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1、-三角形ABC中三边平方之间的关系八年级数学上册-第 4 页三角形ABC中三边平方之间的关系三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若角C=90,根据勾股定理则a+b=c,若三角形ABC不是直角三角形,请类化勾股定理，证明a+b与c的关系。解：若ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2（1分）若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有a2+b2c2（2分）当ABC是锐角三角形时，证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a-x（3分）根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2即b2-x2=c2-a2+2ax-x2a2+b2=c2+2ax（5分）a0，x0，2ax0a2+
2、b2c2（6分）当ABC是钝角三角形时，证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D设CD为x，则有BD2=a2-x2（7分）根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2即a2+b2+2bx=c2（9分）b0，x0，2bx0，a2+b2c2解：当ABC为锐角三角形时，做BC边上的高ADBC于D，ADC=ADB=90。设CD为x，BD为a-x。在RtACD和RtABD中，ADC=ADB=90。由勾股定理得：AD=b-x=c-（a-x），b-x=c-a+2ax-x，a+b-2ax=c。2ax0，a+bc当ABC为钝角三角形时，做BC边上的高ADBC的延长线于D，D=90。设CD为y，BD为a+y。在
3、RtACD和RtABD中，D=90，由勾股定理得：AD=b-y=c-（a+y），b-y=c-a-2ay+y，a+b+2ay=c，2ay0，a+b解：若ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有a2+b2c2当ABC是锐角三角形时， 证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为x，则有BD=ax根据勾股定理，得b2x2=AD2=c2（ax）2即b2x2=c2a2+2axx2a2+b2=c2+2axa0，x0，2ax0a2+b2c2当ABC是钝角三角形时， 证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D 设CD为x，则有BD2=a2x2根据勾股定理，得（b+x）2+a2x2=c2即a2+b2+2bx=c2b0，x0，2bx0，a2+b2c2当c为最大边时： 1)若ABC为锐角三角形，那么就有：c2a2+b2 2)若ABC为钝角三角形，那么就有：c2a2+b2 当然，3）若ABC为直角三角形，那么就有：c2=a2+b2当ABC为锐角三角形时，作CDAB,垂足D,设AD=m,则BD=c-m根据勾股定理有：b-m=CD，（a-m)+CD=c即（a-m)+b-m=ca-2am+b=ca+b-c=2am0（a,m都是正数）所以a+bc若ABC为钝角三角形，b-m=CD，（a+m)+CD=ca+2am+b=cc-（a+b）=2am0所以ca+b