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1、.实用文档.不等式选讲 一、绝对值不等式 1绝对值三角不等式 定理 1：如果 a,b 是实数，那么|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时，等号成立。注：1绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。2不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=成立的条件是 ab0，左侧“=成立的条件是 ab0 且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=成立的条件是 ab0，左侧“=成立的条件是 ab0 且|a|b|。定理 2：如果 a,
2、b,c 是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0 时，等号成立。2绝对值不等式的解法 1含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集 不等式 a0 a=0 a0|x|a x|-axa|x|a x|xa 或 x-a x|xR 且 x0 R 注：|x|以及|x-a|x-b|表示的几何意义|x|表示数轴上的点 x 到原点O的距离；|x-a|x-b|表示数轴上的点 x 到点 a,b 的距离之和差 2|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|c ax+bc 或 ax+b-c.3|x-a|+|x-b|c(c0)和
3、|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法求解，表达了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想。.实用文档.二、证明不等式的根本方法 1比拟法 1作差比拟法 理论依据：aba-b0;ab a-b0.证明步骤：作差变形判断符号得出结论。注：作差比拟法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数或式子与 0的大小关系。2作商比拟法 理论依据：0,1;ababb 0,1;ababb 证明步骤：作商变形判断与 1 的大小关系得出结论。2综合法 1定义：从条件出发，利用
4、定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。2思路：综合法的思索路线是“由因导果，也就是从一个组的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3分析法 1定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为条件或一个明显成立的事实定义、公理或已证明的定理、性质等，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。2思路：分析法的思索路线是“执果索因，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相
5、反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比拟复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法表达、表达整个证明过程。4放缩法 1定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些局部的值放大或缩小，简化不等式，从而到达证明的目的，这种证明方法称为放缩法。2思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。.实用文档.【绝对值不等式习题】【例 1】不等式|5|3|10 xx的解集为 A-5.7 B-4,6 C(,57,)D(,46,)【答案】D【解析】由不等式的几何意义知，式子|3|5|xx表示数轴的点)(x与点5的距离 和与点-3的距离之和，其距离之和的最小值为 8，结合数轴，
6、选项 D 正确 【例 2】集合1|349,|4,(0,)AxR xxBxR xttt，那么集合AB=_.【答案】52|xRx【解析】54|9|4|3|xRxxxRxA，,0,6142|,0,614|tttxRxtttxRxB2|xRx，52|2|54|xRxxRxxRxBA.【例 3】对于实数 x，y，假设11 x，12 y，那么12 yx的最大值为 .【答案】5 【例 4】不等式130 xx 的解集是_.实用文档.【解析】1|xx。由题得1)3()1(|3|1|22xxxxx 所以不等式的解集为1|xx。【例 5】假设关于 x 的不等式12axx 存在实数解，那么实数a的取值范围是 【答案】
7、(,33,)【解析】：因为12|12|3xxxx 所以12axx 存在实数解，有3a 3a 或3a 【例 6】函数 fx=|x-2|-|x-5|.I证明：-3fx3；II求不等式 fxx2-8x+15 的解集.解：I3,2,()|2|5|27,25,3,5.xf xxxxxx 当25,3273.xx 时 所以3()3.f x II由I可知，当22,()815xf xxx时的解集为空集；当225,()815|535xf xxxxx时的解集为；当25,()815|56xf xxxxx时的解集为.综上，不等式2()815|536.f xxxxx的解集为 【例 7】函数()|2|,()|3|.f xx
8、g xxm 1解关于x的不等式()10()f xaaR；2假设函数()f x的图象恒在函数()g x图象的上方，求m的取值范围。解：1不等式()10f xa，即210 xa。当1a 时，不等式的解集是(,2)(2,)；当1a 时，不等式的解集为R；.实用文档.当1a 时，即21xa，即21xa或者21xa，即1xa或者3xa，解集为(,1)(3,)aa。5 分 2函数()f x的图象恒在函数()g x图象的上方，即23xxm 对任意实数x恒成立。即23xxm对任意实数x恒成立。由于23(2)(3)5xxxx，故只要5m。所以m的取值范围是(,5)。【不等式证明习题】【例 1】假设 a，b，c
9、为不全相等的正数，求证：lg ab2lg bc2lg ac2lg alg blg c.证明：由 a，b，c 为正数，得 lg ab2lg ab；lg bc2lg bc；lg ac2lg ac.而 a，b，c 不全相等，所以 lg ab2lg bc2lg ac2lg ablg bclg aclg a2b2c2lg(abc)lg alg blg c.即 lg ab2lg bc2lg ac2lg alg blg c.【例 2】证明不等式 1+).(21.3121Nnnn 证法一 (1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于 1，右端等于 2，所以不等式成立 (2)假设 n=k(k1)时，不等式成立，即
10、 1+k131212k，,1211)1(11)1(21121131211kkkkkkkkkk则 当 n=k+1 时，不等式成立 综合(1)、(2)得 当 nN*时，都有 1+n131212n 证法二 对任意 kN*，都有 111121.223nNnn根据（），（）可知，当时，成立。.实用文档.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221nnnnkkkkkkk因此 证法三 设 f(n)=),131211(2nn 那么对任意 kN*都有 01)1()1(2)1(11 1)1(2)1(21111)1(2)()1(2kkkkkkkkkkkkkkkkfkf f(k+1)f(k)因此，对
11、任意 nN*都有 f(n)f(n1)f(1)=10，.2131211nn 【例 3】a0，b0，且 a+b=1 求证 (a+a1)(b+b1)425 证法一 (分析综合法 欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证 4(ab)233(ab)+80，即证 ab41或 ab8 a0，b0，a+b=1，ab8 不可能成立 1=a+b2ab，ab41，从而得证 证法二 (比拟法 a+b=1，a0，b0，a+b2ab，ab41 425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222bbaaabababababbabbaabbaa 证法三 (综合法)a+
12、b=1，a0，b0，a+b2ab，ab41 22225(1)1139(1)1251611(1)1441644abababababab .实用文档.425)1)(1(bbaa即【例 4】*21().nnanN求证：*122311.().23nnaaannNaaa 证明：11121111111 1.,1,2,.,2122(21)23.22223 2kkkkkkkkakna 1222311 111111.(.)(1),23 22223223nnnnaaannnaaa *122311.().232nnaaannnNaaa【例 5】假设02a，02 b，02c，求证：()()22a bb c，()2 c
13、a不能同时大于 1。证明：由题意知202020abc，假设有()()()212121a bb cc a 那么()()2221aba b 同理，()221bc()221ca，得33矛盾，假设不成立。故()2 ab，()2 bc，()2 ca不能同时大于 1。【例 6】设函数f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当mn0 时，(1m)n(1n)m.【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0 时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数；当a0 时，f(x)在(1，aa-1e1上单调递增，在aa-1e1，)单调递减.(2)证明：要证(1m)n(1n)m，只需证nln(1m)mln(1n)，只需证ln(1m)m.实用文档.ln(1n)n.设g(x)ln(1x)x(x0)，那么g(x)x1xln(1x)x2x(1x)ln(1x)x2(1x).由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)单调递减，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是减函数，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.