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1、2009 年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试 高等数学 题号 一 二 三 四 五 总分 分值 60 30 40 14 6 150 注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。本试卷的试题答案在答题卡上，答试卷上无效。一、选择题（每小题 2 分，共计 60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是 （）A.2xyx，yx B.2yx，yx C.xy，2()yx D.yx，2yx【答案】D.解：注意函数的定义范围、解析式，应选D.2.下列函
2、数中为奇函数的是 （）A.ee()2xxf x B.()tanf xxx C.2()ln(1)f xxx D.()1xf xx 【答案】C.解:2()ln(1)fxxx，22()()ln(1)ln(1)ln10f xfxxxxx ()()fxf x，选 C.3极限11lim1xxx的值是 ()A.1 B.1 C.0 D.不存在 【答案】D.解：11lim11xxx，11lim11xxx，应选 D.4.当0 x 时，下列无穷小量中与x等价是 （）A.22xx B.3x C.ln(1)x D.2sin x 【答案】C.解:由等价无穷小量公式，应选 C.5.设e1()xf xx，则0 x是()f x
3、的 （）A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点【答案】B.解:00e1lim()lim1xxxf xx 0 x是)(xf的可去间断点,应选 B.6.已知函数()f x可导，且0(1)(1)lim12xffxx，则(1)f （）A.2 B.-1 C.1 D.-2【答案】D.解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222xffxffx ，应选 D.7.设()f x具有四阶导数且()fxx，则(4)()fx （）A12 x B x C 1 D 3214x 【答案】D.解：1(3)21()2fxx，(4)()fx 3214x，应选D.8.曲线sin2cosytxt在4t 对应点处的
4、法线方程 （）A.22x B.1y C.1yx D.1yx【答案】A.解：0d2cos220dsin2ytkxxxt切，应选A.9.已知d e()e dxxf xx，且(0)0f，则()f x （）A2eexx B.2eexx C.2eexx D.2eexx【答案】B.解:由d e()e dxxf xx 得 2d e()d(e)e()e()eexxxxxxf xf xCf xC，把(0)0f代入得1C ,所以2()eexxf x,应选 B.10.函数在某点处连续是其在该点处可导的 （）A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选 A.1
5、1.曲线42246yxxx的凸区间为 （）A.(2,2)B.(,0)C.(0,)D.(,)【答案】A.解:34486yxx，212480(2,2)yxx ，应选 A.12.设exyx （）A.仅有水平渐近线 B.既有水平又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线 D.既无水平又无垂直渐近线 【答案】B.解:elim0 xxx，0elimxxx，应选 B.13.下列说法正确的是 （）A.函数的极值点一定是函数的驻点 B.函数的驻点一定是函数的极值点 C.二阶导数非零的驻点一定是极值点 D.以上说法都不对【答案】D.解:根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选 D.14.设函数()f x在,a b连续，
6、且不是常数函数,若()()f af b，则在(,)a b 内 （）A.必有最大值或最小值 B.既有最大值又有最小值 C.既有极大值又有极小值 D.至少存在一点，使()0f【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及()()f af b的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,应选 A.15.若()f x的一个原函数为ln x，则()fx （）A.1x B.21x C.ln x D.lnxx【答案】B.解:1()lnf xxx 21()fxx,应选 B.16.若2()f x dxxC，则2(1)xfxdx （）A.222(1)xC B.222(1)xC C.221(1)2xC D.221(1)2
7、xC【答案】C.解:2221(1)(1)(1)2xfxdxfxdx=221(1)2xC,应选 C.17.下列不等式不成立的是（）A.22211ln(ln)xdxxdx B.2200sin xdxxdx C.2200ln(1)x dxxdx D.2200(1)xe dxx dx【答案】D.解:根据定积分的保序性定理，应有2200(1)xe dxx dx，应选 D.18.1lneexdx=（）A.111lnlneexdxxdx B.111lnlneexdxxdx C.111lnlneexdxxdx D.111lnlneexdxxdx【答案】C.解:因1ln,1|ln|ln,1xxxexxe,考察积
8、分的可加性有 1111lnlnlneeeexdxxdxxdx，应选 C.19下列广义积分收敛的是 （）A.lnexdxx B.1lnedxxx C.21(ln)edxxx D.31lnedxxx【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln)edxxx是2p 的积分,收敛的,应选 C.20.方程220 xyz在空间直角坐标系中表示的曲面是 （）A.球面 B.圆锥面 C.旋转抛物面 D.圆柱面 【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程220 xyz在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选 C.21.设1,1,2a ，2,0,1b，则a与b的夹角为 （
9、）A0 B6 C4 D2【答案】D.解:0(,)2a baba b,应选 D.22.直线34273xyz与平面4223xyz的位置关系是 ()A.平行但直线不在平面内 B.直线在平面内 C.垂直 D.相交但不垂直 【答案】A.解:因2,7,3s ,4,2,20ns nsn直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点(3,4,0)不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选 A.23.设(,)f x y在点(,)a b处有偏导数，则0(,)(,)limhf ah bf ah bh（)A.0 B.2(,)xfa b C.(,)xfa b D.(,)yfa b【答案】B.解:原式
10、00(,)(,)(,)(,)limlimhhf ah bf a bf ah bf a bhh 00(,)(,)(,)(,)limlim2(,)xhhf ah bf a bf ah bf a bfa bhh 应选 B.24函数xyzxy的全微dz （）A22()()xdxydyxy B 22()()ydyxdxxy C22()()ydxxdyxy D 22()()xdyydxxy 【答案】D 解：22()()()()2()()()xyxy d xyxy d xyxdyydxzdzxyxyxy，应选 D 252200(,)aaydyf x y dx化为极坐标形式为 （）A200(cos,sin)a
11、df rrrdr B2cos00(cos,sin)df rrrdr Csin200(cos,sin)adf rrrdr D200(cos,sin)adf rrrdr【答案】D.解:积 分 区 域22(,)|0,0(,)|0,02x yyaxayrra有2200(,)aaydyf x y dx200(cos,sin)adf rrrdr,应选 D.26.设 L 是以 A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为 ABCA,则(3)(2)Lxy dxxy dy A.-8 B.0 C 8 D.20【答案】A.解:由格林公式知,(3)(2)228LDxy dxxy dyd
12、S ，应选 A.27.下列微分方程中，可分离变量的是 （）Atandyyydxxx B22()20 xydxxydy C220 xyxdxedyy D 2xdyyedx【答案】C.解:根据可分离变量微分的特点,220 xyxdxedyy可化为 22yxye dyxedx 知,应选 C.28.若级数1nnu收敛，则下列级数收敛的是 （）A110nnu B1(10)nnu C110nnu D 1(10)nnu【答案】A.解:由级数收敛的性质知,110nnu收敛,其他三个一定发散,应选 A.29.函数()ln(1)f xx的幂级数展开为 （）A23,1123xxxx B23,1123xxxx C23
13、,1123xxxx D 23,1123xxxx 【答案】C.解:根据23ln(1),1123xxxxx 可知,23ln(1),1123xxxxx ,应选 C.30.级数1(1)nnnax在1x 处收敛，则此级数在2x 处 （）A条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 无法确定 【答案】B.解:令1xt,级数1(1)nnnax化为1nnna t,问题转化为:2t 处收敛,确定1t 处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选 B.二、填空题（每小题 2 分，共 30 分）31.已知()1xf xx，则()_f f x.解：()1()(1,)1()122f xxf f xxxf xx.32.当0
14、x 时，()f x与1 cos x等价，则0()lim_sinxf xxx.解：2211 cos()1 cos2220sin00()1 cos12limlimlimsin2xxf xxxxxxxxf xxxxxx.33.若2lim8xxxaxa，则_a.解：因2223()221lim 12limlim1lim 1xxaaxaxaxxaxxaaxaaxaexxexaeaaxx，所以有 38aeln2a.34.设函数sin,0(),0 xxf xxax在(,)内处处连续，则_a.解：函数在(,)内处处连续，当然在0 x 处一定连续，又因为 00sinlim()lim1;(0)xxxf xfax，所
15、以0lim()(0)1xf xfa.35.曲线31xyx在（2，2）点处的切线方程为_.解：因2231340(1)3xykyxyx.36.函数2()2f xxx在区间0，2上使用拉格朗日中值定理结论中_.解：(2)(0)()2121120fffxx .37.函数()f xxx的单调减少区间是 _.解：11()100,42fxxx,应填10,4或10,4或10,4或10,4.38.已知(0)2,(2)3,(2)4,fff 则20()_xfx dx.解：22220000()()()()2(2)(2)(0)7xfx dxxdfxxfxfx dxfff.39.设向量b与1,2,3a 共线，且56a b
16、,则b _.解：因向量b与a共线,b可设为,2,3kkk，5649564a bkkkk,所以4,8,12b.40.设22xyze，则22zx_.解：22222222222(12)xyxyxyzzzexexexx.41函数22(,)22f x yxxyy的驻点为_.解：40(,)(0,0)40fxyxx yfxyy.42区域D为229xy，则2_Dx yd.解：利用对称性知其值为0 或2324200cossin0Dx yddrdr.43.交换积分次序后,10(,)_xxdxf x y dy.解：积分区域2(,)|01,(,)|01,Dx yxxyxx yyyxy,则有21100(,)(,)xyx
17、ydxf x y dydyf x y dx.44.14xyxe 是23xyyye的特解，则该方程的通解为_.解：230yyy的通解为312xxyC eC e，根据方程解的结构,原方程的通解为31214xxxyC eC exe.45.已知级数1nnu的部分和3nSn，则当2n 时，_nu.解：当2n 时,3321(1)331nnnuSSnnnn.三、计算题（每小题 5 分，共 40 分）46求011lim1xxxe.解：20001111limlimlim1(1)xxxxxxxexexxex ex 0011limlim222xxxexxx.47.设()yy x是由方程lnsin 2xyeyxx确定
18、的隐函数，求dxdy.解：方程两边对x求导得()ln2cos2xyyexyyxxx 即 ()ln2 cos2xye x yxyyy xxxx 2(ln)2 cos2xyxyx exx yxxe xyy 所以 dydx22 cos2lnxyxyxxe xyyyx exx.48.已知2()xxf x dxeC，求1()dxf x.解：方程2()xxf x dxeC两边对x求导得 2()2xxf xe，即22()xef xx，所以 211()2xxef x.故22111()24xxdxxe dxxdef x 222211114448xxxxxee dxxeeC .49.求定积分44|(1)|x xd
19、x.解：40144401|(1)|(1)|(1)|(1)|x xdxx xdxx xdxx xdx 014401(1)(1)(1)x xdxxx dxx xdx 014322332401322332xxxxxx 641164118843323332 .50.已知22xxyyze 求全微分dz.解：因222222()(2)xxy yxxy yxzexxyyexyx,222222()(2)xxy yxxy yyzexxyyexyy,且它们在定义域都连续，从而函数22xxyyze可微，并有 zzdzdxdyxy22(2)(2)xxy yexy dxxy dy.51.求(2)Dxy d，其中区域D由直
20、线,2,2yx yx y围成.yxxy 22yyxx y 2 解：积分区域D如图所示：把D看作 Y 型区域，且有(,)|02,2yDx yyxy 故有202(2)(2)yyDxy ddyxy dx 22220025()4yyxxydyy dy230510123y.52.求微分方程22xyxyxe的通解.解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20yxy的通解为2xyCe，设原方程的解为2()xyC x e代入方程得22()xxC x exe,即有 22()xC xxe，所以 222222211()(2)44xxxC xxedxedxeC ,故原方程的通解为2214xxyeCe.53
21、.求幂级数212nnnnx的收敛区间（考虑区间端点）.解：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数212nnnnx，因221112limlim22nnnnnnunxlxun,当212xl，即|2x 时，级数212nnnnx是绝对收敛的；当212xl，即|2x 时，级数212nnnnx是发散的；当212xl，即2x 时，级数212nnnnx化为1nn，显然是发散的。故原级数的收敛区间为2,2.四、应用题（每小题 7 分，共 14 分）54.靠一楮充分长的墙边，增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为 642m的条件下.问增加的三面墙的各为多少时，其总长最小.解：场地如图所示：设增加的三面墙的长度分
22、别为,x y x；总长为z，则有2zxy，64xy，从而642zxx，问题就转化为求函数642zxx最小值问题.令26420zx 得唯一驻点4 2x，且有34 2642(4 2)0 xzx，所以4 2x 是极小值点，即为最小值点,此时8 2y.故，另增的三面墙的长度分别为4 2m，8 2m，4 2m时，增加三面围墙的总长最小.55.设D由曲线()yf x与直线0,3yy围成的，其中 2,026,2xxyx x，求D绕y轴旋转形成的旋转体的体积.解：平面图形D如图所示:把D看作 Y 区域，且0,3y,代入 Y 型区域绕y所成旋转一 周所得体积公式有 3220()()yVfygy dy320(6)
23、yy dy 3233200(36 13)361323yyyy dyy 1172.五、证明题（6 分）x x y 66yxxy2yxxyxyo3 56.设1()()()xxabF xf t dtdtf t，其中函数()f x在闭区间,a b上连续且()0f x，证明在开区间(,)a b内,方程()0F x 有唯一实根.证明：因为1()()()F xf xf x在,a b上有意义，所以()F x在,a b上连续，且有111()()0()()()aaababbaF af t dtdtdtdtf tf tf t,1()()()0()bbbabaF bf t dtdtf t dtf t，由连续函数在闭区间上的零点定理知，()0F x 在(,)a b内至少有一个实根；又因为1()()0()F xf xf x，知()F x在(,)a b内是增函数.从而知()0F x 在(,)a b内至多有一个实根；故()0F x 在(,)a b内有唯一实根.