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1、课后课时作业 A 组基础达标练 1用数学归纳法证明不等式 1121412n112764成立，起始值至少应取为()A7 B8 C9 D10 答案 B 解析 左边的和为112n112221n，当 n8 时，和为 22712764，故选 B.22016青岛高三月考用数学归纳法证明1n11n212n1134时，由 k 到 k1，不等式左边的变化是()A增加12k1项 B增加12k1和12k2两项 C增加12k1和12k2两项同时减少1k1项 D以上结论都不对 答案 C 解析 nk 时，左边1k11k21kk nk1 时，左边1k111k121k1k1，由“nk”变成“nk1”时，不等式左边的变化是12
2、k112k21k1.32016安庆高三月考用数学归纳法证明 2nn2(n5，nN)，第一步应验证()An4 Bn5 Cn6 Dn7 答案 B 解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证 n 取第一个值时命题成立，又 n5，故第一步验证 n5，故选 B.42015德州一模用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证 n1 时，左边的式子为()A1 B12 C1222 D122223 答案 D 解析 根据数学归纳法的步骤可得，n1，左边为 122223.52015潍坊模拟某个命题与正整数有关，若当 nk(kN*)时该命题成立，那么可推得当 nk1 时该命题也成立，现已知当 n4时该命题不成立，那
3、么可推得()A当 n5 时，该命题不成立 B当 n5 时，该命题成立 C当 n3 时，该命题成立 D当 n3 时，该命题不成立 答案 D 解析 由 nk 时成立可推得 nk1 时成立，取逆否命题，可知选 D.62015南昌模拟已知 f(n)122233(2n)2，则 f(k1)与 f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2 Bf(k1)f(k)(k1)2 Cf(k1)f(k)(2k2)2 Df(k1)f(k)(2k1)2 答案 A 解析 根据数学归纳法步骤可得 f(k1)122233(2k)2(2k1)2(2k2)2f(k)(2k1)2(2k2)2，可知选 A.7设 Sn
4、112131412n，则 Sn1Sn_.答案 12n112n212n312n2n 解析 Sn1112131412n1 Sn1Sn12n112n212n312n2n.8设数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意的正整数 n 都有(Sn1)2anSn，通过计算 S1，S2，S3，猜想 Sn_.答案 nn1 解析 令 n1,S1a112 n2，S2a1a223 n3，S3a1a2a334 猜想 nn，Snnn1.92015陕西一模观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于 nN*,12n21_.答案 n2 解析 112,12122,1232132,123
5、432142，归纳可得 12n21n2.102016云南名校联考观察下列等式：1312,132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第 n 个等式为_ 答案 nn122 解析 由第一个等式 1312，得 13(10)2；第二个等式 132332，得 1323(12)2；第三个等式 13233362，得 132333(123)2；第四个等式 13233343102，得 13233343(1234)2，由此可猜想第 n 个等式为 13233343n3(123n)2nn122.B 组能力提升练 12015湖北高考已知数列an的各项均为正数，bnn11nnan(nN)，e 为
6、自然对数的底数(1)求函数 f(x)1xex的单调区间，并比较11nn与 e 的大小；(2)计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2bna1a2an的公式，并给出证明；(3)令 cn(a1a2an)1n，数列an，cn的前 n 项和分别记为 Sn，Tn，证明：Tn0，即 x0 时，f(x)单调递增；当 f(x)0 时，f(x)单调递减 故 f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当 x0 时，f(x)f(0)0，即 1xex.令 x1n，得 11ne1n，即11nne.(2)b1a111111112；b1b2a1a2b1a1b2a22211
7、22(21)232；b1b2b3a1a2a3b1b2a1a2b3a33231133(31)343.由此推测：b1b2bna1a2an(n1)n.下面用数学归纳法证明.a当 n1 时，左边右边2，成立 b假设当 nk(kN*且 k1)时，成立，即b1b2bka1a2ak(k1)k.当 nk1 时，bk1(k1)11k1k1ak1，由归纳假设可得 b1b2bkbk1a1a2akak1b1b2bka1a2akbk1ak1(k1)k(k1)11k1k1(k2)k1.所以当 nk1 时，也成立 根据 a、b，可知对一切正整数 n 都成立(3)证明：由 cn的定义，算术几何平均不等式，bn的定义及得 Tn
8、c1c2c3cn(a1)11(a1a2)12(a1a2a3)13(a1a2an)1n b1112b1b2123b1b2b3134b1b2bn1nn1 b112b1b223b1b2b334b1b2bnnn1 b11121231nn1 b2 123134 1nn1bn1nn1 b111n1b2121n1bn1n1n1 b11b22bnn 1111a11122a211nnan ea1ea2eaneSn.即 TneSn.22015江苏高考已知集合 X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，设 Sn(a，b)|a 整除 b 或 b 整除 a，aX，bYn令 f(n)表示集合 Sn所含元素的个数(1)写
9、出 f(6)的值；(2)当 n6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明 解(1)f(6)13.(2)当 n6 时，f(n)下面用数学归纳法证明：当 n6 时，f(6)62626313，结论成立；假设 nk(kN*且 k6)时结论成立，那么 nk1 时，Sk1在 Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：a若 k16t，则 k6(t1)5，此时有 f(k1)f(k)3k2k12k233(k1)2k12k13，结论成立；b若 k16t1，则 k6t，此时有 f(k1)f(k)1k2k2k31(k1)2k112k113，结论成立；c若 k16t2，则 k6t1，此时有 f(k1)f(k)2k2k12k132(k1)2k12k123，结论成立；d若 k16t3，则 k6t2，此时有 f(k1)f(k)2k2k2k232(k1)2k112k13，结论成立；e若 k16t4，则 k6t3，此时有 f(k1)f(k)2k2k12k32(k1)2k12k113，结论成立；f若 k16t5，则 k6t4，此时有 f(k1)f(k)1k2k2k131(k1)2k112k123，结论成立 综上所述，结论对满足 n6 的自然数 n 均成立