《高中数学(理)16-圆锥曲线的综合应用2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学(理)16-圆锥曲线的综合应用2.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1专练专练1已知 F1，F2是椭圆x24y21 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则PF1PF2的最大值是()A2B1C2D42已知椭圆x225y2161 内有两点 A(1，3)，B(3，0)，P 为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为()A3B4C5D153过抛物线 y24 3x 的焦点的直线 l 与双曲线 C：x22y21 的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若 x1x20，则 k 的取值范围是()A.12，12B.，12 12，C.22，22D.，22 22，4椭圆 C：x23y2m1 的焦点在 x 轴上，点 A，B 是长轴的两端点，若曲线 C 上存在点 M 满足AMB1
2、20，则实数 m 的取值范围是()A(3，)B1，3)C(0， 3)D(0，15在直线 y2 上任取一点 Q，过 Q 作抛物线 x24y 的切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 恒过的点的坐标为()A(0，1)B(0，2)C(2，0)D(1，0)6设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线与抛物线 y2x 的一个交点的 横坐标为 x0，若 x01，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是_7已知抛物线 C：x28y 的焦点为 F，动点 Q 在 C 上，圆 Q 的半径为 1，过点 F 的直线与圆 Q 切于点 P，则FPFQ的最小值为_28已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线
3、与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_9已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，点 P1，32 在椭圆 E 上(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 P 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 E 于点 Q(xQ，yQ)(点 Q 异于点 P)，若 0 xQ1，求直线 l 斜率 k 的取值范围10已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)D 是抛物线 C 上的动点，点 E(1
4、，3)，若直线 AB 过焦点 F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数 p，使|2QAQB|2QAQB|？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由11已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点 Qb，ab 在椭圆上，O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值，并求该定值10.设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1，0)且与 x 轴不重合，l 交圆A 于 C，D 两点，过 B作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|E
5、A|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围11.已知椭圆 C：x24y21，点 O 是坐标原点，点 P 是椭圆 C 上任意一点，且点 M 满足OMOP(1，是常数)当点 P 在椭圆 C 上运动时，点 M 形成的曲线为 C.(1)求曲线 C的轨迹方程；(2)直线 l 是椭圆 C 在点 P 处的切线，与曲线 C的交点为 A，B 两点，探究OAB 的面积是否为定值若是，求OAB 的面积，若不是，请说明理由12如图所示，抛物线关于 x 轴
6、对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上3(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值及直线 AB 的斜率13已知 F1，F2为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 P(1，32)在椭圆 E 上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过 F1的直线 l1，l2分别交椭圆 E 于 A，C 和 B，D，且 l1l2，问是否存在常数，使得1|AC|，1|BD|成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由14设 M，N，T 是椭圆x216y2121
7、上的三个点，M，N 在直线 x8 上的射影分别为 M1，N1.(1)若直线 MN 过原点 O，直线 MT，NT 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)若 M，N 不是椭圆长轴的端点，点 L 的坐标为(3,0)，M1N1L 与MNL 的面积之比为 51，求 MN 中点 K的轨迹方程15已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点 P(2,0)与点(1,1)(1)求椭圆的方程；(2)过 P 点作两条互相垂直的直线 PA，PB，交椭圆于 A，B，求证：直线 AB 经过定点16已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线 y24x 的焦点重合(1)
8、求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为 A，过点 A 作椭圆 C 的两条动弦 AB，AC，若直线 AB，AC 斜率之积为14，直线 BC 是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由17如图，已知椭圆 C：x24y21，过点 P(1,0)作斜率为 k 的直线 l，且直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点M，N.(1)设点 A(0,2)，k1，求AMN 的面积；4(2)设点 B(t,0)，记直线 BM，BN 的斜率分别为 k1，k2.问是否存在实数 t，使得对于任意非零实数 k，(k1k2)k为定值？若存在，求出实数 t 的值及该定值；若不存在，请说明理由18已知椭圆与抛物线
9、 y24 2x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22.(1)求椭圆的标准方程(2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 AP2 PB，求AOB 的面积19已知右焦点为 F2(c,0)的椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点1，32 ，且椭圆 C 关于直线 xc 对称的图形过坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点12，0作直线 l 与椭圆 C 交于 E，F 两点，线段 EF 的中点为 M，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线MA 的斜率 k 的取值范围20已知直线 yk(x2)与抛物线：y212x 相交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过
10、 M 作 y 轴的垂线交于点 N.(1)证明：抛物线在点 N 处的切线与直线 AB 平行；(2)是否存在实数 k 使 NA NB0？若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由5高考押题专练高考押题专练1已知 F1，F2是椭圆x24y21 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则的最大值是()A2B1C2D4【解析】设 P(x，y)，依题意得点 F1( 3，0)，F2( 3，0)，( 3x)( 3x)y2x2y2334x22，因为2x2，所以234x221，因此的最大值是 1.【答案】B2已知椭圆x225y2161 内有两点 A(1，3)，B(3，0)，P 为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为
11、()A3B4C5D15【解析】在椭圆中，由 a5，b4，得 c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点 B 是右焦点，记左焦点为 C(3，0)由椭圆的定义得|PB|PC|10，所以|PA|PB|10|PA|PC|，因为|PA|PC|AC|5，所以当点 P，A，C 三点共线时，|PA|PB|取得最大值 15.【答案】D3过抛物线 y24 3x 的焦点的直线 l 与双曲线 C：x22y21 的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若 x1x20，则 k 的取值范围是()A.12，12B.，12 12，C.22，22D.，22 22，【解析】易知双曲线两渐近线 y22x，当 k22或 k22时
12、，l 与双曲线的右支有两个交点，满足 x1x20.【答案】D64椭圆 C：x23y2m1 的焦点在 x 轴上，点 A，B 是长轴的两端点，若曲线 C 上存在点 M 满足AMB120，则实数 m 的取值范围是()A(3，)B1，3)C(0， 3)D(0，1【解析】依题意，当 0m3 时，焦距在 x 轴上，要在曲线 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60，即3m 3.解得 0m1.【答案】D5在直线 y2 上任取一点 Q，过 Q 作抛物线 x24y 的切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 恒过的点的坐标为()A(0，1)B(0，2)C(2，0)D(1，0)【解析】设 Q(t，2)
13、，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为 y14x2，则 y12x，则在点 A 处的切线方程为 yy112x1(xx1)，化简得 y12x1xy1，同理，在点 B 处的切线方程为y12x2xy2，又点 Q(t，2)的坐标适合这两个方程，代入得212x1ty1，212x2ty2，这说明 A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程212xty，则直线 AB 的方程为 y212tx，直线 AB 恒过点(0，2)【答案】B6设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线与抛物线 y2x 的一个交点的 横坐标为 x0，若 x01，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是_【解析
14、】双曲线 C：x2a2y2b21 的一条渐近线为 ybax，联立y2x，ybax消去 y，得b2a2x2x.7由 x01，知b2a21，b2a2.所以 e2c2a2a2b2a22，因此 1e 2.【答案】(1， 2)7已知抛物线 C：x28y 的焦点为 F，动点 Q 在 C 上，圆 Q 的半径为 1，过点 F 的直线与圆 Q 切于点 P，则的最小值为_【解析】如图，|2|21.由抛物线的定义知：|d(d 为点 Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|min2，所以的最小值为 3.【答案】38已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分
15、别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_【解析】不妨设 A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)则|AC|BD|x2y1y224y1.又 y1y2p24.所以|AC|BD|y2244y2(y20)利用导数易知 yy2244y2在(，2)上递减，在(2，0)上递增所以当 y22 时，|AC|BD|的最小值为 3.【答案】389已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，点 P1，32 在椭圆 E 上(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 P 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 E 于点 Q(xQ，yQ)(点 Q 异于点 P)，若 0 x
16、Q1，求直线 l 斜率 k 的取值范围【解析】(1)由题意得ca32，1a234b21，a2b2c2，解得a2，b1，c 3，故椭圆 E 的方程为x24y21.(2)设直线 l 的方程为 y32k(x1)，代入方程x24y21，消去 y，得(14k2)x2(4 3k8k2)x(4k24 3k1)0，所以 xQ14k24 3k114k2.因为 0 xQ1，所以 04k24 3k114k21，即4k24 3k114k20，4k24 3k114k21.解得36k322或 k322，经检验，满足题意所以直线 l 斜率 k 的取值范围是36k322或 k322.10已知抛物线 C：x22py(p0)的焦
17、点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)D 是抛物线 C 上的动点，点 E(1，3)，若直线 AB 过焦点 F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数 p，使|2|2|？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由【解析】(1)因为直线 2xy20 与 y 轴的交点为(0，2)，所以 F(0，2)，则抛物线 C 的方程为 x28y，准线 l：y2.设过 D 作 DGl 于 G，则|DF|DE|DG|DE|，当 E，D，G 三点共线时，|DF|DE|取最小值为 235.9(2)假设存在实数 p，
18、满足条件等式成立联立 x22py 与 2xy20，消去 y，得 x24px4p0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24p，x1x24p，所以 Q(2p，2p)因为|2|2|，所以 QAQB，则0.因此(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)0.(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)0，5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40，把 x1x24p，x1x24p 代入得 4p23p10，解得 p14或 p1(舍去)因此存在实数 p14，使得|2|2|成立11已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点 Qb，ab 在椭圆上，O 为坐标
19、原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值，并求该定值【解析】(1)因为椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，所以 e2c2a2a2b2a212，得 a22b2，又点 Qb，ab 在椭圆 C 上，所以b2a2a2b41，联立、得 a28，且 b24.所以椭圆 C 的方程为x28y241.(2)当直线 PN 的斜率 k 不存在时，PN 的方程为 x 2或 x 2，从而有|PN|2 3，S12|PN| OM|10122 32 22 6；来源:学科网当直线 PN 的斜率 k 存在时
20、，设直线 PN 的方程为 ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)；将 PN 的方程代入 C 整理得(12k2)x24kmx2m280，所以 x1x24km12k2，x1x22m2812k2，来源:学科网y1y2k(x1x2)2m2m12k2.由，得 M4km12k2，2m12k2.将 M 点坐标代入椭圆 C 方程得 m212k2.又点 O 到直线 PN 的距离为 d|m|1k2，|PN| 1k2|x1x2|，Sd|PN|m|x1x2| 12k2|x1x2| 16k28m2322 6.综上可知，平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 6.10.设圆 x2y22x150 的圆心
21、为 A，直线 l 过点 B(1，0)且与 x 轴不重合，l 交圆A 于 C，D 两点，过 B作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围【解析】(1)因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而圆心 A(1，0)，|AD|4.所以|EA|EB|4.又因为 B(1，0)，所
22、以|AB|2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为x24y231(y0)(2)【解析】当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)11由yk（x1） ，x24y231得(4k23)x28k2x4k2120，则 x1x28k24k23，x1x24k2124k23，所以|MN| 1k2|x1x2|12（k21）4k23.过点 B(1，0)且与 l 垂直的直线 m：y1k(x1)，点 A 到直线 m 的距离为2k21，所以|PQ|2422k21244k23k21.故四边形 MPNQ 的面积 S12|MN| PQ|12114k23.可得当 l 与
23、 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12，8 3)当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形 MPNQ 的面积为 12.综上可知，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12，8 3)11.已知椭圆 C：x24y21， 点 O 是坐标原点， 点 P 是椭圆 C 上任意一点， 且点 M 满足(1， 是常数) 当点 P 在椭圆 C 上运动时，点 M 形成的曲线为 C.(1)求曲线 C的轨迹方程；(2)直线 l 是椭圆 C 在点 P 处的切线，与曲线 C的交点为 A，B 两点，探究OAB 的面积是否为定值若是，求OAB 的面积，若不是，请说明理由【解析】(
24、1)设点 M 的坐标为(x，y)，对应的点 P 的坐标为x，y .由于点 P 在椭圆 C 上，得x24y21，即曲线 C的轨迹是椭圆，标准方程为x242y221.来源:学*科*网(2)当直线 l 的斜率不存在时，这时直线 l 的方程为 x2，联立方程组x2，x24y22，y 21，得|AB|2 21.得 SOAB12|OP|AB|2 21，12当直线 l 的斜率存在时，设 l：ykxm，联立方程组ykxm，x24y21，得(4k21)x28kmx4(m21)0，由0，可得 m24k21.联立方程组ykxm，x24y22，得(4k21)x28kmx4(m22)0.所以 x1x28km4k21，x
25、1x24（m22）4k21.则|AB| 1k216（4k21） （21）4k214 1k2 214k21.原点到直线 l 的距离为 d|m|1k24k21k21，所以 SOAB12|AB|d2 21.综上所述，OAB 的面积为定值 2 21.12如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值及直线 AB 的斜率【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px(p0)因为点 P(1,2)在抛物线上，所以 222p
26、1，解得 p2.故所求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1.(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB，则 kPAy12x11(x11)，kPBy22x21(x21)，因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以 kPAkPB.由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y214x1，13y224x2，所以y1214y211y2214y221，所以 y12(y22)所以 y1y24.由得，y21y224(x1x2)，所以 kABy1y2x1x24y1y21(x1x2)13已知 F1，F2为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 P(
27、1，32)在椭圆 E 上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过 F1的直线 l1，l2分别交椭圆 E 于 A，C 和 B，D，且 l1l2，问是否存在常数，使得1|AC|，1|BD|成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【解析】(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.椭圆 E：x24y2b21.将 P(1，32)代入可得 b23，椭圆 E 的方程为x24y231.(2)当 AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|1|BD|1314712；当 AC 的斜率 k 存在且 k0 时，AC 的方程为 yk(x1)，代入椭圆方程x24y231，并化简得(34k2)x
28、28k2x4k2120.设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1x28k234k2，x1x24k21234k2.|AC| 1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2121k234k2.直线 BD 的斜率为1k，|BD|1211k2341k2121k23k24.141|AC|1|BD|34k2121k23k24121k2712.综上，21|AC|1|BD|712，724.故存在常数724，使得1|AC|，1|BD|成等差数列14设 M，N，T 是椭圆x216y2121 上的三个点，M，N 在直线 x8 上的射影分别为 M1，N1.(1)若直线 MN 过原点 O，直线 MT，NT 的斜
29、率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)若 M，N 不是椭圆长轴的端点，点 L 的坐标为(3,0)，M1N1L 与MNL 的面积之比为 51，求 MN 中点 K的轨迹方程【解析】(1)证明：设 M(p，q)，N(p，q)，T(x0，y0)，则 k1k2y0qy0qx0px0py20q2x20p2，又p216q2121，x2016y20121，故x20p216y20q2120，即y20q2x20p234，所以 k1k234，为定值(2)设直线 MN 与 x 轴相交于点 R(r,0)，SMNL12|r3|yMyN|，SM1N1L125|yM1yN1|.因为 SM1N1L5SMNL，所以1
30、25|yM1yN1|512|r3|yMyN|，又|yM1yN1|yMyN|，解得 r4(舍去)，或 r2，即直线 MN 经过点 F(2,0)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，当 MN 垂直于 x 轴时，MN 的中点 K 即为 F(2,0)；当 MN 与 x 轴不垂直时，设 MN 的方程为 yk(x2)，则x216y2121，ykx2消去 y 得，(34k2)x216k2x16k2480.x1x216k234k2，x1x216k24834k2.x08k234k2，y06k34k2.15消去 k，整理得(x01)24y2031(y10)经检验，(2,0)也满足(x01)24
31、y2031.综上所述，点 K 的轨迹方程为(x1)24y231(x0)15已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点 P(2,0)与点(1,1)(1)求椭圆的方程；(2)过 P 点作两条互相垂直的直线 PA，PB，交椭圆于 A，B，求证：直线 AB 经过定点【解析】(1)由题意得，4a20b21，1a21b21，解得 a24，b243，椭圆的方程为x243y241.(2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在 x 轴上，当 kPA1 时，lPA：yx2，yx2，x23y24，x23(x24x4)4x1.以下验证：定点为(1,0)，由题意知，直线 PA，PB 的斜率均存在，设直线 PA 的方程为
32、yk(x2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)则 x23k2(x24x4)4xA26k213k2，yA4k13k2，同理 xB2k26k23，yB4kk23，则yAxA14k33k2yBxB1，得证16已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线 y24x 的焦点重合(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为 A，过点 A 作椭圆 C 的两条动弦 AB，AC，若直线 AB，AC 斜率之积为14，直线 BC 是16否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由【解析】(1)由题意知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，则 c1.由 eca22
33、得 a 2，b1，椭圆 C 的方程为x22y21.(2)由(1)知 A(0,1)，当直线 BC 的斜率不存在时，设 BC：xx0，设 B(x0，y0)，则 C(x0，y0)，kABkACy01x0y01x01y20 x2012x20 x201214，不合题意故直线 BC 的斜率存在设直线 BC 的方程为：ykxm(m1)，并代入椭圆方程，得：(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)0，得 2k2m210.设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1x24km12k2，x1x22m2112k2，由 kABkAC
34、y11x1y21x214得：4y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因为 m1，所以 m3，此时直线 BC 的方程为 ykx3.所以直线 BC 恒过一定点(0,3)17如图，已知椭圆 C：x24y21，过点 P(1,0)作斜率为 k 的直线 l，且直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点M，N.(1)设点 A(0,2)，k1，求AMN 的面积；(2)设点 B(t,0)，记直线 BM，BN 的斜率分别为 k1，k2.问是否存在实数 t，使得对于任意非零实数 k，(k1k2)k17为定值？若存在，求出实数 t 的值
35、及该定值；若不存在，请说明理由【解析】(1)当 k1 时，直线 l 的方程为 yx1.由x24y21，yx1，得 x0 或 x85，当 x0 时，y1，当 x85时，y35，不妨设 N(0，1)，M85，35 .所以|AN|3.所以 SAMN12385125.(2)由题意知，直线 MN 的方程为 yk(x1)，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)由x24y21，ykx1，得(14k2)x28k2x4k240.所以 x1x28k214k2，x1x24k2414k2.由 k1y1x1t，k2y2x2t，得(k1k2)kky1x1ty2x2tk2x11x1tx21x2tk2x1tx21x2tx11
36、x1tx2tk22x1x2t1x1x22tx1x2tx1x2t2k22t8k248t4t2t24.若 2t80，则 t4，(k1k2)k0 为定值若 2t80，则当 t240，即 t2 时，(k1k2)k2t848t4t2为定值所以当 t4 时，(k1k2)k0；当 t2 时，(k1k2)k1；18当 t2 时，(k1k2)k13.18已知椭圆与抛物线 y24 2x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22.(1)求椭圆的标准方程(2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若2，求AOB 的面积【解析】(1)依题意，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，
37、由题意可得 c 2，又 eca22，a2.b2a2c22，椭圆的标准方程为x24y221.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，故(x1，1y1)，(x2，y21)由2，得x12x2，1y12y21.设直线 AB 的方程为 ykx1，代入椭圆方程整理，得(2k21)x24kx20，x1x24k2k21，x1x222k21.将 x12x2代入上式可得，x24k2k21，x18k2k21.x1x232k22k21222k21，解得 k2114.AOB 的面积 S12|OP|x1x2|x1x224x1x22122 8k222k213 148.19已知右焦点为 F2(c,0)的椭圆 C：x2a
38、2y2b21(ab0)过点1，32 ，且椭圆 C 关于直线 xc 对称的图形过坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点12，0作直线 l 与椭圆 C 交于 E，F 两点，线段 EF 的中点为 M，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线MA 的斜率 k 的取值范围19【解析】(1)椭圆 C 过点1，32 ，1a294b21，椭圆 C 关于直线 xc 对称的图形过坐标原点，a2c，a2b2c2，b234a2，由得 a24，b23，椭圆 C 的方程为x24y231.(2)依题意，直线 l 过点12，0且斜率不为零，故可设其方程为 xmy12.由xmy12，x24y231消去 x，并整理得 4(3m
39、24)y212my450.设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，y1y23m3m24，y0y1y223m23m24，x0my01223m24，ky0 x02m4m24.当 m0 时，k0；当 m0 时，km4m2414m4m，|4m4m|4|m|4|m|8，01|4m4m|18，0|k|18，18k18且 k0.综上可知，直线 MA 的斜率 k 的取值范围是18，18 .20已知直线 yk(x2)与抛物线：y212x 相交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 y 轴的垂线交于点 N.(1)证明：抛物线在点 N 处的切线与直线 AB 平行；(2)是否存在实数
40、 k 使0？若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由20【解析】(1)证明：显然 k0，由ykx2，y212x，消去 y 并整理，得 2k2x2(8k21)x8k20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k212k2，x1x24，设 M(xM，yM)，N(xN，yN)则 xMx1x228k214k2，yMk(xM2)k8k214k2214k.由题设条件可知，yNyM14k，xN2y2N18k2，N18k2，14k .对于函数 y212x 即 x2y2，有 x4y，x|yyN414k1k，即抛物线在 N 处的切线斜率为 k，抛物线在点 N 处的切线与直线 AB 平行(2)假设存在实数 k，使0，则 NANB.M 是 AB 的中点，|MN|12|AB|.由(1)得|AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x2 1k28k212k2244 1k216k212k2.MNy 轴，|MN|xMxN|8k214k218k216k218k2.16k218k2121k216k212k2，解得 k12.故存在实数 k12，使0.