《2023年高考数学二轮复习讲练测专题09排列组合高考常见小题全归类(解析版)43946.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学二轮复习讲练测专题09排列组合高考常见小题全归类(解析版)43946.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 专题 09 排列组合高考常见小题全归类 【命题规律】排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识【核心考点目录】核心考点一：两个计数原理的综合应用 核心考点二：直接法 核心考点三：间接法 核心考点四：捆绑法 核心考点五：插空法 核心考点六：定序问题（先选后排）核心考点七：列举法 核心考点八：多面手问题 核心考点九：错位排列 核心考点十：涂色问题 核心考点十一：分组问题 核心考点十二：分配问题 核
2、心考点十三：隔板法 核心考点十四：数字排列 核心考点十五：几何问题 核心考点十六：分解法模型与最短路径问题 核心考点十七：排队问题 核心考点十八：构造法模型和递推模型 核心考点十九：环排问题【真题回归】1（2022全国统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A12 种 B24 种 C36 种 D48 种【答案】B【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2 种插空 方式；注意到丙丁两人
3、的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排这 5 名同学共有：3!2 224 种不同的排列方式，故选：B 2（2021全国统考高考真题）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60 种 B120 种 C240 种 D480 种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，可以先从 5 名志愿者中任选 2 人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不
4、同的位置的排列方法数有 4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C 种不同的分配方案，故选：C 3（2020山东统考高考真题）现从 4 名男生和 3 名女生中，任选 3 名男生和 2 名女生，分别担任 5 门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A12 B120 C1440 D17280【答案】C【解析】首先从 4 名男生和 3 名女生中，任选 3 名男生和 2 名女生，共有3243C C种情况，再分别担任 5 门不同学科的课代表，共有55A种情况 所以共有3254351440C C A 种不同安排方法 故选：C 4（2020海南高考真题）要安排 3 名学生到 2 个乡村做志
5、愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A2 种 B3 种 C6 种 D8 种【答案】C【解析】第一步，将 3 名学生分成两个组，有12323C C 种分法 第二步，将 2 组学生安排到 2 个村，有222A 种安排方法 所以，不同的安排方法共有3 26种 故选：C 5（2020海南统考高考真题）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（）A120 种 B90 种 C60 种 D30 种【答案】C 【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有1
6、6C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆 故不同的安排方法共有12656 1060CC种 故选：C 6（2020全国统考高考真题）如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，a12设 1ijk12若kj=3 且 ji=4，则称 ai，aj，ak 为原位大三和弦；若 kj=4 且 ji=3，则称 ai，aj，ak 为原位小三和弦用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A5 B8 C10 D15【答案】C【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4kjji 1,5,8ijk；2,6,9ijk；3,7,10ijk；4,8
7、,11ijk；5,9,12ijk 原位小三和弦满足：4,3kjji 1,4,8ijk；2,5,9ijk；3,6,10ijk；4,7,11ijk；5,8,12ijk 故个数之和为 10 故选：C 7（2022全国统考高考真题）从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为_【答案】635【解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C70n 个结果，这4个点在同一个平面的有6612m 个，故所求概率1267035mPn 故答案为：635 8（2020全国统考高考真题）4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不
8、同的安排方法共有_种【答案】36【解析】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1名同学 先取 2 名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有：336A 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 636种 故答案为：36 【方法技巧与总结】1、如图，在圆中，将圆分n等份得到n个区域1M，2M，3M，(2)nM n，现取(2)k k种颜色对这n个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)nnkk种 2、错位排列公式1(1)(1)!inniDnn 3、数字排列问题的解题原
9、则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论 4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题
10、，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数 5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将 n 个不同元素排成一排，其中某 k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这 k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n kn kA 种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有kkA种排法 根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n kn kkkAA 种 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻（1knk）
11、，求不同排法种数的方法是：先将（nk）个元素排成一排，共有n kn kA种排法；然后把k个元素插入1nk个空隙中，共有1kn kA 种排法根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有.Mn.Mn-1M1M2M3 n kn kA1kn kA 种 7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复
12、杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排【核心考点】核心考点一：两个计数原理的综合应用【典型例题】例 1（2022全国高三专题练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味现有
13、 6 种不同食物（足够量），其中 1 种适合放入中间格，3 种适合放入十字格，2 种适合放入四角格 现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）A108 B36 C9 D6【答案】C【解析】由题可知中间格只有一种放法；十字格有四个位置，3 种适合放入，所以有一种放两个位置，共有 3 种放法；四角格有四个位置，2 种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有 3 种放法；所以不同放法共有1 3 3=9 种 故选：C 例 2（2022 春黑龙江哈尔滨高三哈尔滨七十三中校考阶段练
14、习）某市抽调 5 位医生分赴 4 所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生由于工作需要，甲乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A90 B216 C144 D240【答案】B【解析】完成这件事情，可以分两步完成，第一步，先将 5 为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有2519C 种方案；第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有4424A 种不同方案，所以根据分步乘法计数原理得共有24 9216 种不同安排方案 故选：B 例 3（2022 春山东聊城高三山东聊城一中校考期末）某大型联欢会准备从含甲、乙的 6 个节目中选取 4 个进行演出，要求
15、甲、乙 2 个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（）A720 B520 C600 D264【答案】D【解析】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：134244192C C A，若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：22242372C A A；因此不同的演出顺序的种数为19272264 故选：D 核心考点二：直接法 【典型例题】例 4甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，
16、5 人的名次排列方式共有（）种 A54 B72 C96 D120【答案】A【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分 2 种情况讨论：甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有 3 种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A 种情况，此时有1863种名次排列情况；甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有236A 种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A 种情况，此时有6 636种名次排列情况；则一共有361854种不同的名次情况，故选：A 例 5某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出,A B C D E F共 6 名同学进行决赛，决出第 1
17、名到第 6 名的名次（没有并列名次），A和B去询问成绩，回答者对A说“很遗，你和B都末拿到冠军；对B说“你当然不是最差的”试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A720 种 B600 种 C480 种 D384 种【答案】D【解析】由题意，,A B不是第一名且B不是最后一名，B的限制最多，故先排B，有 4 种情况，再排A，也有 4 种情况，余下 4 人有444 3 2 124A 种情况，利用分步相乘计数原理知有4 4 24384 种情况 故选：D 例 6甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A24 种 B6 种 C4 种 D12 种【答案】B【解析
18、】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下 3 人全排即可，则不同的排法共有333 2 16A ，故选：B 核心考点三：间接法【典型例题】例 7将 7 个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙 3 人中至多有 2 人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）A1860 种 B3696 种 C3600 种 D3648 种【答案】D【解析】7 个人从左到右排成一排，共有775040A 种不同的站法，其中甲、乙、丙 3 个都相邻有3535720A A 种不同的站法，甲站在最右端有66720A 种不同的站法，甲、乙、丙 3 个相邻且甲站最右端有242448A A 种不同的站法，故甲、乙、丙
19、 3 人中至多有 2 人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有5040720720483648种不同的站法 故选：D 例 8某学校计划从包含甲乙丙三位教师在内的 10 人中选出 5 人组队去西部支教，若甲乙丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）A21 种 B231 种 C238 种 D252 种【答案】B【解析】10 人中选 5 人有510C252种选法，其中，甲乙丙三位教师均不选的选法有57C21种，则甲乙丙三位教师至少一人被选中的选法共有55107CC231种 故选：B 例 9中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”
20、就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A408 种 B240 种 C1092 种 D120 种【答案】A【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为1555A A，其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为142442A A A，于是得1514255442A AA A A5 1204242408，所以“六艺”讲座不同的次序共有 408 种 故选：A 核心考点四：捆绑法【典型例题】例
21、 10（2022四川自贡统考一模）在某个单位迎新晚会上有 A、B、C、D、E、F6 个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目 C 必须安排在第三位，节目 D、F 必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（）种 A36 B48 C60 D72【答案】A【解析】由题意 D、F 在一二位或四五位、五六位，C 是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为23233A A36 故选：A 例 11（2022四川宜宾统考模拟预测）“四书”“五经”是我国9部经典名著大学 论语 中庸 孟子 周易 尚书 诗经 礼记 春秋的合称为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间
22、举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求大学 论语相邻，但都不与周易相邻，则排法种数为（）A622622A A A B6262A A C622672A A A D622662A A A【答案】C【解析】先排除去大学 论语 周易之外的 6 部经典名著的讲座，共有66A种排法，将大学 论语看作一个元素，二者内部全排列有22A种排法，排完的 6 部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有 7 个空位，从 7 个空位中选 2 个，排大学 论语捆绑成的一个元素和周易的讲座，有27A种排法，故总共有622627A A A种排法，故选：C 例 12（2022 春四川内江高三威远中学校校考
23、期中）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（）种不同的排法 A24 B144 C48 D96【答案】D【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有2种，物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，与语文、英语、生物三门课程进行排序，有2424A A48种排法 由分步乘法计数原理可知，共有2 4896种不同的排法 故选：D 核心考点五：插空法【典型例题】例 13（2022全国高三专题练习）电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中 4 个商业广告 2 个公益广告，现要求 2
24、 个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）A5424AA B5424CC C4267AA D4267CC【答案】A【解析】先排 4 个商业广告，则44A，即存在 5 个空，再排 2 个公益广告，则25A，故总排法：4245A A，故选：A 例 14（2022全国高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（）A18 种 B24 种 C36 种 D72 种【答案】C【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有33A
25、32，再将商、角插入 4 个空中，共有243A36种 故选：C 例 15（2022全国高三专题练习）A，B，C，D，E，F 这 6 位同学站成一排照相，要求 A 与 C 相邻且 A 排在 C 的左边，B 与 D 不相邻且均不排在最右边，则这 6 位同学的不同排法数为（）A72 B48 C36 D24【答案】C【解析】首先将 A 与 C 捆绑到一起，与除 B、D 以外的其他 2 位同学共 3 个元素进行排列，有33A6种排法，再将 B、D 插空到除最右边的 3 个位置中，有23A6 种排法，因此共有6 636种排法，故选：C 核心考点六：定序问题（先选后排）【典型例题】例 16满足*(1,2,3
26、,4)ixiN，且123410 xxxx的有序数组1234,x xx x共有（）个 A49C B49P C410C D410P【答案】A【解析】数组中数字的大小确定，从 1 到 9 共 9 个数任取 4 个数得一个有序数组，所有个数为49C 故选：A 例 17某次演出有 5 个节目，若甲、乙、丙 3 个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（）A120 种 B80 种 C20 种 D48 种【答案】C【解析】在 5 个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为2520A 故选：C 例 18花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术
27、特色如图，现有悬挂着的 8 盏不同的花灯需要取下，每次取 1 盏，则不同取法总数为（）A2520 B5040 C7560 D10080【答案】A【解析】由题意，对 8 盏不同的花灯进行取下，先对 8 盏不同的花灯进行全排列，共有88A种方法，因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，故一共有8822222222=2520AA A A A种，故选：A 核心考点七：列举法【典型例题】例 19（2022 春河南南阳高三统考期末）2021 年 8 月 17 日，国家发改委印发的2021 年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表显示，青海宁夏广西广东福建新
28、疆云南陕西江苏浙江安徽四川等 12 个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（）A15 种 B16 种 C17 种 D18 种【答案】B【解析】因为在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，所以不同的关闭方案如下：,ACEB ACED ACB D ACB E ADB E ADC E AEB D，
29、,BDAC BDA E BDC E BEAC BEA D CEA D CEB D BAC E DAC E，共 16种方案，故选：B 例 20三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（）A6 种 B8 种 C10 种 D16 种【答案】C【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知：经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 10 种，故选：C 例 21（2022上海浦东新上海市实验学校校考模拟预测）定义“规范 01 数列”an如下：an共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任
30、意2km，12,ka aa中 0 的个数不少于 1 的个数若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 A18 个 B16 个 C14 个 D12 个【答案】C【解析】由题意，得必有10a，81a，则具体的排法列表如下：，01010011；010101011，共 14 个 核心考点八：多面手问题【典型例题】例 22我校去年 11 月份，高二年级有 10 人参加了赴日本交流访问团，其中 3 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其余 5 人既能唱歌又能跳舞现要从中选 6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有种不同的选法 A675 B575 C512 D545【答案】A【解析】分析：根据题意可按照只会左边
31、的2人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解 详根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理 第一类2个只会左边的都不选，有3355100CC种；第二类2个只会左边的有1人入选，有123256400C CC种；第三类2个只会左边的全入选，有213257175C CC种，所以共有675种不同的选法，故选 A 例 23某国际旅行社现有 11 名对外翻译人员，其中有 5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法语，现从这 11 人中选出 4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有（）种不同的选法 A225 B185 C145 D110【答案】B【解析】根据题意，按“2 人既会英语又会法
32、语”的参与情况分成三类“2 人既会英语又会法语”不参加，这时有4454C C种；“2 人既会英语又会法语”中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有134413254524C C CC C C种；“2 人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有22442213132545242514C C CC C CC C C C种 综上分析，共可开出441344132244221313542545242545242514185C CC C CC C CC C CC C CC C C C种 故选：B 例 24“赛龙舟”是端午节的
33、习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的 8 名队员中有 3 人只会划左桨，3 人只会划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨现要选派划左桨的 3 人、划右桨的 3 人共 6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A26 种 B30 种 C37 种 D42 种【答案】C【解析】根据题意，设A 只会划左桨的 3 人，B 只会划右桨的 3 人，C 既会划左桨又会划右桨的 2 人，据此分 3 种情况讨论：从A中选 3 人划左桨，划右桨的在（BC）中剩下的人中选取，有35C10种选法，从A中选 2 人划左桨，C中选 1 人划左
34、桨，划右桨的在（BC）中选取，有213324C C C24种选法，从A中选 1 人划左桨，C中 2 人划左桨，B中 3 人划右桨，有13C3种选法，则有1024337种不同的选法 故选：C 核心考点九：错位排列【典型例题】例 25编号为 1、2、3、4、5 的 5 个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A10 种 B20 种 C30 种 D60 种【答案】B【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有2510C，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2，所以不同的坐法有10220种 故选：B 例 26将编号为1、2、3、4、5、
35、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A90 B135 C270 D360【答案】B【解析】根据题意，分以下两步进行：（1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有2615C 种选法，假设选出的2个小球的编号为5、6；（2）剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里，对于编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子 则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入，对于编号为3、4的小球，只有1种放法 综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为15 3 3135 种 故选：B 例
36、27若 5 个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这 5 张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这 5 人在箱子里各摸一张，恰有 1 人摸到自己写的卡片的方法数有（）A20 B90 C15 D45【答案】D【解析】根据题意，分 2 步分析：先从 5 个人里选 1 人，恰好摸到自己写的卡片，有15C种选法，对于剩余的 4 人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有 3 种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有 3 种拿法，剩下的 2 人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有11153345CCC种 故选：D 核心考点十：涂色问题【典型例题】例 28（2022 春陕西宝鸡高三校
37、考开学考试）某儿童游乐园有 5 个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种 A36 B48 C54 D72【答案】D【解析】如图：将五个区域分别记为，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域，涂色相同的涂色方案，第二类区域，涂色不相同的涂色方案，其中区域，涂色相同的涂色方案可分为 5 步完成，第一步涂区域，有 4 种方法，第二步涂区域，有 3 种方法，第三步涂区域，有 2 种方法，第四步涂区域，有 1 种方法，第五步涂区域，有 2 种方法，由分步乘法计数原理可得区域，涂色相同的涂色方案有4 3 2 1 2 种方案，即 48 种
38、方案；区域，涂色不相同的涂色方案可分为 5 步完成，第一步涂区域，有 4 种方法，第二步涂区域，有 3 种方法，第三步涂区域，有 2 种方法，第四步涂区域，有 1 种方法，第五步涂区域，有 1 种方法，由分步乘法计数原理可得区域，涂色不相同的涂色方案有4 3 2 1 1 种方案，即 24 种方案；所以符合条件的涂色方案共有 72 种，故选：D 例 29（2022 春宁夏银川高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的 O，A，B，C，D，E 六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A480 B720 C1080 D
39、1200【答案】D【解析】先给 O 涂色，有15C种方法，接着给 A 涂色，有14C种方法，接着给 B 涂色，有13C种方法，若 C 与 A 同色，则有 1 种涂色方法，接着给 D 涂色，有 3 种涂色方法，最后 E 有 2 种涂色方法；若 C 与 A 不同色，则有 2 种涂色方法，接着给 D 涂色，若 D 与 A 同色，则有 1 种涂色方法，最后 E 有 3 种涂色方法；若 D 与 A 不同色，则有 2 种涂色方法，最后 E 有 2 种涂色方法 综上，涂色方法总数为15C14C13C 1 3 22(1 32 2)1200 故选：D 例 30（2022 秋河北石家庄高二石家庄市第十五中学校考期
40、中）用四种颜色给正四棱锥VABCD的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A72 种 B36 种 C12 种 D60 种【答案】A【解析】如下表 顶V A B C D 点 种数 4 3 2 C 与 A 同色 1 2 C 与 A 不同色1 1 总计 4 3 21 2 1 172 故选：A 核心考点十一：分组问题【典型例题】例 312021 年春节期间电影你好，李焕英因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派 5 名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为 1，2，3，4 的 4 个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若
41、所有 5 名工作人员的影厅编号之和恰为 10，则不同的指派方法种数为（）A91 B101 C111 D121【答案】B【解析】（1）若编号为1222310，则有25220C 种，（2）若编号为1 123310 ，则有215330CC种，（3）若编号为1 122410，则有225330CC种，（4）若编号为1 1 1 3410 ，则有315220CC种，（5）若编号为2222210，则有 1 种，所以不同的指派方法种数为203030201101 种 故选：B 例 32已知有 6 本不同的书（1）分成三堆，每堆 2 本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3
42、本，有多少种不同的分堆方法？【解析】（1）6 本书平均分成 3 堆，不同的分堆方法的种数为2226423315 C C CA（2）从 6 本书中，先取 1 本作为一堆，再从剩下的 5 本中取 2 本作为一堆，最后 3 本作为一堆，不同的分堆方法的种数为12365360.C C C 核心考点十二：分配问题【典型例题】例 33（2022浙江模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等 4 人报名参加了 ,A B C三个项目的志愿者工作，每个项目需 1 名或 2 名志愿者，若甲不能参加A项目，乙不能参加B、C项目，那么共有_种不同的志愿者选拔方案【答案】10【解析】由题意可得乙一定参加A
43、项目，若A项目只有一个人时，即为乙，则先将甲、丙、丁分为两组，有23C种，再将两组分配到,B C两个项目，有22A种，则有2232C A6种不同的志愿者选拔方案，若A项目有 2 人时，又甲不能参加A项目，则只能从丙、丁中选 1 人和乙组队到A项目，有12C种，再将剩下的 2 人分配到,B C两个项目，有22A种，则有1222C A4种不同的志愿者选拔方案，综上，共有6410种不同的志愿者选拔方案 故答案为：10 例 34（2022上海长宁统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担；现从 6 人中任选 4 人承担这三项任务，则共有_种不同的选法【答案】180【解
44、析】第一步，先从 6 人中任选 2 人承担任务甲，有26C种选法，第二步，再从剩余 4 人中任选 1 人承担任务乙，有14C种选法，第三步，再从 3 人中任选 1 人承担任务丙，有13C种选法，所以共有211643C C C180种选法 故答案为：180 例 35（2022四川南充高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大通过心理问卷调查发现，某校高三年级有 5 位学生心理问题凸显，需要心理老师干预已知该校高三年级有 3位心理老师，每位心理老师至少安排 1 位学生，至多安排 3 位学生，则共有_种心理辅导安排方法【答案】150【解析】根据题意，分 2 步进行分析：将 5 位
45、学生分为 3 组，若有两组 2 人，一组 1 人，有225322C C15A种分组方法，若两组 1 人，一组 3 人，有35C10种分组方法，则有 151025 种分组方法，将分好的 3 组安排给 3 个老师进行心理辅导，有33A6种情况，则有 256150 种安排方法，故答案为：150 核心考点十三：隔板法【典型例题】例 36（2022全国高三专题练习）六元一次方程12610 xxx的正整数解有_组【答案】126【解析】12610 xxx的正整数解的组数为599 8 7 612624C ，故答案为：126 例 37（2022全国高三专题练习）将 10 本完全相同的科普知识书，全部分给甲乙丙
46、3 人，每人至少得 2 本，则不同的分法数为（）A720 种 B420 种 C120 种 D15 种【答案】D【解析】先从 10 本书中拿出 3 本，分给每人一本书，再将余下 7 本书采用“隔板法”分给 3 个人，分法种数为26C 15，故选：D 例 38（2022 春山东济宁高三济宁一中校考开学考试）112xyz展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）A12 项 B24 项 C39 项 D78 项【答案】D【解析】112xyz展开之后必有形如abcmx y z的式子出现，其中,mR a b cN，且11abc 构造 14 个完全一样的小球模型，分成 3 组，每组至少一个，利
47、用隔板法，共有分法213C种；每组去掉一个小球的数目分别为112xyz的展开式中,x y z各字母的次数；小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故112xyz的展开式中，合并同类项之后的项数为21313 12782C项 故选：D 核心考点十四：数字排列【典型例题】例 39（2022 春四川绵阳高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字如下图所示，我们可以用火柴棒拼出 1 至 9 这 9 个数字比如：“1”需要 2 根火柴棒，“7”需要 3 根火柴棒若用 8 根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中 （没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的
48、三位数有_个 【答案】20【解析】由题意可得，用 2 根火柴棒表示数字 1，3 根火柴棒表示数字 7，4 根火柴棒表示数字 4，5 根火柴棒表示数字 2，3 或 5，6 根火柴棒表示数字 6 或 9，7 根火柴棒表示数字 8，数字不重复，因此 8 根火柴棒只能分成两类：2 和 6，3 和 5，组成两个数字，还有数字只能为 0，这样组成的无重复数字的三位数个数为：112112222232C C A+C C A=20 故答案为：20 例 40（2022全国高三专题练习）从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，从 1，3，5 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位偶数【答案】198【
49、解析】当用 0 时，0 只能在个位，十位，百位三个位置之一 当个位为 0 时，从 2，4，6 中再取 1 个数字（3 种方法），从 1，3，5 中任取 2 个数字（即排除 1 个，有 3 种不同的方法），将这取得的 3 个数字在十百千位任意排列，共有 3!=6 中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有 336=54 种方法；当十位或百位为 0 时（2 种不同方法），从 2，4，6 中再取 1 个数字放置在个位（3 种方法），然后从 1，3，5 中任取 2 个数字（即排除 1 个，有 3 种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有 2!=2 中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有 2332
50、=36 种方法；当没有用 0 时，从 2，4，6 中任取 1 个数字放置在个位（有 3 中不同的方法）；在从其余的 2 个非零偶数字中任取一个数字（2 种不同方法），从 1，3，5 中任取 2 个数字（有 3 种不同方法），将这 3 个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列（有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3236=108种 根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数 54+36+108=198 个，故答案为：198 例 41（2022天津宝坻天津市宝坻区第一中学校考二模）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_ 【答案】72【解析】