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1、 1 正弦定理和余弦定理 1.正弦定理：_2R，其中 R 是三角形外接圆的半径.2.变形为：(1)abc_；(2)a_，b_，c_；(3)sin A_，sin B_，sin C_等形式.3.余弦定理：a2_，b2_，c2_.变形：cos A_，cos B_，cos C_.4.S ABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可计算 R、r.解三角形时，三角形解的个数的判断 在 ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 absin A bsin Aab 解的个数 一解 两
2、解 一解 一解 2 1.在 ABC 中，若A60，b1，S ABC 3，则abcsin Asin Bsin C的值为()A.26 33 B.2 393 C.393 D.13 33 2.在 ABC 中，若 b1，c 3，C23，则 a_.3.在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 a2bcos C，则此三角形一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，已知 c3，C3，a2b，则 b 的值为_.5.已知圆的半径为 4，a、b、c 为该圆的内接三角形的三边，若 a
3、bc16 2，则三角形的面积为()A.2 2 B.8 2 C.2 D.22 3 题型一 利用正弦定理求解三角形 例 1 在 ABC 中，a 3，b 2，B45.求角 A、C 和边 c.已知 a，b，c 分别是 ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a1，b 3，AC2B，则角 A 的大小为_.4 题型二 利用余弦定理求解三角形 例 2 在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且cos Bcos Cb2ac.(1)求角 B 的大小；(2)若 b 13，ac4，求 ABC 的面积.5 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos A22 55
4、，ABAC3.(1)求 ABC 的面积；(2)若 bc6，求 a 的值.题型三 正、余弦定理的综合应用 例3-1在 6 ABC中，角CBA、所对的边分别为cba、满足bcacb222，0BCAB,23a,则cb的取值范围是 .例3-2 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sin Asin Cpsin B(pR)，且 ac14b2.7(1)当 p54，b1 时，求 a，c 的值；(2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围.变式训练 3-1 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c.(1)若 c2，C3，且 ABC 的面积为 3，求 a，b 的值；(
5、2)若 sin Csin(BA)sin 2A，试判断 ABC 的形状.变式训练 3-2：在 ABC 中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断 ABC 的形状.8【例 4】已知向量mu r=(sin()AB，sin()2A)，nr=(1，2sin B)，且mu rnr=sin 2C，其中A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角.（）求角C的大小；（）若3sinsinsin2ABC，且3ABCS，求边c的长.【变式训练 4】凸四边形PABQ中，其中,A B为定点，3,ABP Q为动点，满足1APPQQB.（1）写出cos A与cosQ的关系式；（2）设APBPQB和
6、的面积分别为S和T，求22ST的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积。课后练习 一、选择题 9 1.ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 acos Absin B，则 sin Acos Acos2B 等于()A.12 B.12 C.1 D.1 2.ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2A 2a，则ba等于()A.2 3 B.2 2 C.3 D.2 3.如图，在 ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD,2AB 3BD，BC2BD，则 sin C 的值为()A.33 B.36 C.63 D.66 4.在 ABC
7、 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.若C120，c 2a，则()A.ab B.ab C.ab D.a 与 b 的大小关系不能确定 5.在锐角 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若baab6cos C，则tan Ctan Atan Ctan B的值是_.6.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若其面积 S14(b2c2a2)，则 A_.7.在 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求 A 的大小；(2)若 sin Bsin C1，试判断 ABC 的形状.8.在 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，4sin2BC2cos 2A72.(1)求A 的度数；(2)若 a 3，bc3，求 b、c 的值.