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1、.实用文档.不等式选讲不等式选讲一、绝对值不等式一、绝对值不等式1 1绝对值三角不等式绝对值三角不等式定理定理 1 1：如果 a,b 是实数，那么|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时，等号成立。注：注：1绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。2不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=成立的条件是 ab0，左侧“=成立的条件是 ab0 且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=成立的条件是 ab0，左侧“=成立
2、的条件是 ab0 且|a|b|。定理定理 2 2：如果 a,b,c 是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0 时，等号成立。2 2绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法1含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集不等式|x|a|x|aa0 x|-axax|xa 或 x-a a=0a0 x|xR 且 x0R注：注：|x|以及|x-a|x-b|表示的几何意义|x|表示数轴上的点 x 到原点O的距离；|x-a|x-b|表示数轴上的点 x 到点 a,b 的距离之和差2|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|
3、c ax+bc 或 ax+b-c.3|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法求解，表达了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想。.实用文档.二、证明不等式的根本方法二、证明不等式的根本方法1 1比拟法比拟法1作差比拟法理论依据：aba-b0;ab a-b0.证明步骤：作差变形判断符号得出结论。注：作差比拟法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数或式子与0的大小关系。2作商比拟法a1 a b;bab 0,1 a b;b理
4、论依据：b 0,证明步骤：作商变形判断与1 的大小关系得出结论。2 2综合法综合法1定义：从条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。2思路：综合法的思索路线是“由因导果，也就是从一个组的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3 3分析法分析法1定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为条件或一个明显成立的事实定义、公理或已证明的定理、性质等，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。2思路：分析法的思索路线是“执果索因，即从要证的不等式
5、出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到不等式为止。注：注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比拟复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法表达、表达整个证明过程。4 4放缩法放缩法1定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些局部的值放大或缩小，简化不等式，从而到达证明的目的，这种证明方法称为放缩法。2思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。.实用文档.【绝对值不等式习题】【绝对值不等式习题】【例 1】不等式|x 5|x3|10的解集为A-5.7B-4,6C(,57,)D(,46,)【答案】
6、D【解析】由不等式的几何意义知，式子|x 5|x 3|表示数轴的点(x)与点5的距离和与点-3的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项 D 正确【例 2】集合A xR|x3 x4 9,B xR|x 4t ,t(0,)，那么集合A B=_.【答案】xR|2 x 5【解析】A xR|x3|x4|9xR|4 x 5，1t11B x R|x 4t 6,t 0,x R|x 2 4t6,t 0,ttxR|x 2，A B xR|4 x 5xR|x 2xR|2 x 5.【例 3】对于实数 x，y，假设x1 1，y2 1，那么x2y1的最大值为 .【答案】5【例 4】不等式x1 x3 0的解集是_.实
7、用文档.【解析】x|x 1。由题得|x 1|x 3|(x 1)2(x 3)2的解集为x|x 1。x 1所以不等式【例 5】假设关于 x 的不等式a x1 x2存在实数解，那么实数a的取值范围是【答案】(,33,)【解析】：因为x1 x2|x1x2|3所以a x1 x2存在实数解，有a 3a 3或a 3【例 6】函数 fx=|x-2|-|x-5|.I证明：-3fx3；II求不等式 fxx-8x+15 的解集.2x 2,3,解：If(x)|x 2|x 5|2x 7,2 x 5,3,x 5.当2 x 5时,3 2x7 3.所以3 f(x)3.II由I可知，当x 2时,f(x)x 8x 15的解集为空
8、集；当2 x 5时,f(x)x28x 15的解集为x|53 x 5；当x 5时,f(x)x 8x 15的解集为x|5 x 6.综上，不等式f(x)x28x 15的解集为x|53 x 6.【例 7】函数f(x)|x 2|,g(x)|x 3|m.1解关于x的不等式f(x)a 1 0(a R)；2假设函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围。解：1不等式f(x)a 1 0，即x2 a10。当a 1时，不等式的解集是(,2)当a 1时，不等式的解集为R；.22(2,)；.实用文档.当a 1时，即x2 1a，即x2 a1或者x2 1a，即x a1或者x 3a，解集为(,1 a)(3a
9、,)。5 分2函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即x2 x3 m对任意实数x恒成立。即x2 x3 m对任意实数x恒成立。由于x2 x3 (x2)(x3)5，故只要m 5。所以m的取值范围是(,5)。【不等式证明习题】【不等式证明习题】【例 1】假设 a，b，c 为不全相等的正数，求证：abbcaclglglglg alg blg c.222证明：由 a，b，c 为正数，得abbcaclglgab；lglgbc；lglgac.222而 a，b，c 不全相等，abbcac222所以 lglglglgablgbclgaclga b c lg(abc)222lg alg blg c.abb
10、cac即 lglglglg alg blg c.222【例 2】证明不等式 1+111.2 n(nN).23n证法一 (1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于 1，右端等于 2，所以不等式成立111(2)假设 n=k(k1)时，不等式成立，即 1+2k，23k则112131k 1k 1 2 k 1k 12 k(k 1)1k 1k(k 1)1 2 k 1,当 n=k+1 时，不等式成立综合(1)、(2)得当 nN 时，都有 1+*12131n2n根据（），（12）可知，当nN时，1证法二对任意 kN，都有111.23n2 n成立。*.实用文档.1kk kk k1111因此 122(21)2(3
11、 2)2(n n1)2 n.23n证法三设 f(n)=2 n(1222(k k1),12131n),那么对任意 kN 都有*f(k 1)f(k)2(k 1k)1k 11k 12(k 1)2 k(k 1)1(k 1)2 k(k 1)k1k 1(k 1k)2k 1 0f(k+1)f(k)*因此，对任意 nN 都有 f(n)f(n1)f(1)=10，111 2 n.123n【例 3】a0，b0，且 a+b=1求证 (a+1125)(b+)ab4证法一 (分析综合法222欲证原式，即证 4(ab)+4(a+b)25ab+40，即证 4(ab)33(ab)+80，即证 ab21或 ab84a0，b0，a
12、+b=1，ab8 不可能成立1=a+b2ab，ab证法二 (比拟法1，从而得证4a+b=1，a0，b0，a+b2ab，ab141125a21 b21254a2b2 33ab 8(1 4ab)(8 ab)(a)(b)0ab4ab44ab4ab1125(a)(b)ab4证法三 (综合法)1a+b=1，a0，b0，a+b2ab，ab4252(1ab)1213916(1ab)12521ab1(1ab)44161ab44ab.实用文档.1125即(a)(b)ab4【例 4】an 2n1(nN*).求证：an1a1a2.n(nN*).23a2a3an1证明：ak2k1111111 1k1.,k 1,2,.
13、,n,ak12122(2k11)23.2k2k223 2kaa1a2n1 111n11n1.n(2.n)(1n),a2a3an123 22223223an1aan12.n(nN*).23a2a3an122a)b，(2b)c【例 5】假设0，0，0，求证：(，(a 2 c 22 ca)不 b2能同时大于 1。a 0，2b 0，2c 0证明：由题意知2(2 a)b 1假设有(2 b)c 1(2 c)a 1那么(2 a)b(2 a)b 12(2 b)c 12同理，(2 c)a12，得3矛盾，假设不成立。3故(2 ca)不能同时大于 1。2 ab)，(2 bc)，(【例 6】设函数f(x)xa(x1)
14、ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当mn0 时，(1m)(1n).【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0 时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数；当a0 时，f(x1，)单调递减.ln(1m)nm(2)证明：要证(1m)(1n)，只需证nln(1m)mln(1n)，只需证1-a)在(1，ea1-a1上单调递增，在eanmm.实用文档.ln(1n).nln(1x)1xln(1x)x(1x)ln(1x)设g(x)(x0)，那么g(x).2xxx2(1x)由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)单调递减，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是减函数，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.x.