2ax a0，x0，2ax0 a
4、2+b2c2 当ABC 是钝角三角形时，证明：过 B 作 BDAC，交 AC 的延长线于 D 设 CD 为 x，则有 BD2=a2x2 根据勾股定理，得（b+x）2+a2x2=c2 即 a2+b2+2bx=c2 b0，x0，2bx0，a2+b2c2 当 c 为最大边时：1)若ABC 为锐角三角形，那么就有：c2a2+b2 2)若ABC 为钝角三角形，那么就有：c2a2+b2 当然，3）若ABC 为直角三角形，那么就有：c2=a2+b2 当ABC 为锐角三角形时，作 CDAB,垂足 D,设 AD=m,则 BD=c-m 根据勾股定理有：b-m=CD，（a-m)+CD=c 即（a-m)+b-m=c a-2am+b=c a+b-c=2am0（a,m 都是正数）所以 a+bc 若ABC 为钝角三角形，b-m=CD，（a+m)+CD=c a+2am+b=c c-（a+b）=2am0 所以 ca+b