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1、 1 高中数学复习：圆锥曲线的综合应用 解决解析几何问题的关键是，将几何问题转化为用代数法解决，即几何条件代数化.解析几何的解答题通常利用曲线的定义及性质，确定标准方程，进一步研究弦长、面积、最值、取值范围等问题，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养.知识点 1.直线和圆锥曲线的位置关系 代数法判断直线l与圆锥曲线C的位置关系：相交、相切、相离.思路：将几何问题判断位置关系，转化为代数问题求根个数，进而得出结论.设直线:0l AxByC，曲线:,0C F x y 联立0,0AxByCF x y得20axbxc或20aybyc（1）当0a 时，0直线与圆锥曲线C相交；=0直线与圆锥曲线 C
2、 相切；0直线与圆锥曲线 C 相离.（2）当0a 时，方程一个根，即直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点；若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.知识点 2.弦的问题 1.求弦长 2 解决弦长问题时，由直线方程的形式，选择合适的公式.直线l与圆锥曲线C交于 1122,A x yB x y两点：（1）直线的斜率存在，设直线方程为ykxb，与曲线方程联立得出关于x的一元二次方程：22221212121ABxxyykxx22121214kxxx x（2）直线的斜率可能不存在，但不会为 0，设直线方程为xtym，与曲线方程联立得出关于y的一元二次
3、方程：22221212121ABxxyytyy22121214tyyy y（3）直线的斜率存在、不存在都有可能，分两种情况讨论：斜率不存在时：12AByy；斜率存在时：22121214ABkxxx x 2.弦中点问题（1）点差法 直线l与圆锥曲线C交于 1122,A x yB x y两点，00,M x y为弦AB中点：将,A B的坐标带入曲线方程，两式相减，得到中点M的坐标与直线斜率的关系.求轨迹方程【方法储备】1.直接法：建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标；将题干中的几何条件或等量关系直接用坐标表示出来；化简即得轨迹方程;2.定义法：由题干条件列出几何关系式；判断动点P的轨迹满足某种曲线的
4、定义；确定方程中的基本量，得出轨迹方程；3.相关点法：已知动点,P x y与其相关动点00,Q x y满足的关系，和动点Q的轨迹；动点Q的坐标用动点,P x y的坐标表示：00,xf x yyg x y；将动点Q的坐标带入轨迹方程；化简即得轨迹方程；4.参数法：由题干条件，得出关于动点,P x y坐标的参数方程 xf tyg t；消去参数t，得到轨迹方程；由参数t的取值范围，确定轨迹.【精研题型】3 1.如图，已知1 2MFF的两顶点坐标1(1,0)F，2(1,0)F，圆E是1 2MFF的内切圆，在边1MF，2MF，1 2FF上的切点分别为,P Q R，|1.MP （1）求证：12|MFMF为
5、定值，并求出动点M的轨迹C的方程；（2）过1F的斜率不为零直线交曲线C于,A B两点，求证：11|FAFBAB为定值 2.已知MAB，(6,0)A，(6,0)B，直线,MA MB的斜率之积为1.3（1）求顶点M的轨迹方程C；（2）设动直线lykxm：，点(3,0)Q关于直线l的对称点为P，且P点在曲线C上，求m的取值范围【思维升华】3.已知椭圆的方程为22221(0)xyabab,其离心率32e,且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为3,过椭圆上的点P作y轴的垂线,垂足为Q,点E满足12QEQP,设点E的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程;（相关点法）（2）若直线l与曲线相切,且交椭圆于,A B
6、两点,1,0,1,0CD,记ABC的面积为1S,ABC的面积为2S,求1 2SS的最大值.4.已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为 3 且位于x轴上方的点，P到抛物线焦点F的距离等于 4.（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线21ll、，1l与抛物线交于A B、两点，2l与抛物线交于C D、两点，,M N分别是线段ABCD、的中点，求FMN面积的最小值；（3）在（2）的条件下，若点G满足4FGFAFBFCFD，求点G的轨迹方程.（参数法）【特别提醒】1.区分题目要求，是求“轨迹”还是“轨迹方程”，若求轨迹方程，求出方程即可；若求轨迹，求出方
7、程，还需描述轨迹；2.求出轨迹方程以后，要有验证的步骤，验证曲线上是否存在取不到的部分，若有要标注坐 4 标范围；3.用参数法求轨迹方程时，一定要由参数范围求坐标范围，确保方程解的正确性.与圆锥曲线有关的定点、定值问题【方法储备】1.定点问题：含参曲线研究定点问题，一般考查直线与圆的定点题目较多.（1）方法 参数法：将所研究曲线的方程转化为,0kf x yg x y的形式，令,0,0f x yg x y，求出,x y的值，带入曲线方程恒成立，则以方程组的解为坐标的点即为曲线定点.特殊到一般方法：选取两种特殊情况，求出曲线方程，联立方程组求出交点；将求出的点的坐标带入条件，验证是否对所有情况都成
8、立.（2）直线与圆的定点 求直线的定点 设出直线方程ykxb或xtym，转化几何条件，化简得出参数,k b或,t m的一次关系，代入直线方程求定点，如21bk，则2112ykxkyk x ，定点为2,1.求圆的定点 由条件，求出圆的方程，将圆的方程表示为,0kf x yg x y，求出定点的坐标.2.定值问题：证明关系式中的参数为定值、证明代数式的值为定值、证明弦长为定值、证明面积为定值、证明点到直线的距离为定值等.思路：将所求量用坐标表示出来，利用两根之和、之积的等式，转化为参数表示，得出的分式结构中，分子分母中约去公因式，求出定值.【精研题型】5.在平面直角坐标系中，已知动点A到点(1,0
9、)B的距离为1d，到直线2x 距离为2d，且211dd，记动点A的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程;（2）已知斜率之和为1的两条直线,mn相交于点B，直线,mn与曲线分别相交于,C D E F四点，且线段CD、线段EF的中点分别为,G H，问：直线GH是否过定点?若过定点，请求出该定点的坐标;若不过定点，请说明理由.6.已知椭圆2222:1xyCab过点 2,0,0,1AB两点（1）求椭圆C的方程及离心率；5（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值【思维升华】7.在平面直角坐标系xOy中，已知点1(2,0)F，2(2
10、,0)F，点M满足12|MFMF，记M的轨迹为.C（1）求C的方程；（2）设l为圆224xy上动点(T横坐标不为0)处的切线，P是l与直线2 2y的交点，Q是l与轨迹C的一个交点，且点T在线段PQ上，求证：以PQ为直径的圆过定点 8.在离心率12e，椭圆C过点3(1,)2，1 2PFF面积的最大值为3，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.设椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，过1F且斜率为k的直线l交椭圆于,P Q两点，已知椭圆C的短轴长为2 3，_.（1）求椭圆C的方程；（2）若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：1|PQNF
11、为定值.与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题【方法储备】1.几何法：将所求得代数问题几何化，数形结合利用常用的几何结论，找出图中取最值的位置，求出代数式的最值或范围.2.代数法：（1）函数法：将所求的量用坐标表示出来，转化为关于某个参数的函数，结合题干条件求出参数的取值范围即为定义域，求函数的最值或者范围；（2）不等式法：列出不等式，解不等式，求参数的最值或范围；（3）判别式法：列出一元二次方程，0，求参数范围的最值或范围；【精研题型】9.已知椭圆的两个焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，且椭圆与直线3yx相切 6（1）求椭圆的方程；（2）过1F作两条互相垂直的直线1l，2l，与椭圆分别交于,
12、P Q及,M N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值 10.已知椭圆2222:10 xyCabab，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b（1）求椭圆 C 的离心率；（2）若点33,2M在椭圆C上，不过原点的直线l与椭圆C相交于,A B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值【思维升华】11.一动圆与圆221:(1)1Oxy外切，与圆222:(1)9Oxy内切；（1）求动圆圆心M的轨迹L的方程；（2）设过圆心1O的直线:1l xmy与轨迹L相交于A B、两点，请问22(ABO O为圆2O的圆心)的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方
13、程，若不存在，请说明理由【特别提醒】1.求最值问题，显化函数关系以后，可以换元，将复杂的函数简单化；2.在求参数的范围时，不要忽略0.与圆锥曲线有关的探究型存在性问题【方法储备】探究是否存在某个点、某条曲线或者参数取某个值，使结论成立，探究的结果可能存在或者不存在.1.先猜后证法：假设、推理、定论的过程.假设满足条件的元素存在，并用待定系数法设出；结合已知条件列出关于待定系数的方程或者方程组；若方程或方程组有解，则元素存在，否则不存在.2.反正法：假设使结论成立的元素不存在，经过推理导出矛盾,从而证明元素存在，并求出元素的量.【精研题型】12.已知椭圆221.42xy 7（1）求椭圆C的离心率
14、和长轴长；（2）已知直线2ykx与椭圆C有两个不同的交点,A B,P为xx 轴上一点是否存在实数k，使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出k的值及点l的坐标；若不存在，说明理由 13.在直角坐标系xOy中，已知点(2,2)A，(2,2)B，直线ADBD，交于D，且它们的斜率满足：2.ADBDkk（1）求点D的轨迹C的方程；（2）设过点(0,2)的直线 1 交曲线C于PQ，两点，直线OP与OQ分别交直线1y 于点MN，是否存在常数入，使OPQOMNSS，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【思维升华】14.已知椭圆2222:10 xyCabab 的左右焦点分别为12,F F，
15、离心率为12，设过点2F的直线l被椭圆C截得的线段为MN，当lx轴时，3MN.（1）求椭圆C的标准方程；（2）在x轴上是否存在一点P，使得当l变化时，总有PM与PN所在的直线关于x轴对称？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.15.已知椭圆C：22221(0)xyabab的一个焦点为(3,0)F，其左顶点A在圆O：2212xy上（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：3(0)xmym交椭圆C于MN，两点，设点N关于x轴的对称点为1(N点1N与点M不重合)，且直线1NM与x轴的交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 圆锥曲线的“伴随圆”问题【
16、方法储备】1.伴随圆：凡是与圆锥曲线有关的圆都称为圆锥曲线的伴随圆；如椭圆内接三角形的内切圆，以抛物线焦点弦为直径的圆，同类的伴随圆构成一个圆系.2.考法：将圆的知识与椭圆、抛物线的知识综合考查，一类由圆的相关运动引出圆锥曲 8 线，另一类通过圆引出相关的几何性质.如将圆的切线方程、三角形内切圆、三角形外接圆与椭圆、抛物线的性质相结合.【精研题型】16.椭圆2222:1(0)xyCabab焦距为 4，经过点(2,3)P，1F，2F分别为椭圆的左右焦点（1）求椭圆C的标准方程；（2）求1 2PFF外接圆的标准方程 17.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率32e，原点到过点,0,0,
17、A aBb的直线的距离是4 55（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线10ykxk交椭圆C于不同的两点,E F，且,E F都在以B为圆心的圆上，求k的值【思维升华】18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点333,1,22，椭圆C与x轴交于,A C两点，与y轴交于,B D两点（1）求四边形ABCD的面积；（2）若四边形ABCD的内切圆O的半径为R，点,M N在椭圆C上，直线MN斜率存在，且与圆O相切，切点为L，求证：LMRRLN 圆锥曲线中的“转化”问题（审题摘取关键点）【方法储备】用代数法解决几何问题，关键是将几何条件代数化，即找到几何条件的突破口.常见关键点：1.垂直关系：可转化为向
18、量垂直即向量数量积为 0；若直线斜率存在，斜率之积为-1；点在某个圆上；2.角平分线：坐标轴或某条垂直于坐标轴的直线平分角，转化为角两边所在直线的斜率 9 互为相反数；利用结论：“ABC中，AD平分BAC交BC于D,则ABBDACCD”,初步转化，再转化为向量或者斜率的问题解决；3.面积问题：直线过定点，与圆锥曲线相交 如过椭圆右焦点2F的直线l与椭圆交于,A B两点，求OABS时，通法是求点O到边AB的距离d，弦长AB,则1=2OABSdAB；拆分三角形121=2OABOAFOBFSSSOFyy 4.弦长问题：题中有关于弦长的关系式，转化为用其他弦表示，带入弦长公式；涉及的弦在同一条直线上，
19、弦长之积转化为向量的数量积.5.向量关系：向量关系转化为坐标间的关系，与利用韦达定理所得两根关系综合，得出参数间关系.6.角问题：BAC为锐角转化为0ABAC；BAC为钝角转化为0ABAC，BAC为直角转化为0ABAC.【精研题型】19.已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且经过点2(1,).2（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知(0,)(1)Mmm，经过点M的直线l与椭圆C交于A B，两点，若原点到直线l的距离为 1，且MAAB，求直线l的方程（向量间的关系转化为坐标关系）20.如图，已知抛物线C：22(0)ypx p和M：22(4)1xy，过抛物线C上一点(,)(1)H
20、HHH xyy作两条直线与M相切于A B，两点，分别交抛物线于E F，两点，圆心M到抛物线准线的距离为17.4（1）求抛物线C的方程；（2）当AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率（角平分线垂直于x轴转化为直线斜率互为相反数）10【思维升华】21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为 2，离心率为63.（1）求椭圆C的方程；（2）设过定点0,2T的直线l与（1）中的椭圆C交于不同的两点,A B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围（角为锐角转化为向量数量积大于零）22.设O为坐标原点，动点M在椭圆22:12xCy上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2.NPNM（
21、1）求点P的轨迹方程；（相关点法）（2）设点Q在直线3x 上，且1.OP PQ证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点.F（直线垂直转化为向量垂直）圆锥曲线与其他知识点的结合【精研题型】23.已知定点1,0M和直线1x 上的动点1,Nt，线段MN的垂直平分线交直线yt于点R，设点R的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）直线0ykx b k交x轴于点C，交曲线E于不同的两点,A B，点B关于x轴的对称点为点P点C关于y轴的对称点为Q，求证：,A P Q三点共线 24.已知ABC的边AB所在直线的方程为360 xy，(2,0)M满足BMMC，点(1,1)T 在AC所在直线上且0.ATAB（
22、1）求ABC外接圆的方程；（2）一动圆过点(2,0)N，且与ABC的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程；（3）过点A斜率为k的直线与曲线交于相异的PQ，两点，满足6OPOQ，求k的取值范围.【思维升华】11 25.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyEabab,圆222:(0)O xyrr b 当圆O的一条切线:lykxm与椭圆E相交于,A B两点.（1）当1,12kr时，若点,A B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究,a b r是否满足222111abr并说明理由.答案与解析 考点一 1.【答案】证明：()由题意知 1212
23、|MFMFMPPFMQQF1 22|4MPFF，121 2|MFMFFF，所以动点 M 的轨迹 C 是以1F，2F为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点).设曲线 C 方程为：22221(0,0)xyabyab，则24a，2a，1c，3b，所以曲线 C 的方程为221(0).43xyy()法一：由()得1(1,0)F，设11(,)A x y，22(,)B x y，因为 AB 的斜率不为零，可设 AB 的方程为1xmy，联立得方程组221143xmyxy，消去 x 并整理得22(34)690mymy，122634myym，122934y ym，222221212122144(1)|1
24、|1()4134mABmyymyyy ymm2212(1).34mm 211111212121212(1)(1)(1)F A F BF A F Bxxy ymymyy ymy y 12 229(1).34mm 119|12FA FBAB，11|9|12FAFBAB，综上可得11|FAFBAB为定值9.12()法二：设 AB 方程1cos(sinxttyt 为参数，为倾斜角)，代入椭圆方程得22(3 sin)6cos9 0tt，1226cos3sintt，1 2293sint t，111 229|3sinF AF Bt t，221212122226cos3612|()4()3sin3sin3si
25、nABttttt t，11|9|12FAFBAB，综上可得11|FAFBAB为定值9.12【解析】()利用已知条件推出121 2|4|MFMFFF，说明动点 M 的轨迹 C 是以1F，2F为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点).然后求解椭圆方程()法一：证明：由()得1(1,0)F，设11(,)A x y，22(,)B x y，设 AB 的方程为1xmy，联立得方程组221143xmyxy，消去 x 并整理得22(34)690mymy，利用韦达定理弦长公式，转化求解21129(1).34mFA FBm然后推出11|FAFBAB为定值()法二：证明：设 AB 方程1cos(sinx
26、ttyt 为参数，为倾斜角)，代入椭圆方程通过参数的几何意义，转化求解11|FAFB，|AB，然后推出结果 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，参数方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题 2.【答案】解：()设动点(,)M x y，则(,)M x y满足：13 13MAMBkk，即1366yyxx，化简整理可得22162xy，又MAB，所以6x，0y，所以点 M 的轨迹方程 C 是：221(0).62xyy()由题意，设点000(,)(0)P x yy，由点(3,0)Q关于直线 l 的对称点为 P，则线段 PQ 的中点 D 的坐标为003(,)22xyl且lPQ，又直线
27、PQ 的斜率003PQykx，故直线 l 的斜率0031lPQxkky，又过点003(,)22xyD，所以直线 l 的方程为：000033()22yxxyxy，令0 x，得2200092xyymy，由2200162xy，得22006 3xy，则003()2myy，002,2,0yy，又000033|2|62|2|yyyy，当且仅当062,22y 时等号成立，所以 m 的取值范围为6m 或6.m【解析】()设出点(,)M x y，表示出两直线的斜率，利用其乘积为13，建立方程化简即可得到点 M 的轨迹方程，注意挖点；14()由题意，设点000(,)(0)P x yy，点(3,0)Q关于直线 l
28、的对称点为 P，得出直线 l 的方程为000033()22yxxyxy，令0 x 得220002xyymy，利用点 P 在22162xy，得003()2myy，02,2y ，00y，利用基本不等式可得出 m 的取值范围 本题考查了轨迹方程知识，涉及了直线的斜率、椭圆的方程、中点坐标公式等内容，属于中档题 3.【答案】(1)依题意可得321232cac b，又222abc 解得2,1ab，椭圆方程为2214xy.设 00,E x yP x y，则00,Qy，由12QEQP，得002,xx yy，代入椭圆方程得曲线的方程为221xy(2)由题知直线l的斜率存在，设直线l的方程为 1122,ykx
29、m A x yB x y，由l与圆相切可得211mk，即221mk.由2214ykxmxy消y整理得222148440kxkmxm 2222222644 144416 41480,0k mkmkmkk，2121 222844,1 41 4kmmxxx xkk 222212228441141 41 4kmmABkxxkkk 2424 341kkk 则122211,2211kmkmSABSABkk 2222212222211112414114mkkS SABABkkk 2422212123116814168kkkkk 15 当且仅当22116kk，即12k 时，等号成立 所以1 2SS的最大值为3
30、4【解析】（1）根据题意可得椭圆的方程为2214xy，设设 00,E x yP x y，则00,Qy，由12QEQP，得002,xx yy，代入椭圆方程得曲线的方程为221xy（2）由题知直线l的斜率存在，设直线l的方程为,ykxm，由l与圆相切可得221mk联立2214ykxmxy可得二次方程，然后由根与系数的关系及弦长公式可得AB，从而得到122211,2211kmkmSABSABkk，求得1 2SS后再根据基本不等式求解即可得到所求 4.【答案】解：（1）由题意得3,22pPFp，抛物线的方程为24yx；（2）由（1）得 1,0F，由题意得，直线12,l l的斜率都存在且不为 0，设 1
31、1223344,A x yB x yC x yD x y，直线1l的方程为1yk x，则直线2l的方程为11yxk，即10 xky 由，得，则，同理，由，可得，,所以，面积：S=所以，当且仅当，即时，的面积取最小值 4；（3）由（2）知，16 设点，即，点的轨迹方程为.【解析】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查三角形面积的最小值的求法，向量的坐标运算，求轨迹方程，解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用，属于拔高题（1）利用抛物线的定义列出方程求解即可；（2）求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，联立方程组，求出 M、N 的坐标，然后求解三角形
32、的面积，利用基本不等式求解三角形的面积的最小值即；（3）设点，由向量的坐标运算结合已知得，化简消去k即可.考点二 5.【答案】解：（1）由题意，动点A到点1,0B的距离等于到直线1x 距离，所以曲线的方程为24yx；（2）设,mn的方程分别为121,1yk xykx，联立方程组1214ykxyx整理得2222111240k xkxk，21122124kxxk，则2121122,kGkk，同理2222222,kHkk，所以1 212GHk kkkk，由121kk，可得111GHkkk，所以直线GH的方程为2111211221kykkxkk，17 整理得11211ykkx，所以直线GH恒过定点1,
33、2.【解析】本题考查抛物线的概念及标准方程、直线与抛物线的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，属于中档题.（1）根据题意得出曲线为抛物线，即可求出结果；（2）设,mn的方程分别为121,1yk xykx，分别于抛物线方程联立，求出,G H的坐标，求出GH的方程，即可求出结果.6.【答案】(1)解：椭圆 C：22221xyab过点(2,0)A，(0,1)B两点，2a，1b，则224 13cab，椭圆 C 的方程为2214xy，离心率为32e；(2)证明：如图所示：设00(,)P x y，则002PAykx，PA 所在直线方程为00(2)2yyxx，取0 x，得0022Myyx；001PBykx
34、，PB 所在直线方程为0011yyxx，18 取0y，得00.1Nxxy 0000022|2211NxyxANxyy，00000222|11.22MyxyBMyxx 1|2ABNMSANBM 0000002 2221212yxxyyx 20000(22)12(1)(2)xyyx 200000000(2)4(2)41222xyxyx yxy 220000000000444841222xx yyxyx yxy 000000004(22)1222x yxyx yxy 142.2 四边形 ABNM 的面积为定值2.【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属于难题(1)由题意可得2a，1b
35、，得3c，即可求椭圆 C 的方程，从而求解.(2)设00(,)P x y，求出 PA、PB 所在直线方程，得到 M，N 的坐标，求得|AN，|.BM由1|2ABNMSANBM，结合 P 在椭圆上求得四边形 ABNM 的面积为定值2.7.【答案】解：(1)由题意可知 M 的轨迹是以1(2,0)F，2(2,0)F为焦点，长轴长为4 2的椭圆，所以22224 22acabc，解得2 222acb，19 故 C 的方程为22184xy；(2)当动点2,0T时，则切线为2x，所以 2,2 2,2,2PQ，所以圆的方程为22223 2222xy，当动点2,0T 时，则切线为2x ，所以 2,22,2,2P
36、Q，所以圆的方程为22223 2222xy，当动点2,2T时，则切线为2 2yx，所以 0,22,22,0PQ，所以圆的方程为 222222xy，22222222223 222223 2222222xyxyxy，解得00 xy，所以以 PQ 为直径的圆过定点0,0O；接下来证明以 PQ 为直径的圆过定点0,0.O 显然切线斜率不为 0，故设切线 l 的方程为xmyt，20 则2 2xmy ty，所以22,22Pmt，O 到切线 l 的距离221tdm，因此2244tm，设22(,)Q x y，则22184xmytxy，所以2222280mymtyt，2222224284 821632mtmtm
37、t，因此22224 22 2222mtmtymm，因此2222 22 2,22tmmtQmm，所以2222(2 2)(22 2)2 28288022m ttmmttmOP OQmm，OPOQ，因此以 PQ 为直径的圆过定点0,0.O【解析】本题考查了动点轨迹问题，椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，属于难题.(1)根据椭圆的定义即可求出结果；(2)特值检验求出以 PQ 为直径的圆过点0,0O，然后设出直线的方程，与椭圆联立，进而证得0OPOQ，即可得出结论.8.【答案】解：(1)选择离心率12e，可得12cea，22 3b，即223bac，解得2a，1c，即有椭圆的方程为22
38、143xy；21 选椭圆 C 过点3(1,)2，即有221914ab，又22 3b，即3b，解得2a，即有椭圆的方程为22143xy；选1 2PFF面积的最大值为3，可得 P 位于短轴的端点时，取得最大值，且为1232c b，即为3bc，又22 3b，即3b，1c，222abc，即有椭圆的方程为22143xy；(2)证明：设直线 l 的方程为(1)yk x，联立椭圆方程可得2222(3 4)8412 0k xk xk，设11(,)P x y，22(,)Q x y，可得2122834kxxk，21 2241234kx xk，可得221212|1()4PQkxxx x 42222222641648
39、12(1)1(34)3434kkkkkkk，设 PQ 的中点为(,)H t s，可得2122423 4xxktk，2334ksk，由题意可得2223134434HNNkkkkkxk，解得2234Nkxk，可得221223(1)|1|3434kkNFkk ，可得1|4|PQNF，即为定值【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查线段的垂直平分线的定义，以及直线的斜率公式、中点坐标公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题(1)可选，由题意可得 b，运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a，c，22 即可得到椭圆方程；若选，由题意可得
40、 b，将已知点代入椭圆方程求得 a，即可得到椭圆方程；选，可得 P 位于短轴的端点时，取得最大值，结合条件可得 b，c 的值，由 a，b，c 的关系可得 a 的值，进而得到所求方程(2)设直线 l 的方程为(1)yk x，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|PQ；由中点坐标公式可得 PQ 的中点 H，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得 N 的坐标，求得1|NF，即可得到定值 考点三 9.【答案】解：(1)设椭圆方程为22221(0)xyabab，因为它与直线3yx只有一个公共点，所以方程组222213.xyabyx只有一解，整理得2222222()2 330.ab xa xaa
41、b 所以2 222222(2 3)4()(3)0aabaa b，得223.ab 又因为焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，所以221ab，联立上式解得22a，21b，所以椭圆方程为2212xy；(2)若直线 PQ 斜率不存在(或为0)时，则12 22 12222PMQNPQ MNS四边形，若 PQ 斜率存在时，设为(0)k k，则 MN 的斜率为1k，所以直线 PQ 方程为.ykxk 设 PQ 与椭圆交点坐标为11(,)P x y，22(,)Q x y 23 联立方程2212.xyykxk，化简得2222(21)422 0.kxk xk 则22121 222422,2121kkxxx xkk
42、，所以2121PQkxx 24222(1)164(22)(21)21kkkkk 2212 221kk，同理可得221|2 2.2kMNk 所以2222(1)42(2)(21)PMQNPQMNkSkk四边形 24242421211244()2522252kkkkkkk 242221114()4()12410424410kkkkk，因为2222144410 2 41018(kkkk当且仅当21k 时取等号)，所以2211(0,1184410kk即有2211164(),2),1294410kk 所以综上所述，PMQNS四边形的面积的最小值为169，最大值为2.【解析】本题考查直线方程、椭圆方程的求法
43、，考查四边形面积的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用，属于难题(1)设椭圆方程为22221(0)xyabab，由222213.xyabyx，消去 y，由0，得223ab，由焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，得221ab，由此能求出椭圆方程；24(2)若 PQ 斜率不存在(或为0)时，2PMQNS四边形；若 PQ 斜率存在时，设为 k，(0)k，则 MN 的 斜 率 为1k，直 线 PQ 的 方 程 为ykxk，由2212.xyykxk，得221|2 221kPQk，同理，得221|2 22kMNk，由此求出16,29PMQNS四边形，从而得到四边形 PMQN
44、 面积的最大值为 2，最小值为16.9 10.【答案】解：（1）由题意，得，则，结合222bac，得，即22230caca，2231 0 01eee ，解得 所以椭圆 C 的离心率为（2）由（1）得2ac，则223bc 将33,2M代入椭圆方程2222143xycc，解得1c 所以椭圆方程为 易得直线 OM 的方程为 当直线l的斜率不存在时，AB 的中点不可能在直线上，故直线 l 的斜率存在 设 1122,A x yB x y，直线l的方程为0ykxm m，联立，得2223484120kxkmxm，当222222644 3441248 340k mkmkm时，则，由，得 AB 的中点，因为 N
45、 在直线上，所以，解得 k=-所以=48（12-m2）0，得-，且 m0，|AB|=|x2-x1|25=又原点 O 到直线 l 的距离 d=，所以223126mm 当且仅当2212mm，6m时等号成立，符合1212m，且0m 所以OAB 面积的最大值为：【解析】本题考查椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的面积最值问题，属于难题（1）由题意得，然后求解离心率即可（2）由（1）得 a=2c，将33,2M代入椭圆方程解得 c=1求出椭圆方程，直线 OM的方程为当直线 l 的斜率不存在时，AB 的中点不可能在直线上，故直线l 的斜率存在设直线 l 的方程为 y=kx+m（m0），与联立消
46、y，设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求出 AB 的中点，推出-，且 m0，利用弦长公式以及三角形的面积，结合基本不等式即可求出面积的最大值 11.【答案】解：(1)设动圆圆心为(,)M x y，半径为.R 由题意，得12|1,|3MORMOR，1212|4|MOMOOO ，由椭圆定义知 M 在以1O，2O为焦点且长轴长为 4 的椭圆上，动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为221.43xy(2)如图，设2ABO内切圆 N 的半径为 r，与直线 l 的切点为 C，则三角形2ABO的面积 26 222121211(|)(|)(|)2422ABOSABAOBOrAOAOBOBO
47、rarr 当2ABOS最大时，r 最大，即2ABO内切圆的面积最大，设11(,)A x y、22(,)B x y，则2121122121122ABOSO OyO Oyyy，由221143xmyxy，得22(34)690mymy，显然0，12122269,3434myyy ymm 所以22121212212 1434myyyyy ym 22212134ABOmSm，令21tm，则1t，且221mt，有22212121213(1)4313ABOttStttt，令1()3f ttt，则21()3ftt，当1t时，()0ft，()f t在1,)上单调递增，有()(1)4f tf，21234ABOS，2
48、7 即当1t，0m时，4r 有最大值 3，得max34r，这时所求内切圆的面积为916 存在直线2:1,l xABO 的内切圆 M 的面积最大值为9.16【解析】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、圆与圆的位置关系及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查圆锥曲线的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于较难题(1)根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为 R，消去R，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心 M 的轨迹，进而可求其方程(2)联立直线与轨迹 L 的方程，利用韦达定理求得12122269,3434myyy ymm 利用2121122121122ABOSO
49、OyO Oyyy，求出得到关于 m 的表达式，利用导数求出面积的最大值.考点四 12.【答案】解：(1)由题意：24a，22b，所以2.a 因为222abc，所以22c，2c，所以2.2cea 所以椭圆 C 离心率为22，长轴长为4.(2)联立222,142ykxxy消 y 整理得：22(21)84 0.kxkx 因为直线与椭圆交于 A，B 两点，故0，解得21.2k 设11(,)A x y，22(,)B x y，则122821kxxk，1224.21x xk 设 AB 中点00(,)G x y，则12024221xxkxk，0022221ykxk，28 故2242(,).21 21kGkk
50、假设存在 k 和点(,0)P m，使得PAB是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PGAB，故1PGABkk，所以222211421kkkmk，解得2221kmk，故22(,0).21kPk 又因为2APB，所以0.PA PB 所以1122(,)(,)0 xm yxm y，即121 2()()0.xm xmy y 整理得 221 212(1)(2)()40.kxxkm xxm 所以222248(1)(2)402121kkkmmkk，代入2221kmk，整理得41k，即21.k 当1k 时，P 点坐标为2(,0)3；当1k 时，P 点坐标为2(,0).3 此时，PAB是以 P 为直角顶点的等腰