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1、 课时跟踪训练(十二)直线与平面的夹角 1已知直线l的一个方向向量为a(1,1,0)，平面的一个法向量为(1,2，2)，则直线l与平面夹角的余弦值为()A.22 B22 C22 D.12 2已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为 4 的正方形，长方体的高为AA13，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于()A.45 B.35 C.2 25 D.3 25 3.如图所示，点P是ABC所在平面外的一点，若PA，PB，PC与平面的夹角均相等，则点P在平面上的投影P是ABC的()A内心 B外心 C重心 D垂心 4(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，
2、则CD与平面BDC1的夹角的正弦值等于()A.23 B.33 C.23 D.13 5 正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是_ 6.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为_ 7.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB 2AA1，点D是A1B1的中点 求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值 8.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求证：CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面A
3、B1C夹角的正弦值为67，求k的值 答 案 1选 A cosa，a|a|32322，则直线l与平面的夹角的正弦值 sin|cosa，|22，cos 22.2选 C 建立如图所示的空间直角坐标系，底面是边长为 4 的正方形，AA13，A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)而面BB1D1D的法向量为ACuuu r11ACuuuu r(4,4,0)，BC1与 对 角 面BB1D1D所 成 角 的 正 弦 值 即 为|cos 1BCuuu u r，11ACuuuu r|4，0，34，4，0|4232 42421654 22 25.3选 B 由于PA，PB，PC与平面的夹角均相等，所以
4、这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影PA，PB，PC也都相等，故点P是ABC的外心 4选 A 法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有ACBD.因为CC1平面ABCD，所以CC1BD.又CC1ACC，所以BD平面CC1O.在平面CC1O内作CHC1O，垂足为H，则BDCH.又BDC1OO，所以CH平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以CDH为CD与平面BDC1所成的角设AA12AB2.在 RtCOC1中，由等面积变换易求得CH23.在 RtCDH中，sinCDHCHCD23.法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图
5、，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DCuuu r(0,1,0)，DBuuu r(1,1,0)，1DCuuuu r(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则nDBuuu r，n1DCuuuu r，所以有 xy0，y2z0，令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1的夹角为，则 sin|cosn，DCuuu r|nDCuuu r|n|DCuuu r|23.5解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，
6、C1(0,1,1)，易证1ACuuuu r是平面A1BD的一个法向量 1ACuuuu r(1,1,1)，1BCuuu u r(1,0,1)cos1ACuuuu r，1BCuuu u r113 263.所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为63.答案：63 6解析：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3，1,0)，B1(3，1,2)，D32，12，2，则CDuuu r(32，12，2)，1CBuuu r(3，1,2)，设平面B1DC的法向量为 n(x，y,1)，由 nCDuuu r0，n1CBuuu r0，解得n(3，1,1)又DA
7、uuu r32，12，2，sin|cosDAuuu r，n|45.答案：45 7.解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系不妨设AA1 2，则AB2，相关各点的坐标分别是A(0，1,0)，B(3，0,0)，C1(0,1，2)，D32，12，2.易知ABuuu r(3，1,0)，1ACuuuu r(0,2，2)，ADuuu r32，12，2.设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有 nABuuu r 3xy0，n1ACuuuu r2y 2z0，解得x33y，z 2y.故可取n(1，3，6)所以 cosn，ADuuu rnADuuu r|n|ADuuu r|2 310
8、 3105.即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为105.8解：(1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图 ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD.又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)以D为原点，DAuuu r，DCuuu r，1DDuuuu r的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，ACuuu r(4k,6k,0)，1ABuuu u r(0,3k,1)，1AAuuu u r(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由 ACuuu rn0，1ABuuu u rn0，得 4kx6ky0，3kyz0.取y2，得n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C的夹角为，则 sin|cos1AAuuu u r，n|1AAuuu u rn|1AAuuu u r|n|6k36k21367，解得k1，故所求k的值为 1.