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1、修正版 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数1 cos,0(),0 xxf xaxb x在 x=0 连续，则 (A)12ab (B)12ab (C)0ab (D)2ab （2）设二阶可到函数()f x满足(1)(1)1,(0)1fff 且()0fx，则 (A)11()0f x dx (B)12()0f x dx (C)0110()()f x dxf x dx (D)1110()()f x dxf x dx（3）设数列 nx收敛，则 (A)当limsin0nnx
2、时，lim0nnx (B)当lim()0nnnnxxx 时，则lim0nnx (C)当2lim()0nnnxx,lim0n (D)当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx（4）微分方程248(1cos2)xyyyex 的特解可设为ky (A)22(cos2sin2)xxAeeBxCx (B)22(cos2sin 2)xxAxeeBxCx (C)22(cos2sin 2)xxAexeBxCx(D)22(cos2sin2)xxAxexeBxCx（5）设),(yxf具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y，都有,0),(,0),(xyxfxyxf则 (A)(0,0)(1,1)ff (B)(0,
3、0)(1,1)ff (C)(0,1)(1,0)ff (D)(0,1)(1,0)ff（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线 1vv t（单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线 2vvt，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位:s）,则 (A)010t (B)01520t (C)025t (D)025t 修正版（7）设A为三阶矩阵，123(,)P 为可逆矩阵，使得 1000010002P AP，则123(,)A (A)12 (B)232(C)23(D)122（8）已知矩阵200021001A，21002
4、0001B，100020000C，则 (A)A 与 C 相似，B 与 C 相似 (B)A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C)A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D)A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 二、填空题：914 题，每小题 4 分，共 24 分.（9）曲线xxy2arcsin1的斜渐近线方程为 （10）设函数()yyx由参数方程sintxt eyt确定，则202tdydx （11）20ln(1)1xdxx=（12）设函数,f xy具有一阶连续偏导数，且,1,0,0 0yydf xyye dx xyedy f，则,f xy=（13）110tanyxdydxx （14）设矩阵
5、4 121 23 11Aa的一个特征向量为112 ，则a 三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）求030limxtxx te dtx（16）（本题满分 10 分）设函数,f uv具有 2 阶连续偏导数，y,xf e cosx,求0dydxx,220dydxx （17）（本题满分 10 分）修正版 求21limln 1nnkkknn （18）（本题满分 10 分）已知函数)(xy由方程023333yxyx确定，求)(xy的极值（19）（本题满分 10 分）设函数()f x在 0,1上具有 2 阶导数，0()(1)0,lim
6、0 xf xfx，证明（1）方程()0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根；（2）方程2)()()(xfxfxf 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（20）（本题满分 11 分）已知平面区域22,2Dxy xyy，计算二重积分21Dxdxdy （21）（本题满分 11 分）设()y x是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线:()L yy x上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,)PY，法线与x轴相交于点(,0)PX，若pPXY，求L上点的坐标(,)x y满足的方程。（22）（本题满分 11 分）三阶行列式123(,)A 有 3 个不同的特征值，且3122 （1）证明()2r A （2）如果123求方程组Axb 的通解 （23）（本题满分 11 分）设二次型1322212321 21 323(,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准型为221122yy 求a的值及一个正交矩阵Q.